5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版2020-2021学年度上学期八年级数学上册第五章二元一次方程组
5.3
应用二元一次方程组——鸡兔同笼
【知识清单】
1.
列方程组解决实际问题的一般步骤：
(1)审：认真审题，弄清问题中已知量和未知量；问题给出和涉及的相等关系是什么.
(2)找：找出问题给出和涉及的(两个)等量关系；
(3)设：(未知数).用字母表示题中的两个未知数；设未知数分为①直接未知数；②间接未知数；
(4)列：根据找出的(两个)相等关系列出所需的代数式，从而列出两个方程并组成方程组；
(5)解：解方程组；及检验.
(6)验：检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验是否符合题意，不符合题意的要舍去；
(7)答：写出答案，包括单位名称.
2．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.
【经典例题】
例题1、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题，这就是着名的“鸡兔同笼”问题.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思就是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问鸡和兔各有多少只？
【考点】应用二元一次方程组解决实际问题．
【分析】根据题中的等量关系：鸡的只数+兔的只数=35头，所有鸡的脚数+所有兔的脚数=94只脚，列出方程组求解即可.
【解答】设鸡有x只，兔有y只.
根据题意，得
解方程组，得
答：鸡有23只，兔有12只.
【点评】列二元一次方程组解应用题，需要设两个未知数，找两个相等关系．
例题2、某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，若篮球与排球分别被借出6个和4个，剩下的篮球和排球数的数量是学校篮球和排球总数的三分之一，设篮球有x个，排球与y个，根据题意列方程组为(
)
A.
B.
C.
D.
【考点】应用二元一次方程组解决实际问题．?
【分析】找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
【解答】根据题意，得
故选B.
【点评】列二元一次方程组解决和、差、倍、分问题时，要抓住题目中反应数量关系的关键字(词)；和、差、倍、几分之几、比、大、小、增加、减少等，列方程时，要明确关键字的含义，寻找等量关系，设出合适的未知数.
【夯实基础】
1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是
A．
B．
C．
D．.?
2．如图，
在大长方形ABCD中、放入七个相同的小长方形、BC=17、DE=7，则图中阴影部分的面积为(
)
A．57
B．67
C．77
D．87.?
3．一副三角板的放置如图所示，若∠2比∠1大10°，则所列方程组正确的是(?
)
A
.
??B
.??
C
.?
?D
.?
4．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒钟就可追上乙，如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x，y米，列出方程组为(
)
A．
B．
C．
D．
5．在一个长方形中，若长减少3cm，宽加长5cm，面积不变；若长加长4cm，宽减少2cm，面积不变，则这个长方形的长为
cm，宽为
cm，面积为
cm2.
6．甲乙隔河放牧羊，两人相互问数量：甲说得乙羊九只，我羊是你羊二倍；乙说得甲羊八只，两人羊数正相当。请你帮忙算一算，甲放的羊数
，乙放的羊数
．
7．某体育活动中心购买了15个篮球和8个足球，一共花费了2051元，其中足球的单价比篮球的单价多12元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为
．
8．某自行车行为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，计划在11月11日这天投放一批打折单车，这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车打七折后单价420元，B型车打八折后单价400元．计划打折A，B两种款型的单车共100辆，总共让利11600元．试问本次打折的A型车与B型车各多少辆？
9．已知8m·16n=128，与是同类项，求m、n的值.
【提优特训】
10．八年级1班36位同学在植树节这天共种了124棵树苗，其中男生每人种4棵，女生每人种3棵．则其中男生人数比女生人数多(　　)
A.
6人
B.
5人
C.
4人
D.
3人
11．某人有33枚1角与5角的硬币若干，共计是10元9角，其中1角与5角的硬币各是多少？设1角硬币x枚，5角硬币y枚，可方程组为(　
　)
A．
B．
C．
D．
12．已知14a7b=11+12c，9a12b12c=14，则a+b的值为(
).
A．3
B．4
C．5
D．6
13．在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱
五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干
钱，如果甲
得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙
也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组
为(　　)
A．
B．
C．
D．
14．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为
元.
15．∠α与∠β的两边分别平行，已知∠α比∠β的2倍大12°，则∠α与∠β的度数分
别为
，
.
16．甲、乙两家服装店以每件130元的价格批发一批体T恤衫，厂家给的指导价为每件180元.
