广东省深圳市盐田高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

2020-2021学年第一学期期中考试
盐田高级中学高一数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．设集合，，则集合 （ ）.
A． B． C． D．
2．不等式的解集为，则 的值为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
3．设函数，则＝（ ）.
A． B． C． D．3
4．下列不等式中，正确的是（ ）.
A． B．
C． D
5．下列函数中是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
6．成立的一个充分非必要条件是（ ）.
A． B． C． D．
7．若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
8．是定义在上是减函数，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．
9．对任意实数，，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③“”是“”的必要条件；
④“”是“”的充分条件.
其中真命题是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
10．设，，则不列等式中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
11．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）.
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；
B．函数的单调递减区间是；
C．若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在上是单调增函数；
D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.
12．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）.
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题：“”的否定是______.
14．已知幂函数在上为减函数，则实数 ．
15．已知实数且，则的最小值为______.
16.已知函数是定义在上的奇函数且是减函数，若
则实数的取值范围是_____________．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(满分10分)
已知非空集合
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．(满分12分)
设集合
（1）若,求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
19．(满分12分)
已知定义在 上的奇函数，当时，
（1）求函数的表达式；
（2）请画出函数的图象；
（3）写出函数的单调区间．
20．(满分12分)
已知函数 是定义在上的奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．
21．(满分12分)
近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 万，每生产 （千部）手机，需另投入成本 万元，且
由市场调研知，每部手机售价 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出 年的利润 （万元）关于年产量 （千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
（2） 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
22. (满分12分)
若函数对于其定义域内的某一数，有,则称是的一个不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.
参考公式：，的中点坐标为
2020-2021学年第一学期期中考试
盐田高级中学高一数学试卷
逐题解析与评分标准
1-8 CABDC DAB 9.BC 10.ABC 11.ABC 12.CD
13.，； 14.； 15.4； 16.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合，，则集合（ C ）.
A． B． C． D．
解析：，，
则 故选：C.
2.不等式的解集为，则的值为（ A ）.
A．， B．， C．， D．，
解析：不等式的解集为，故不等式对应方程的系数满足：，解得，.故选：A.
3.设函数，则＝（ B ）.
A． B． C． D．3
解析：因为，所以，所以.
故选：B.
4.下列不等式中，正确的是（ D ）.
A. B. C. D.
解析：a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，
a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式得x2＋≥2可知D项正确. 故选：D.
5.下列函数中是偶函数的是（ C ）.
A． B． C． D．
解析：A选项：因为，所以定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A选项错误；
B选项：因为，所以函数图象关于对称，不关于轴对称，所以函数是非奇非偶函数，故B选项错误；
C选项：因为，所以函数定义域为关于原点对称，且，所以函数是偶函数，故C选项正确；
D选项：因为，所以，所以函数不是偶函数，故D选项错误.故选：C.
6.成立的一个充分非必要条件是（ D ）.
A． B． C． D．
解析：由解得或，所以成立的一个充分非必要条件是的真子集，因为，所以成立的一个充分非必要条件是,故选：D
7.若函数的定义域为,则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：∵函数f（x）的定义域为；∴不等式mx2mx+2>0的解集为；
①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m≠0时，则；解得0＜m<8；综上得，实数m的取值范围是
故选：A．
8.是定义在上是减函数，则的取值范围是（ B ）.
A． B． C． D．
解析：因为是定义在上是减函数,
所以,求得,故选:B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．
9．对任意实数，，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③“”是“”的必要条件；
④“”是“”的充分条件.
其中真命题是（ BC ）..
A．① B．② C．③ D．④
解析：①由“”可得，但当时，不能得到，故“”是“”的充分不必要条件，故①错误；
②因为5是有理数，所以当是无理数时，必为无理数，反之也成立，故②正确；
③当时，不能推出；当时，有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故③正确.④取，，此时，故④错误；
故答案为：BC
10．设，，则不列等式中正确的是（ ABC ）.
A． B． C． D．
解析：因为在上是增函数，所以，故A正确；
因为在上是减函数，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
当时，不成立，所以D不成立.
故答案为：ABC.
11．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ABC）.
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；
B．函数的单调递减区间是；
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在上是单调增函数；
D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.
解析：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误；
对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；
对于C，若定义在上的函数在区间上是单调增函数，
在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，故C错误；
对于D，为单调性的定义，正确. 故答案为：ABC.
12．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ CD ）.
A． B． C． D．
解析：对于①对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；对于②对于定义域内的任意，，当时，恒有，不妨设，，，所以在定义域内是减函数；
对于A：，在上是增函数，所以不是“理想函数”；
对于 B：偶函数，所以不是“理想函数”；
对于C：是奇函数，并且在上是减函数，所以是“理想函数”；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，在，都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”. 故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题：“，”的否定是______.
解析：命题为全称命题，则命题的否定为，
故答案为：．
14．已知幂函数在上为减函数，则实数 ．
解析：∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1
当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数
当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数
故答案为m=﹣1
15．已知实数，，且，则的最小值为______.
解析：由题意可得x＞0,y＞0,，整理得：，
解得： (当且仅当,即x=4且y=1时取等号)，则的最小值为4.
故答案为：4．
16．已知函数是定义在上的奇函数且是减函数，若
则实数的取值范围是_____________．
解析：由题意知解得，
∵函数为奇函数，由，得
∵函数在（－2，2）上是减函数，∴，解得∴实数的取值范围是．故答案为：．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知非空集合
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解析：（1） 因为 是非空集合，所以 ，即 .
当 时，，，
，所以 ．
????（2） 若“”是“”的充分不必要条件，即 ，
即 且 和 的等号不能同时取得，解得 ， 即实数 的取值范围为 ．
18．设集合
（1）若,求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
解析：（1） 由 得 或 ，故集合 ．
因为 ，所以 ，代入 中的方程，得 或 ．
当 时，，满足条件；
当 时，，满足条件．
综上， 的值为 或 ．
??????（2） 对于集合 ，．
因为 ，所以 ．
①当 ，即 时， 满足条件；
②当 ，即 时， 满足条件；
③当 ，即 时， 才能满足条件，则由根与系数的关系得 矛盾，即 不存在．
综上， 的取值范围是 ．
19．已知定义在 上的奇函数 ，当 时，．
（1）求函数 的表达式；
（2）请画出函数 的图象；
（3）写出函数 的单调区间．
解析：（1） 设 ，则 ，所以 ．
又 是定义在 上的奇函数，所以 ．
所以 ．当 时，，
所以 ．
???（2）的图象如图所示：
（3） 递增区间是 ，，递减区间是 ，．
20．已知函数 是定义在上的奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．
解析：（1） 由题意可知 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
???（2） 在 上递增，理由如下：
设 ，则：，
因为 ，
所以 ，，，，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是增函数．
21．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 ，然而这并没有让华为却步．华为在 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 万，每生产 （千部）手机，需另投入成本 万元，且 ．
由市场调研知，每部手机售价 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出 年的利润 （万元）关于年产量 （千部）的函数解析式
（利润 销售额 成本）；
（2） 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
解析：（1） 当 时，
；
当 时，
．
所以 ．
?????（2） 若 ，；
当 时， 万元；
若 ，，
当且仅当 ，即 时， 万元．
所以 年产量为 （千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 万元．
22．若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.
参考公式：，的中点坐标
解：（1），由，
解得或，所以所求的不动点为－1或3.
（2）令，则①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即恒成立，
则，故
（3）设，，，
又的中点在该直线上，所以，
∴，
而、应是方程①的两个根，所以，即，
∴
∴当时，.
试卷第1 11页，总4 44页
答案解析第7 77页，总7 77页