江苏省南师附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

南师附中 2020-2021 学年度第一学期期中高一数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
3620770190501. 已知全集U 1, 0,1, 2 ， A 1,1 ，则集合 U A （ ）．
A. 0, 2
B. 1, 0
C. 0,1
D. 1, 2
2. “ x 1”是“ x2 5x 4 0 ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 命题“ x R, x2 x 1 0 ”的否定是（ ）．
A. x R, x2 x 1 0
C. x R, x2 x 1 0
B. x R, x2 x 1 0
D. x R, x2 x 1 0
5
4. 已知 x2 x2 3 ，则 x x1 的值为（ ）．
5
A. B. 1 C.
2x x2 , 0 x 3

D. 1

5. 函数 f x 1
x ,
x 0

的值域为（ ）．
A. 3,1
B. ,0
C. ,1
D. ,1
5424805478790下列四组函数中， f x 与 g x （或 g t ）表示同一个函数的是（ ）
f x
C. f x
g x x
3 x3

x2 x 2
g x x 2
x 1
B. f x
D. f x x
g t
x2
t2
g t
t 2
7. 已知实数a 0,b 0 ，且 1 1
1 ，则a 2b 的最小值为（ ）．
2
A. 3 2
x3

a b 1
2
B. 2 1
C. 4 D. 3 + 3 5
2 2
函数 f x x2 1 的图像大致为（ ）．
9702801200152376170908053851275144780527558090805
A B C D.
求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
设集合 A x x2 2x 0，则下列表述不正确的是（ ）．
A. 0 A
B. 2 A
C. 2 A
D. 0 A
下列四个条件中，能成为 x y 的充分不必要条件的是（ ）
xt2 yt2 B. xt yt
C. x y
D. 0 1 1
x y
下列命题中是真命题的有（ ）．
若函数 f x 在,0和0, 上都单调递增，则 f x 在R 上单调递增；
0, x为无理数
狄利克雷函数 f x 1, x为有理数 在任意一个区间都不单调；
若函数 f x 是奇函数，则一定有 f 0 0 ；
若函数 f x 是偶函数，则可能有 f 0 0 ；
已知a 1， b 1 ，且ab a b 1 ，那么下列结论正确的有（ ）．
2
2
a b 有最大值2 2 B. a b 有最小值2 2
2
2
C. ab 有最大值 1 D. ab 有最小值2 3
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
0, x 0
13. 已知 f x 1, x 0
3x 2, x 0

，则 f f f 6 ．
14. 已知函数 f x ax5 bx3 c 7 ， f 3 5 ，则 f 3 ．
x
某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子 60 元/盒，桔子 65 元/盒，水蜜桃 80 元/盒，荔枝 90 元/ 盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到 120 元，顾客就少付 x 元， 每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80% .
① x 10 时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 元；
② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即 70%），则 x 的最大值是 ．
f x 为定义在R 上的偶函数， g x f x 2x2 在区间0, 上是增函数，则不等式
f x 1 f x 2 4x 6 的解集为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上
（本小题满分 10 分）
2
2
已知a,b 均为正数，证明： a b a b ．
b a
（本小题满分 12 分） 计算：
1
9
⑴ eln 2 4 2 5 32 ；