甲店按指导价卖出件以后，剩余的按指导价八折全部售出；乙店同样按指导价卖出件，
然后将件按指导价九折售出，再将剩余的按指导价七折全部售出，结果利润与甲店相
同.则a、b的等量关系为
.
17．从甲地到乙地的路上有一段上坡路与一段平路.如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟.甲地到乙地全程是多少?
18．为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房.若单人间住了4间，且恰好将20间客房住满，求三人间和二人间各入住多少间？
19．已知仙鹤和乌龟是动物中的长寿星，一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天，它们发现鹤父的年龄是鹤女的2倍，龟祖的年龄是龟孙的5倍，它们四位的年龄和的3倍恰好是900岁.十年后，鹤父和鹤女之和的5倍，加上龟祖、龟孙的年龄也是900岁，试求它们分别是多少岁？
20．亚洲文明对话会召开期间，大批的大学生志愿者参与范围工作.某大学计划组织本校全体
志愿者同一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.求(1)计划调配
36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人都有座，又保证每辆车不空座，则两种车型各多少辆？
【中考链接】
21．(2019?湖南长沙)
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是
A．
B．
C．
D．
22．(2019?安徽)
为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路，其中一段长146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？
23．(2019?湖南衡阳)
某班组织活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品.已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件.
(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
参考答案
1、C
2、B
3、B
4、D
5、5、6、30
6、59、43
7、
10、D
11、A
12、C
13、A
14、18
15、124°、56°
16、a+2b=150
21.A
8．某自行车行为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，计划在11月11日这天投放一批打折单车，这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车打七折后单价420元，B型车打八折后单价400元．计划打折A，B两种款型的单车共100辆，总共让利11600元．试问本次打折的A型车与B型车各多少辆？
解：(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，
根据题意，得：，
解得：
答：本次打折的A型车20辆、B型车80辆.
9．已知8m·16n=128，与是同类项，求m、n的值.
解：∵8m·16n=128，
∴23m·24n=27，
∴23m+4n=27，
∴3m+4n=7，
∵与是同类项，
∴4n+m1=5m+1，
解方程组得
17．从甲地到乙地的路上有一段上坡路与一段平路.如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟.甲地到乙地全程是多少?
解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，
根据题意，得：
解得：
所以：x+y=3.1千米
答：甲地到乙地的全程是3.1千米．
18．为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房.若单人间住了4间，且恰好将20间客房住满，求三人间和二人间各入住多少间？
解：设三人间，二人间，单人间分别住了x，y间，其中x，y都是自然数，
则，
解得.
答：三人间住14间和二人间住2间.
19．已知仙鹤和乌龟是动物中的长寿星，一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天，它们发现鹤父的年龄是鹤女的2倍，龟祖的年龄是龟孙的5倍，它们四位的年龄和的3倍恰好是900岁.十年后，鹤父和鹤女之和的5倍，加上龟祖、龟孙的年龄也是900岁，试求它们分别是多少岁？
解：设鹤女x岁，鹤父2x，龟孙y，龟祖5y，
十年后鹤女x+10岁，鹤父2x+10，龟孙y+10，龟祖5y+10，
根据题意，
解得：
，
所以2x=80，5y=150，
答：鹤女40，鹤父80，龟孙30，龟祖150.
20．亚洲文明对话会召开期间，大批的大学生志愿者参与范围工作.某大学计划组织本校全体
志愿者同一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.求(1)计划调配
36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人都有座，又保证每辆车不空座，则两种车型各多少辆？
解：(1)设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则在调配22座新能源客车(x+4)辆，
根据题意，得
解得：
，
(2)设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
根据题意，得36m+22n=218，
又因为m、n均为正整数，
所以.
22．(2019?安徽)
为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路，其中一段长146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？
解：设甲工程队每天掘进x米，乙工程队每天掘进y米，
根据题意有：
解得
所以，(14626)÷(7+5)=10
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天.
23．(2019?湖南衡阳)
某班组织活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品.已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件.
(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
解：(1)∵由题意知2x+y=15，∴y与x之间的关系式为2x+y=15；
(2)∵在2x+y=15中，2x为偶数，15为奇数，∴y必为奇数，
∵每种奖品至少买一件，∴x≥1，y≥1，
∴奇数y只能取1、3、5、7、9、11、13这七个数
∴共有七种购买方案，如右图所示：
方
案
1
2
3
4
5
6
7
笔记本(本)
7
6
5
4
3
2
1
中性笔(支)
1
3
5
7
9
11
13
第2题图
第3题图
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精品试卷·第
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