福建省莆田二中2020-2021学年高一上学期周末练习数学试题（2020.11.7） PDF版含答案解析

2020 年莆田二中高一数学练习卷（11.7）
一、单选题
? 1 ? ? n 1 ?
1．若集合A??x|x?m? ,m?Z?，B ??x|x? ? ,n?Z?，
? 6 ? ? 2 3 ?
? p 1 ?
C ??x|x? ? , p?Z?，则A，B，C之间的关系是（ ）
? 2 6 ?
A．A?B?C B．A?B=C C．B?C D．B?C?A
2．已知实数x?0，y ?0，则“xy?1”是“ x y
2 ?2 ?4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若函数 x
f ?x?? a?a (a ?0,a ?1)的定义域和值域都是[0,1]，则
7 11
loga ?loga ?（ ）
11 14
A．?2 B．?1 C．0 D．1
?1 ?
4．若 x0∈? ,2 ，使得 2
? 2x0 ??x0 ?1?0成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
?2 ?
?
? 9?
A．???,2 2? ． ? ． ．
? B ?2 2,3? C ?2 2, ? D ?3?
? 2?
5．已知区间(a,b)是关于x的一元二次不等式 2
mx ?2x?1?0的解集，则3a?2b的
最小值是（ ）
?
A．3 2 2 5
B．5?2 6 C． ? 6 D．3
2 2
?a,a b
6．定义新运算“?”如下： ?
a?b? ? 2 ，已知函数
?b ,a ?b
f(x)?(1?x)x?2(2?x)(x?[?2,2])，则满足 f(m?2)?f(2m)的实数m的取值范
围是（ ）
?1 ? ?1 ?
A．? ,??? B． ?
? 2? C．[0.1] D．[?1.4]
?2 ? ?2 ?
0.7 1
7．设 p ?0.5 ,q ? log30.3，则有（ ）
3
A． p?q? pq? p?q B． p?q? p?q? pq
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C． pq? p?q? p?q D． p?q? p?q? pq
? x
?2 ?1, x 2
8．设函数 ?
f ?x??? ，若互不相等的实数a,b,c满足 f ?a?? f ?b?? f ?c?，
???x?5, x? 2
则 a b c
2 ?2 ?2 的取值范围是（ ）
A．?16,32? B．?18,34? C．?17,35? D．?6,7?
二、多选题
9．若0?c?1,a?b?1，则（ ）
A．logac ?logbc B． c c
ab ?ba
C．alogbc ?blogac D．a?b?c??b?a?c?
10．以下说法正确的是（ ）
1
A．a ? ? ?a
a
B．若定义在R上的函数 y ? f (x)是奇函数，则 y ? f(f(x))也是奇函数
2 1
C． ?log23? ?4log23?4?log2 ??2
3
D．已知 2 m
y??m ?3m?3?x 是幂函数，则m的值为4
11．（多选）设函数 f(x)? x|x|?bx?c，给出如下命题，其中正确的是（ ）
A．c=0时， y ? f (x)是奇函数
B．b?0，c?0时，方程 f(x)=0只有一个实数根
C． y ? f (x)的图像关于点(0,c)对称
D．方程 f(x)=0最多有两个实根
E.方程 f(x)=0在(0,??)上一定有根
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿
基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x?R，用[x]
表示不超过x的最大整数，则 y ?[x]称为高斯函数，例如：[?3.5]??4，[2.1]?2.
x
已知函数 e 1
f(x)? x ? ，则关于函数g(x)?[f(x)]的叙述中正确的是（ ）
1?e 2
A． f(x)是奇函数 B． f(x)在R上是增函数
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C．g(x)的值域是{?1,0,1} D.g(x)的值域是{?1,0}
三、填空题
9 5
13．函数f(x)＝(m2－m－1) 4m ?m ?1
x 是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
f(x1)? f(x2)
满足 >0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值：
x1?x2
①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．
上述结论正确的是________(填序号)．
14．对于函数 f ?x?，若在定义域内存．在．实数x，满足 f ??x???f ?x?，称 f ?x?为“局
x x?1 2
部奇函数”，若 f ?x??4 ?m2 ?m ?3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的
取值范围是______
1 ? 2? ?
