沪科版（2012）初中数学八年级上册12.4 综合实践一次函数模型的应用教案

12.4
《一次函数模型的应用》教学设计
学情分析：
在八年级上学期学生第一次接触数学中一个非常重要且比较难懂的内容——函数，本章前三节学生已经初步了解了什么是函数以及函数的相关概念，然后又学习了第一个最简单的函数——一次函数，学习了一次函数的图像及性质、用待定系数法求一次函数解析式等知识。
教学目标：
1.
掌握建立一次函数模型以及运用函数模型来解决实际问题；
2.
让学生在体会、交流与探究中学习，培养学生的归纳推理能力。
教学重点：
建立一次函数模型及运用函数模型来解决实际问题；
教学难点：
1.
把实际问题中的量与函数变量对应起来，并把相关数据转化为点的坐标；
2.
猜想函数类型，特别是不是分布在一条直线上的点用什么函数模型来刻画。
教学过程：
一、问题引入：
同学们小的时候都玩过火柴棒的游戏，看下面是用火柴棒摆成的图形，如果以这样的方式继续摆下去，那么
（1）第4
个图需要多少根火柴棒？
（2）第n个图需要多少根火柴棒？
回忆七年级学过的方法，找图形与数字之间的对应规律，学生板演：
图形的序号
火柴棒的根数
1
4
2
7=4+3
3
10=4+3+3=4+3×2
4
13=4+3+3+3=4+3×3
…
…
n
4+3（n-1）=3n+1
教师：今天我们将学习一种新的方法来解决这个问题。
设计意图：从学生已经熟悉的“找规律”问题入手，启发学生寻找新方法，激发学生学习的兴趣。同时改变教材中直接用奥运冠军成绩的例子，降低学生入手的难度。
二、复习巩固
1.函数的概念
一般地，设在一个变化过程中有
，如果对于x在它允许取值范围内的每一个确定的值，
y都有　　　　　　
与它对应，那么就说y是x的函数；
2.画函数图象的一般步骤：
；
3.一次函数的一般形式是
，它的图象是一条
.
4.已知一次函数y
=
kx+b经过（1，-3）和（4,3）两点，
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当x=10时，求y的值.
学生口答、板演
设计意图：复习与本节课有关的的函数知识，为学生学好本课内容打下基础。
三、教授新课
1．解决问题
教师：（1）前面的问题中是否有两个变量？火柴棒的根数是否随图形序号的变化而变化？
（2）对于每一个图形，火柴棒的根数是不是唯一确定的？
既然符合函数的定义，就可以说火柴棒的根数是图形序号的函数。
那么它俩之间是什么函数关系呢？我们可以通过画出它的函数图象来进行初步判断。
把图形的序号和或火柴棒的根数分别用x、y表示，列表：
描点：
教师：通过描点，我们发现这些点都分布在同一直线上，所以我们可以猜测y与x之间是一次函数关系，故可设函数关系式，用待定系数法求出这个关系式。
学生进行板演：设图形的序号和或火柴棒的根数分别用x、y表示，由图可知它们之间的函数关系是一次函数关系，故设y=kx+b，把（1，4）和（2，7）分别带入的得:
k+b=4
2k+b=7
解得：k=3
b=1
函数解析式为y=3x+1
教师：这个函数关系式是我们通过观察函数图像猜测求出来的，我们还可以通过带其他的数值来检验这个关系式的正确性。
把x=3带入y=3x+1得
y=3×3+1=10
说明：目前初中阶段只能通过带入有限的数据，通过不完全的归纳来初步检验函数关系式的正确性。
然后再用这个函数关系式来解决后面的问题，
（1）
第4
个图需要多少根火柴棒？就是已知x=4，求y
的值
（2）第n个图需要多少根火柴棒？就是已知x=n，求y
的值
学生板演
师：你知道第几个图恰好需要100根火柴棒吗？转化为函数问题就是已知y=100，求x的值。
学生板演
设计意图：把该找规律问题与函数建立联系，教学生运用最近刚学的一次函数知识来解决以前遇到的问题，让学生体会到数学的奇妙与魅力。
2.反思小结
教师：上述问题中我们经历了怎样的过程？
通过以上学习，我们可以知道建立两个变量之间的函数模型，应通过以下几个步骤完成：
①将实验得到的数据在直角坐标系中描出；
②
观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式；
③
进行检验；
④
应用这个函数模型解决问题。
生活当中有很多问题都可以转化成一次函数问题，但是也有些问题通过描点作图之后发现这些点并不是分布在同一条直线上。
设计意图：及时归纳总结运用一次函数模型解决实际问题的步骤，让学生从感性认识上升到理性认识。
3.生活运用
奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳记录在不断地被突破.如男子400m自由泳项目，2012年奥运会冠军的成绩比1984年的提高了约11s。下面是该项目冠军的一些数据：
我们想根据上面资料，来估计2016年里约奥运会时该项目的冠军成绩，该怎么办？
教师：可否按照上面的方法来解决这个问题？（提示有两个问题需要解决）
把年份和冠军成绩分别设为x、y，为方便在坐标系里描点，可以把年份和自然数对应起来：1984年记为0,，1988年记为1，1992年记为2…于是得到：
Y的数值很难在学生建立的坐标系中描出，怎么解决？（可以借助几何画板）
教师：这些点虽然不是分布在同一直线上，但是从变化趋势上可以近似地用一次函数模型进行刻画。我们要选取一条最能代表数据变化趋势的两点所确定的直线来确定该函数模型。
图二所选取的点是不是能更准确的代表数据的变化趋势，甚至有时选取的两点不是数据中的点也可以，如图三。
解：由图可知它们之间的近似一次函数关系，故设y=kx+b，把（1，226.95）和（6，221.86）分别带入得:
k+b=226.95
6k+b=221.86
解得：k=-1.018
b=227.968
函数解析式为y=-1.018x+227.968
2016年成绩即求当x=8时y的值
y=-1.018×8+227.968=219.104
教师：体会与实际当年成绩的误差（221.55，）预测2020年东京奥运会此项目冠军成绩，还有其它方面的应用，如：大数据模型的应用，彩票开奖号码的预测等
设计意图：把原教材中第一个例题放到这个位置，主要是因为有了解决前面找规律问题的铺垫，学生才能更容易理解并接受该题的解决方式。该题数据比较特殊，无论是在坐标系上找点还是用待定系数法求解析式对学生来说都是一个挑战，故采用几何画板来帮助学生绘点作图能大大提高准确度，也能提高学生掌握运用信息技术来辅助解决数学问题的能力。另外，该例题数据对应的点不在同一直线上，所以，用一次函数来近似描述也是本课的一个难点。
4.课堂小结
本节课学会了什么？
学生口答，老师适当引导、归纳。
四、课后练习
大家都玩过弹球的游戏，观察并测量球的下落高度和反弹高度，记录相关数据，探寻球的下落高度和反弹高度之间的函数关系。
教师：为什么要测多次，而不是只测两次？举几个不同类型的函数例子，都经过同样的两个点，却不都是一次函数，如：
设计意图：让学生体会从收集数据到建立函数模型并解决问题的完整过程，进一步巩固所学的知识，同时让学生初步感知在事先不知道函数类型的情况下，只通过两个点是不能确定函数关系的，培养学生严谨的数学思维。