广东省2021年普通高中学业水平考试合格性考试模拟数学试题（三） PDF版含答案

2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(三)
（考试时间为90 分钟，试卷满分为150 分）
一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题6 分，共 90 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
2
1．已知集合A??1,2,3,4?，B ??x x ?x?2?0?，则A?B?（ ）
A. ?1? B. ?2? C. ?3? D. ?1,2?
2.下列函数中，在其定义域内是偶函数为( )
1
A. x
f ?x?? B. f ?x??2 C. f ?x??lgx D. f ?x??cosx
x
x
? 2 , x ?1
3.已知函数 f(x) ? ? ，且 f(x0) ?1，则x0 ?（ ）
?log3(x?1),x ?1
A. 0 B. 4 （C.0或4 D. 1或3
4.函数 f(x)? (x?3)(1?x) 的定义域为（ ）
A. (??,?1]?[3,??) B. [?1,3]
C. [?3,1] D. (??,?3]?[1,??)
5.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 2 3 3
6.如果a ?b?0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
a b
1 1
A. ?1? ?1?
c?a?c?b B. ? C. ? ? ? D.
? ? lna?lnb
a b ?2? ?2?
7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n
人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（ ）
A. 660 B. 720 C. 780 D. 800
8.已知 2 5
sin??? ，?是第三象限的角，则tan2?的值为（ ）
5
4 4 4 4
A. ? B. C. ? D.
3 3 5 5
1
1 x
9.函数 f(x) ?( ) ?log3x的零点个数为（ ）
3
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
????? ???? ????
10.设M是?ABC 边BC的中点，若AM ??AB??AC，则???的值为（ ）
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ）
A. 3 B. 3? C. 4 3? D. 12?
12.如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与
枝数的关系最好（ ）
A. 指数函数： t
y ?2 B. 对数函数： y ?log2t
C. 幂函数： 3
y?t D. 二次函数： 2
y ?t
13.设m、n是两条不同的直线，α是平面，m、n不在α内，下列结论中错误的是( )
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
? ?
14. 函数 y ? cosxtanx (? ? x ? )的大致图象是 ( )
2 2
y y y y
1 1 1 1
-? o ? x -? o ? x -? o ? x -? o ? x
2 -1 2 2 -1 2 2 -1 2 2 -1 2
A B C D
频率/组距
15.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据， 0.1
可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）
A.12.5，12.5 B. 13.5，13
C. 13.5，12.5 D. 13，13 0.04
O 5 10 15 20 数据
2
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
5
16.计算：lg ?2lg2?________．
2
? ? ?
17. 已知a ?(1,2),b ? (?3,2)则|a?3b|的值为 ．
3
18.在平面直角坐标系xOy中，角?与角?均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若sin?? ，则
5
sin??________．
?1 4?
19.设x，y为正数，则(x? y)? ? ?的最小值为________．
? x y?
三、解答题：本大题共 3 个小题，每小题 12 分，共 36 分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算过程．
20.如图，在四棱锥P?ABCD中，PD ?平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB
的中点．
（1）求证：EO?平面PDC；
（2）求证：AC ?DE．
3
21.等比数列{an}中，已知a1 ?2,a4 ?16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
22.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径长为30km的圆形区域。已知小岛
中心位于轮船正西70km处,港口位于小岛中心正北40km处,如果这艘轮船沿直线返港，那么它是否会有触
礁的危险?
4
2021 年广东省普通高中学业水平考试
数学科合格性考试模拟试题(三)
参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 B D C C C D B A B C D A D C D
二、填空题 本大题共 4 小题，每小题 6 分，满分 24 分．
3
-
16．____1_____ 17．____2 29_____ 18．___ 5____ 19．____9____
三、解答题 本题共3 小题共 36分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
20．（本小题满分12分）
解:（1）证明：∵E，O点分别是PB，DB中点，
1
∴EO// PD，
2
∵PD?平面PBC，EO?平面PBC，
∴EO?平面PBC．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC ? BD，
又∵PD ?底面ABCD，AC ?底面ABCD，
∴PD? AC，
∵PD?BD ? D，PD?平面PBD,BD?平面PBD，
∴AC ?平面PBD，
∵DE ?平面PBD，
∴AC ?DE．
5
21．（本小题满分12分）
解：(1)设{an}的公比为q
?
由已知得16＝2 3
q ，解得 n 1 n
q ?2. ∴an ?a1q ?2 .
(2)由(1)得a3 ?8,a5 ?32，则b3 ?8,b5 ?32.
?b1?2d ?8 ?b1 ??16
设{bn}的公差为d ，则有? 解得?
?b1?4d ?32 ?d ?12
从而bn ??16?12?n?1??12n?28.
n??16?12n?28?
所以数列 2
{bn}的前n项和sn ? ?6n ?22n
2
22. (本小题满分12分)
解： 我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为 2 2 2
x ? y ?30 ①
x y
轮船航线所在直线l的方程为 ? ?1即4x+7y-280=0②
70 40
如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有
触礁危险，无需改变航向．
?280
由于圆心O（0，0）到直线l的距离d= ＞30，
65
所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将没有触礁危险
6