15．函数 x 2x 3
y ?( ) 的值域为____________ ，单调递增区间是_________．
2
|x?t|
16．已知函数 f ?x??e ，g?x???x?e ，h?x??max? f ?x?,g?x??，其中
max?a, b?表示a,b中最大的数.
(1) 若t ?1，则h?0??_____；
（2）若h?x??e对x?R恒成立，则t的取值范围是______.
四、解答题
? x?1 ? 2
17．已知集合A??x ?0?，B ??x x ?(3m?1)x?2m(m?1)?0?.
? x?1 ?
（1）若“命题 p:?x?B，x?A”是真命题，求m的取值范围.
（2）若“命题q:?x?B，x?A”是真命题，求m的取值范围.
18．已知函数 f ?x?为二次函数，它的最小值为1，且对任意x?R，都有
f ?1?x?? f ?1?x?成立，又 f ?0??3．
（Ⅰ）求 f ?x?的解析式；
（Ⅱ）在区间??1,1?上．y? f ?x?的图象恒在y ??2x?2m?1图象的下方，试确定实
数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数 f ?x?在区间?a,a?1?上的最小值g?a?．
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? ? 1?
?m?x? ??2,x ?0
? ? x?
19．已知函数 f ?x??? 是奇函数.
? ? 1?
2?x? ??n,x?0
?? ? x?
（1）求实数m，n的值；
x x
（2）若对任意实数x，都有 f ?4 ???f ?2 ??0成立.求实数?的取值范围.
2
20．已知函数 f ?x??(m?1)x ?mx?m?1(m?R).
（1）若不等式 f ?x??0 的解集为?，求m的取值范围；
（2）当m??2时，解不等式 f ?x??m；
（3）若不等式 f(x)?0的解集为D，若[?1,1]? D，求m的取值范围.
21．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和
能力，近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营
的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”.某平
台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入x?x??4,8??万元的赞助费，已知该销
售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x万元赞助费后，商品的销售量将增
? 20 ?
加到 y ????10? ?万件，???0.6,1?为气象相关系数，若该销售商出售y万件商
? x?2?
品还需成本费?40?5x?30y?万元.
（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润 p万元与平台投人的赞助费x万元的关系
式；
（注：总利润?赞助费?出售商品利润）
（2）若对任意x??4,8?万元，当?满足什么条件时，该销售商才能不亏损？
1?t
22．已知函数 x
f ?x??a ? x (a?0,a?1)是定义域为R的奇函数.
a
（1）求实数t的值；
（ 2
2）若 f ?1??0，不等式 f(x ?bx)? f(4?x)?0在x?R上恒成立，求实数b的取值
范围；
3 1
（3）若 2x
f ?1?? 且h?x??a ? ?2mf ?x?在[1,??)上的最小值为?2，求m的值.
2 2x
a
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2020 年莆田二中高一数学练习卷
参考答案
6m 1
1．B【详解】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，x ? ? ，m?Z；
6 6
3(n?1) 1 3p 1
集合B中，x ? ? ，n?Z；集合C中，x ? ? ， p?Z．由n?1与p均
6 6 6 6
表示整数，且6m ?3(2m)，可得A?B=C．故选B.
2．B
3．B【详解】设 x x
t ?a?a ，则 y? t 为增函数，则函数y? a?a (a?0,a?1)为单调函数，
7 11 7 11 1
求得a?2，则loga ?loga ?loga( ? )?log2 ??1，故选：B
11 14 11 14 2
?1 ?
4．A【详解】因为 2
x0∈? ,2 ，使得 成立是假命题，
? 2x0 ??x0 ?1?0
?2 ?
?