2 3
⑵ lg 22 lg5 lg 20 log 3log 4 ．
（本小题满分 12 分）
已知二次函数 f x 的值域为4, ，且不等式 f x 0 的解集为1,3 ．
⑴ 求 f x 的解析式；
⑵ 若对于任意的 x 2, 2 ，都有 f x 2x m 恒成立，求实数m 的取值范围.
（本小题满分 12 分）
A E
F B
G
H
某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一 D C
块面积为 100 平方米的矩形区域 ABCD 修建花圃，规定 ABCD 的每条边长不超过 20 米．如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来种花，且点 A, B, E, F 四点共线，阴影部分为 1 米宽的种草区域．设 AB x 米，种花区域 EFGH 的面积为 S 平方米．
⑴ 将 S 表示为 x 的函数；
⑵ 求 S 的最大值．
（本小题满分 12 分） 已知集合 A y | y
4x x2 ，集合 B x | x2 x a a2 0．
142176556515⑴ 若 A B A ，求a 的取值范围；
1424305100965⑵ 在 A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．
（本小题满分 12 分）
设 f x x a （ x 0 ， a 为大于 0 的常数）
x
⑴ 若 f x 的最小值为 4，求a 的值；
2503805162560
⑵ 用定义证明： f x 在
a, 上是增函数；
⑶ 在⑴的条件下，当 x 1时，都有 f x m m 1 恒成立，求实数m 的取值范围．
x
【答案】A；
【解析】由补集定义知选 A． 2.
【答案】B；
【解析】因为1 是x x2 5x 4 0 的真子集，所以“ x 1”是“ x2 5x 4 0 ”的充分不必要条件．
3.
【答案】C；
【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C． 4.
【答案】C；
3745230147955【解析】由x x1 2 x2 x2 2 5 ，知 x x1
5.
【答案】D；
5 ，故选 C．
【解析】当 x 0 时， f x 1 单调递减，范围为,0 ，当0 x 3 时， f x 2x x2 在0,1 上单调递
x
增，在1,3 上单调递减，范围是3,1 ，所以函数值域为,1 ，故选 D．
6.
【答案】D；
【解析】A 选项， f x x ，故错误； B 选项，定义域不同，故错误； C 选项，定义域不同，故错误； D 选项，是同一函数，故选 D．
7.
【答案】B；
5730240194945
【解析】a 2b a 2b 1 2 1 1 a 2b 1 2 3 2b 1 a 2 2 2 1 ，当且仅当
1616075-1270a 1
8.
2 且b

a b 1
2 时等号成立，故选 B．
2

a b 1
【答案】A；
258127584455【解析】 f x 定义域为, 1 1,1 1, ，是奇函数，当 x 时， f x ，故选 A．
【答案】ABC；
【解析】 A 0, 2 ，故选 ABC． 10.
【答案】ACD；
【解析】A 选项，若 xt2 yt2 ，则t2 0 ，则 x y ，反之不成立，A 正确；
B 选项，当t 0 时， x y ，B 错误；
C 选项，若 x y ，由 y y ，则 x y ，反之不成立，C 正确；
D 选项， f x 1 在0, 单调递减，若0 1 1 ，则 x y ，反之不成立，D 正确；
x x y
故选 ACD．
11.
【答案】BD；
【解析】A 选项，若 f x
x, x 0
是一个反例，A 错误；
12.
ln x, x 0
B 选项，在任意区间 I 上总可以取 x1 , x2 Q ，使 f x1 f x2 ，则 f x 在 I 上不单调，B 正确；
C 选项， f x 1 是一个反例，C 错误；
x
D 选项， f x x2 符合要求，D 正确； 故选 BD．
【答案】BD；
【解析】法一：
令a b s, ab t ，由题意可得 s 2,t 1， t s 1，
244094066675t
2
5166995353060由基本不等式 s 2 t ，
则t 1 2
，由t 1 可得t2 2t 1 4t ，则t 3 2
， a b
2 1取等；
s 2
s 1 ，由 s 2 可得 s2 4s 4 0 ，则 s 2 2
， a b
2 1取等；
2
5138420-165735故选 BD； 法二：
由ab a b 1 可得a 1b 1 2 ，令m a 1 0, n b 1 0 ，
mn
5042535353695则a b m n 2 2 2
2 2
， m n
2 取等；
2
4242435-1657352
ab m 1n 1 mn m n 1 3 m n 3 2
故选BD．
， m n
2 取等；
【答案】5 ；
【解析】 f f f 6 f f 0 f 1 5 ．
14.
【答案】9 ；
【解析】 f 3 f 3 7 7 14 ， 所以 f 3 14 5 9 ．
15.
【答案】130 ；15 ．
【解析】① 60 80 10 130 ；
②由题意可知，购买总价刚好为120 元时，折扣比例最高， 此时有0.8120 x 0.7 120 ，
解得 x 15 ．
16.
【答案】 , 3 ；
2

【解析】由 f x 为偶函数，可知 g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由 f x 1 f x 2 4x 6 ，
可知 f x 1 2 x 12 f x 2 2 x 22 ，即 g x 1 g x 2 ，
可知 x 1 x 2 ，解得 x 3 .
2
17.
【答案】详见解析．
b2
a
a
【解析】法一：由基本不等式可得，
b
a
2 2
b a 2

b 2
2a b ，
2
b a b
a2
当且仅当 b
b2
a
则原式得证．
b
，即a b 时取等，
a
a b
2 2
法二： a b a
2 b2
a3 b3

