沪科版（2012）初中数学八年级上 册12.3.1 利用一次函数的图象解决一次方程教案

利用一次函数的图象解决一次方程；一元一次不等式的有关问题．
一.
教学重点目标：
重点：利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，体会方程与函数，不等式与函数之间的关系．
难点：利用函数图象解决实际问题
二.
具体内容
1.
一次函数与一次方程的关系
将一次函数移项得，可以看出这是一个二元一次方程．这样的图象，也是方程的解．图象上每个点的坐标都适合方程，也就是方程的解．直线与x轴的交点的纵坐标为0，即直线，即直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解．
注：解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
2.
一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都可转化为（为常数，）的形式，所以解一元一次不等式可以看成当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围．
注：①一次函数的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式的解集，在x轴下方的点所对应的自变量x的值，即为不等式的解集．
②用此法解不等式，关键是作图，求出与x轴的交点坐标．
3.
一次函数的实际应用
实际生活中的许多数量关系有时不易精确地判断．可以结合所学的函数关系加以分析，建立比较接近的函数关系式来研究．将实际问题抽象为数学模型后，利用函数图象的特点（图象上的点所对应的数对）解题，即运用数对与一次函数的解析式之间的关系求得函数解析式，利用函数解析式解决实际问题．
三.
考点分析
本节是一次函数的实际应用，在近几年的中考中占有很大比重，尤其是用函数的观点看待方程（组），不等式和几何知识等．题型有很多，填空，选择，解答，综合都有．主要考查学生应用函数知识分析，解决问题的能力．
【典型例题】
例1.
如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动的路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（
）
A.
2.5米
B.
2米
C.
1.5米
D.
1米
分析：本题主要考查正比例函数与一次函数的图象的应用．由图象可知，OA表示正比例函数，经过点A（8，64）和原点O（0，0）；BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12），求出函数解析式，就能判断两者的速度大小．设直线BA的关系式为，直线OA的关系式为，将（8，64）分别代入，得，，，．
解：C
例2.
求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积．
分析：求出直线与两坐标轴围成的直角三角形两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．
解：在函数中，令，则，因此图象交y轴于点（0，－5），令，则，解这个方程，得，因此图象交x轴于（）
所以与两坐标轴围成的三角形面积
例3.
用图象法解一元一次不等式
分析：把不等式化成（）的形式，不等式的解集就是使的函数值大于0（小于0）的x的取值范围．
解：不等式可化为．
画出的图象，如图从图象可知当时，直线上的点都在x轴下方，所以不等式的解集是．
例4.
春秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”，由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3h，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施，如图，是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时~8时气温随着时间变化的情况．其中0时~5时，5时~8时的图象分别满足一次函数关系，请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．
分析：根据函数图象可用待定系数法求出和时的一次函数解析式，再利用一元一次方程的知识求出时，自变量x的取值范围，即可解决问题．
解：设0时~5时的一次函数解析式为，将点（0，3）（5，－3）分别代入中得解得
所以
设5时~8时的一次函数解析式为
将点（5，－3），（8，5）分别代入中得
解得
所以
当时，解方程，得
当时，解方程得
而，所以应采取防霜冻措施．
例5.
根据医学上的科学研究表明，人在运动时，心跳的快慢通常和年龄相关，在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分．一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数s（次/分）是这个年龄n（岁）的一次函数．
（1）根据以上信息，求在正常情况下，s关于n的函数关系式．
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒钟心跳为26次，问他是否有危险？为什么？
分析：由题意知，当时，；时，，设，用待定系数法求出解析式．
解：（1）设s与n之间的函数关系式为
由题意得
解得
和n之间的函数关系式为
（2）当时，（次）
现在这位老人的心跳是次次
因此他这时有一定的危险．
例6.
在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t之间的关系近似地满足如图所示的折线．
（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，怎样安排此人从6：00到20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
分析（1）此图象是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式．（2）从图象中发现，当时，在这两条线段上都有对应的时间t，这两个时间的差就是有效时间．（3）利用函数图象及病人体内的药液含量求出时间．
解：（1）当时，设，则
把（1，6），（10，0）代入得
解得，
与t之间的函数关系式为
（2）当时，令，即，
当时，令，即，
注射药液的时间时后有效，有效时长：（时）
（3）设第二次注射药液的时间是小时后．
则，
第二次注射药液的时间是10：00，设第三次注射药液的时间在第一次注射小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和．
第三次注射药液的时间为15：00
设第四次注射药液的时间是第一次注射药液小时后，此时体内不再含有第一次注射的药液（）
体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和．
第四次注射药液的时间是19：30．
安排此人注射药液的时间分别是6：00，10：00，15：00，19：30，这样安排能使病人的治疗效果最好．
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
点A（－5，），B（）都在直线上，则与的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
函数与x轴交点的横坐标是（
）
A.
–3
B.
6
C.
3
D.
–6
3.
已知点（2，－1）是方程的一个解，则直线的图象不经过的象限有（
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
4.
已知一次函数，当时，的取值范围是____________．当时，x的值为_________，当时，x的取值范围是__________．
5.
若函数的图象在x轴上方，则x的取值范围是_________．
6.
画出函数的图象，利用图象求
（1）方程的根．（2）不等式的解集．
（3）当时，求x的取值范围．
（4）当时，求x的取值范围．
（5）求直线与坐标轴围成的三角形的面积．
7.
某实验田里的农作物每天的需水量y（）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天，第30天的需水量分别为2000kg和3000kg，在第40天后每天的需水量比前一天增加了100kg．
（1）分别求出和时y与x之间的函数关系式．
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000kg时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？
8.
小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元．
（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．
（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听说小明存零用钱，她表示从现在起每个月存18元，争取超过小明，半年后小丽的存款数是多少？能否超过小明？至少几个月后小丽的存款数超过小明？
9.
某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元．其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买量y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若该班每年需纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下，该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料哪一种花钱更少？
【试题答案】
1.
是y随x的增大而减小，，，选D．
2.
，选D
3.
（2，－1）是方程的解，
图象经过一、二、四象限，选C．
4.
；；
5.
即时x的范围．
6.
列表
x
0
1
y
1
3
描点
连线
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
7.
（1）根据图象用待定系数法．（2）当时解一元一次不等式可解决问题．
（1）当时，设，根据题意
解方程组得，所以时，与x之间的关系式为
所以当时，
当时，由题意，
即
（2）当时，y与x之间的关系式为
解不等式，得
所以应从第45天起进行人工灌溉．
8.
（1）设小明的存款数为，从现在起存款月份为x，
则
（2）设小丽的存款数为，则
当时，
，
半年后小丽的存款数不能超过小明．
当时，即，即
至少9个月后小丽的存款数超过小明．
9.
（1）设，由图象知时，时，，所以解得
所以y与x的解析式为
（2）该班学生买饮料每年总费用（元）
当时，得解得
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为（元）．所以，显然从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．