?1 ? ?1 ? 1
所以 x∈? ,2 ，使得 2－ ＋ 恒成立是真命题，即 ∈
? 2x λx 1≥0 x ? ,2 ，
? ??2x? 恒成立
?2 ? ?2 ? x
? ?
是真命题，当 2 ? 2?
x ? 时， f(x)取得最小值 f ? ＝ ，则 故选：
? ?? 2 2 λ≤2 2. A.
2 ? 2 ?
5．C由题知 2
a，b是关于x的一元二次方程mx ?2x?1=0的两个不同的实数根，
2 1 a?b
则有a?b? ，ab? ，m?0，所以 ?1，且a，b是两个不同的正数，
m m 2ab
?a?b? 1? 3a 2b? 1? 3a 2b ?
则有3a?2b??3a?2b??? ?= ?5+ ? ?? ??5?2 ? ?
? 2ab ? 2? b a ? 2? b a ??
1 5 3a 2b 5
? ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是
?5?2 6?? ? 6 ? 3a?2b ? 6.
2 2 b a 2
故选：C
6．C
?1 2 ?
7．B【详解】由 0.7 1 0.7 0.5 1 2
p ?0.5 ，0.5 ?0.5 ?0.5 ? ? ,?p??? , ?；
?
2 2 ?2 2 ?
1
由 1 1 1 1 1 1 1 1 1
q ? 3
log30.3，? ? log3 ( ) ? log30.3? log3 ?? ，?q?(? ,? )
3 2 3 3 3 3 3 3 2 3
?p?q ? p?q ?0， pq?0?p?q? p?q? pq故选：B.
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8．B【详解】画出函数 f ?x?的图象如图所示．
不妨令 a b a b
a?b?c，则1?2 ?2 ?1，则2 ?2 ?2．
结合图象可得 c a b c
4?c?5，故16?2 ?32．∴18?2 ?2 ?2 ?34．选B．
9．AB【详解】因为0?c?1,a?b?1，所以由对数函数得单调性得logca?logcb?0，
1 1
则由换底公式有0? ? ，即0?logac?logbc，则选项A正确；
logc a logcb
?
由题意 c 1
y ? x 为减函数，所以 c?1 c?1 c c
b ?a ，且ab?0，则由不等式的基本性质得ab ?ba ，
则选项B正确；由题意0?logac?logbc，又a＞b＞1，则alogbc ?blogac ，则选项C
错误；由题意ac?bc,?ac??bc，所以ab?ac?ab?bc，即a?b?c??b?a?c?，则选
项D错误；故选：AB
1
10．BD【详解】对A项，当a??1时，a ? ??1? ?a ?1，则A错误；
a
对B项，设F(x)? f(f(x))，F(?x)? f(f(?x))? f(?f(x))??f(f(x))??F(x)，则
函数 y ? f(f(x))是奇函数，则B正确；对C项，设t ?log23?log24?2，
2 2 2
?log23? ?4log23?4?log23? t ?4t?4?t ? (t?2) ?t
2
?m ?3m?3?1
?2?t?t ?2?2t ?2?2log23，则C错误；对D项，? ?m?4，则D
?m?0
正确；故选：BD
11．ABC【详解】
由题意，当c=0时， f(x)?x|x|?bx ，此时 f(?x)??f(x)，故 f(x)为奇函数，A正
确；当b?0，c?0时， f(x)? x|x|?c，若x?0， f(x)?0无解，若x?0， f(x)?0
有一解x?? c，所以B正确，E不正确；
?g(x)? x|x|?bx为奇函数，图象关于（0，0）对称，? f(x)? x|x|?bx?c图象可能情
况如下图：关于（0，c）对称，可得C正确，D不正确.故选：ABC.