，
b a b a

3
3
由 a 0,b 0 ，可得a b 0 ， b 0, a 0 ， ab 0 ，
a b
a2
则
2
b
a b a
2 b2 2
a2b2
a2 b2
2ab a b2 ，
b a
2
2
b ．
由 a b 0 可得 a b a
b a
a2 b2
a2 b2
b2 a2

a ba2 b2 a b2 a b
法三：

a b ，
a b a ab ab
2
2
2 2
由 a 0,b 0 可得 a b a b 0 即 a b a b ．
b a b a
18.
【答案】⑴ 3 ；⑵ 3 ．
2
【解析】⑴
1
9
eln 2 4 2

2 3 2 3 ；
5 32
2 2
2 3
⑵ lg 22 lg5 lg 20 log 3log 4 lg 2 lg52 2 3 ．
19.
【答案】⑴
f x x2 2x 3 ；⑵
m 7 ．
【解析】⑴ 设 f x ax2 bx c ，由题意可知：
f 1 a b c 0
a 1
f 3 9a 3b c 0 ，解得b 2 ，即 f x x2 2x 3 ；
f 1 a b c 4
c 3
⑵ m x2 4x 3 对 x 2, 2 恒成立， 令 g x x2 4x 3 ，
当 x 2, 2 ，可知 g x7,9，
故 m 7 ．
20.
【答案】⑴
S 102 200 x 5 x 20 ；⑵ S 的最大值为102 20 2 ．
4651375-146050x
【解析】⑴ 因为 AB x ，
所以 AD 100 ， EF x 2 ， FG 100 1；
x x
所以 S x 2 100 1 102 200 x
x x

因为0 x 20, 0 100 20 ，解得5 x 20 ，所以 S 102 200 x 5 x 20 ；
x x
x 200
x
⑵ S 102 2
102 20
，当且仅当 x 10 2 时取等
2
4333240-334010294576566675所以 S 的最大值为102 20 2 ．
21.
262826578740【答案】⑴ 0 a 1 ；⑵ 1, 0 1, 2 ；
B A
【解析】⑴ 因为 A
所以 B A ，
因为4x x2 4 ， 所以 A 0, 2 ；
集合 B 的不等式可化为x a 1x a 0 ，
① B ，即 0 ，解得a 1 ，符合；
2
② B ，即a 1 时，此时0 a 2,0 1 a 2 ，解得0 a 1 且 a 1 ；
2 2
综上0 a 1 ；
⑵ 集合 A 中有三个整数0,1, 2 ， B x | x a x a 1 0 ；
1691005121920由 A B 中有且仅有两个整数，可得 B 中有0,1, 2 中的两个整数；
a 1 a 即 a 1 时， B a,1 a ，
2
则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ，
若仅有0,1 ，则1 a 0,1 1 a 2 ，解得1 a 0 ； 若仅有1, 2 ，则0 a 1 ， 2 1 a 3 ，无解；
a 1 a 即 a 1 时， B ，不满足题意；
2
a 1 a 即 a 1 时， B 1 a, a ，
2
则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ，
3382645641350若仅有0,1 ，则1 1 a 0,1 a 2 ，解得1 a 2 ， 若仅有1, 2 ，则0 1 a 1 ， 2 a 3 ，无解；
综上，实数a 的取值范围是1, 0 1, 2 ．
22.
6
【答案】⑴ 4；⑵ 证明见解析；⑶
a
【解析】⑴ 由基本不等式 f x 2
m 2
2 ．
当且仅当 x
解得a 4 ；
⑵ 任取 x1 , x2

a 时取等，所以2 4
2180590-341630a
2171065217805a, ，设 x1 x2 ，
f x f x x x
a x
x x
x x1 x2 a ，
x x x x
1 2 1 2
a
因为 x1 x2 ；

2 1 1 2
1 2 1 2
所以 x1x2 a, x1x2 a 0 ， 又因为 x1 x2 0
所以 f x1 f x2 0
2237105342900所以 f x1 f x2
所以 f x 在
a, 上是增函数
得证；
⑶ 原不等式可化为 x2 4 mx m 1
x2 5 6
即 m x 1
x 1
x 1
恒成立
因为 x 1
6
x 1
x 1
6
3061970254635x 1
2 2 6 2 ，
3476625-2609856
当且仅当 x 1 即 x 1
6 时取等
6
所以m 2 2 ．