答案第2页，总8页
?x
12．ABD【详解】根据题意知， e 1 1 1
? f(?x)? ?x ? ? x ? ??f(x) ，
1?e 2 1?e 2
1 1
∴ f(x)是奇函数，A正确；由复合函数的单调性知 f(x)? ? x 在R上是增函数，B
2 1?e
1 1
正确； x x
?e ?0，?1?e ?1，0? x ?1,?1?? x ?0,
1?e 1?e
1 1
?? ? f(x)? ，?g(x)?[f(x)]?{?1,0}，C错误，D正确.故选:BCE.
2 2
13．①【详解】依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴ 解得m＝2，则f(x)＝x2015.∴函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函
数．由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
14．1? 3≤m≤2 2【解析】∵ f(x)“局部奇函数”，∴存在实数x满足 f(?x)??f(x)，
即 ?x ?x 2 x x 2 x
4 ?2m?2 ?m ?3? ?4 ?2m?2 ?m ?3，令t ?2 (t ?0)，
1 1 1 1
则 2 2 2 2
2 ?t ?2m( ?t)?2m ?6?0，即( ?t) ?2m( ?t)?2m ?8?0在t?(0,??)上
t t t t
1
有解，再令 2 2
h? ?t(h?2)，则g(h)?h ?2mh?2m ?8?0在h?[2,??)上有解，
t
函数的对称轴为h?m，分类讨论：
①当 2 2 2
m?2时，g(h)? g(m)，∴g(m)?m ?2m ?2m ?8?0 ，解得2?m?2 2；
②当 2
m?2时，g?h?? g?2?，?g(2)?4?4m?2m ?8?0 ，解得1? 3 ?m?2.
综合①②，可知1? 3≤m≤2 2.
15．[4,??) [1,??) 【详解】设 2
u ??x ?2x?3，
则 2 2
u ??x ?2x?3??(x?1) ?2??2 ，且函数u在区间[1,??)上单调递减，
1 1 1 ? 1 ? 2? ?
又由函数 x 2
y ?( ) 为单调递减函数，所以 u x 2x 3
( ) ?( ) ?4，即函数 y ?( ) 的值域
2 2 2 2
1 ? 2? ?
为 x 2x 3
[4,??)；又由复合函数的同增异减可得，函数 y ?( ) 单调递增区间为[1,??).
2
x?t x?1
16．e t??1 【详解】（1）当t ?1时， f ?x??e ?e ， f ?0??e，g?0??e
所以，h?0??e．（2）当x＜0时，g?x???x?e＞e，所以，有h?x??max? f ?x?,g?x??
答案第3页，总8页
＞e成立；当x≥0时，g?x??e，所以，只要 f ?x??e即可，
|x?t|
即函数 f ?x??e 当x>0时，有f(x)>e，如下图，
x x?1
将 f ?x??e 左移1个单位，得到函数： f ?x??e 图象，
此时，有 f ?x??e（x>0），图象再左移满足 f ?x??e所以，有t ??1．
故答案为e，t ??1
1 1
17．（1）? ?m?0；（2）?2?m? .
2 2
【详解】由已知得：A?(?1,1),B ??x (x?2m)?x?(m?1)??0?
? 1 1
??1?2m?1 ?? ?m? 1
（1）?x?B,x?A? B? A?? ?? 2 2 ?? ?m?0.
??1?m?1?1 ? 2
??2?m?0
1 1
（2）?x?B,x?A??1?2m?1或?1?m?1?1，解得? ?m? 或?2? m?0，
2 2
1
??2? m? .
2
2
?2a ?1,a?0,
2 ?
18．（Ⅰ） f ?x??2x ?4x?3；（Ⅱ）m?3；（Ⅲ）g?a???1,0?a?1, .
? 2
?2a ?4a?3,a?1.
【详解】（Ⅰ）由条件知该二次函数图象的对称轴为x?1，又因为函数的最小值为1，
2
故可设 f ?x??a?x?1? ?1?a ?0?，将点?0,3?的坐标代入得a?2，
2
所以 2
f ?x??2?x?1? ?1?2x ?4x?3．
2
（Ⅱ） f ?x??2x?2m?1?2x ?2x?2m?2，
由题意得 2
2x ?2x?2m?2?0对于任意x???1,1?恒成立，
所以 2 2
x ?x?1?m对于任意x???1,1?恒成立， y ? x ?x?1图象的对称轴为
答案第4页，总8页
1 2
x? ???1,1?，则x ?x?1? f ??1??3，所以m?3．
2
（Ⅲ）当a?1?1，即a?0时， f ?x?在?a,a?1?上单调递减，
2 2
g?a?? f ?a?1??2?a?1? ?4?a?1??3?2a ?1．
当a?1?a?1，即0?a?1时，g?a?? f ?1??2?4?3?1．当a?1时，f ?x?在?a,a?1?
2
上单调递增．g?a?? f ?a??2a ?4a?3．
2
?2a ?1,a?0,
?
所以g?a???1,0?a?1,
? 2
?2a ?4a?3,a?1.
?m?2
19．（1）? ；（2）???1.
?n?2
? 1 ?
【详解】（1）当x?0时， f ??x??2???x?? ??n，因为 f ?x?为奇函数，
? ??x??
? 1 ? ? ? 1? ?
? f ??x?? ?f ?x?，? f ??x??2???x?? ??n???m?x? ??2?，
? ??x?? ? ? x? ?
? 1? ?m?2?0 ?m?2
即?m?2??x? ???n?2??0总成立.?? ，?? ，
? x? ?n?2?0 ?n?2
?m?2 ?m?2
又当x?0时，同理可得? ，综上：?? .
?n?2 ?n?2
（ x x
2）?4 ?0，2 ?0，
? x 1 ? ? x 1 ? 1
原不等式化为 x
2?4 ? x ??2?2??2 ? x ??2??0，令t ?2 ? x ，则t ?2，
? 4 ? ? 2 ? 2
原不等式进一步化为 2
t ??t???3?0在t ?2上恒成立.
2
记g?t??t ??t???3，t??2,???
?
①当? ? 2时，即???4时，g?t?
min ? g?2????1?0，????1合理；
2
2
? ? ?? ?
②当? ? 2时，即???4时，g?t?
min ? g?? ??? ???3?0，显然不成立.
2 ? 2? 4
综上实数?的取值范围为：???1.
答案第5页，总8页
20．（1） 2 3
[ ,??)；（2）当m??1时，不等式的解集为[1,??)；当m??1时，不等式
3
1 1
的解集为(??,? ]?[1,??)；当?2?m??1时，不等式的解集为[1,? ]；
m?1 m?1
（ 2 3
3）[ ,??).【详解】（1）①当m?1?0时，即m??1时， f(x)? x?2，不合题意；
3
?m?1?0
②当m?1?0时，即m??1时，满足? 2 ，
???m ?4(m?1)(m?1)?0
?m??1
?
即 2 3 2 3
? 2 3 2 3 ，解得m? ，即实数m的取值范围是[ ,??).
?m?? 或m? 3 3
? 3 3
2
（2）因为不等式 f ?x??m，即?m?1?x ?mx?1?0，即[(m?1)x?1](x?1)?0，
①当m?1?0时，即m??1时，不等式的解集为[1,??)；
1
②当m?1?0时，即m??1时，不等式可化为(x? )(x?1)?0，
m?1
1 1
因为? ?0，所以不等式的解集为(??,? ]?[1,??)；
m?1 m?1
1
③当m?1?0时，即?2?m??1时，不等式可化为(x? )(x?1)?0
m?1
1
因为?2?m??1，可得?1?m?1?0，所以? ?1，
m?1
1
所以不等式的解集为[1,? ].
m?1
（3）不等式 f ?x??0的解集为D，若[?1,1]? D，
即对任意的x? 2
[?1,1]，不等式(m?1)x ?mx?m?1?0恒成立，
即 2 2
m(x ?x?1)??x ?1恒成立，
2
? ? ?
因为 2
x ?x?1?0恒成立，所以 x 1 2 x
m? 恒成立，
2 ??1? 2
x ?x?1 x ?x?1
设t ?2?x 则t?[1,3],x?2?t，
答案第6页，总8页
2?x t t 1
?
所以 2 2 ? 2 ?
x ?x?1 (2?t) ?(2?t)?1 t ?3t?3 3 ，
t? ?3
t
因为 3 3 3
t? ?2 t? ?2 3，当且仅当t ? 时，即t ? 3时取等号，
t t t
2?x 1 2 3?3
所以 2 ? ? ，当且仅当x ?2? 3时取等号，
x ?x?1 2 3?3 3
2
? ? ?
所以当 x 1
x ?2? 3时， 的最大值为 2 3 3 2 3
2 ?1? ? ，
x ?x?1 3 3
所以m的取值范围是 2 3
[ ,??).
3
200
21．（1） p?100?? ??4x?40，x??4,8?；（2）?满足???0.9,1?时，该销售商
x?2
才能不亏损.【详解】（1）由题意得
? 20 ? ? ? 20 ?? 200
p ? x?40???10? ?? ?40?5x?30???10? ???100?? ??4x?40 ，
? x?2? ? ? x?2?? x?2
x??4,8?.
（2）要使对任意x??4,8?（万元）时，该销售商才能不亏损，
?x?10??x?2?
即有 p?0，变形得25?? 在x??4,8?上恒成立，
x
2
?x?10??x?2? ? ?
而 x 12x 20 20
? ? x? ?12，
x x x
20
由对勾函数的性质易知，函数 f ?x?? x? ?12在??4,2 5?单调递减，在?
? ?2 5,8?单调
?
x
递增，f ?x?
max ? max?f ?4?, f ?8??，因为 f ?4?? 21? f ?8?? 22.5，所以有25??22.5，
解得??0.9，即当?满足???0.9,1?时，该销售商才能不亏损.
22．（1）t ?2；（2）(?3,5)；（3）m?2.
【详解】（1）因为 f ?x?是定义域为R的奇函数，所以 f ?0??0，所以1??1?t??0，所
以t ?2，
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1
（2）由（1）知： x
f ?x??a ? x (a ?0,a ?1)，
a
1
因为 f ?1??0，所以a? ?0，又a ?0且a?1，所以a?1，
a
1
所以 x
f ?x??a ? x 是R上的单调递增，又 f ?x?是定义域为R的奇函数，
a
2 2 2
所以 f ?x ?bx?? f ?4?x??0? f ?x ?bx?? f ?x?4?? x ?bx? x?4
即 2
x ?bx?x?4?0在x?R上恒成立，
2
所以? ??b?1? ?16?0，即?3?b?5，
所以实数b的取值范围为??3,5?.
3 1 3 1
（3）因为 f ?1?? ，所以a? ? ，解得a?2或a?? (舍去)，
2 a 2 2
2
所以 2x 1 ? x 1 ? ? x 1 ? ? x 1 ?
h?x??2 ? 2x ?2m?2 ? x ???2 ? x ? ?2m?2 ? x ??2，
2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
1 2
令 x
u ? f ?x??2 ? x ，则g?u??u ?2mu?2，
2
1 3
因为 x
f ?x??2 ? x 在R上为增函数，且x?1，所以u ? f ?1?? ，
2 2
1
因为 2x
h?x??2 ? 2x ?2mf ?x?在?1,???上的最小值为?2，
2
2 ?3 ?
所以g?u??u ?2mu?2在? ,???上的最小值为?2，
?2 ?
2
因为 2 2
g?u??u ?2mu?2??u?m? ?2?m 的对称轴为u?m
3 2
所以当m? 时，g?u?
min ? g?m??2?m ??2，解得m?2或m??2(舍去)，
2
3 ?3? 17 25 3
当m? 时，g?u? ? g? ?? ?3m??2，解得m? ? ，
2 min ?2? 4 12 2
综上可知：m?2.
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