冀教版初中数学九年级上册 28.4 垂经定理教案

28.4
垂径定理
一、教材分析
垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
二、教学目标
1．知识与技能：会利用圆的轴对称性探究垂径定理，证明垂径定理。能利用垂径定理进行想的计算和证明。掌握垂径定理的推论。
2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。利用圆是轴对称性图形，独立探究垂径定理及其推论。
3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度和方法。
三、教学重点
垂径定理的证明与简单应用。
四、教学难点
垂径定理及其推论的证明及简单的应用，有关的添加辅助线的方法。
五、教学过程
教学环节
师
生
活
动
设
计
意
图
情景导入
出示情景：展示河北省赵县赵州桥图片。介绍赵州桥的历史及地理位置。（位于河北省赵县境内，距今1300多年的历史，世界上最早的石拱桥。）教师提问：你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？(精确到0.1m).
通过对赵州桥的介绍，对学生进行爱祖国、爱家乡的教育，激发学生对垂径定理进行探究的学习兴趣。
复习就知
新课导入1、我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴是什么？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．）2、我们前面学习了圆心角、弦和弧之间的关系，它们的关系是什么？（在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。）
通过复习，对探究垂径定理做知识准备。
探索新知（观察思考猜想）
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？(半径，半圆除外）（实验—观察---猜想：一个圆沿直径对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等）
让学生用两个特殊的三角形对猜想的正确性进行初步的检验．
归纳总结
思考并得出猜想：条件:CD为⊙O的直径,CD⊥AB
结论:AE=BE,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC猜想垂径定理的内容垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。证明：几何语言表述：
对垂径定理的猜想并进行证明，让学生经历这样的过程对猜想的正确性得到了进一步的确认．
探索新知推理论证证明猜想
垂径定理的推论:
条件:CD为直径,AE=BE
结论CD⊥AB,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC1.平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．条件:CD为直径,
,弧AD=弧BD.结论,AE=BE,弧AC=弧BC2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。归纳总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。1.平分弦
（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。在⊙O中，设直径CD与弦AB
（非直径）相交于点E。若把
CD⊥AB
,
AE=BE,
AD=BD中的一项作为条件，则可得到另外两个结论。
猜想的正确性最终需要经过演绎推理的证明才能确认．经历这个过程有利于形成完整的获得定理的过程，加深认识合情推理与演绎推理在探究发现中的价值，体会证明的必要性．
同时，发展学生的推理能力和分析问题、解决问题的能力．
例题讲解
例
如图，
CD为⊙O的直径，AB为弦，AB
⊥
CD，垂足为E。若ED=2，AB=8，求⊙O的直径。
体会：连接半径是圆中常见的添加辅助线的方法；垂径定理和勾股定理想结合求半径长。
运用定理巩固提高
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是
。2.⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是
。3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
。4.在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为（
）
5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为　　　　.
6.再逛赵州石拱桥赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
小结与作业
小结请围绕以下两个方面小结本节课：1、从知识上学习了什么？（1）、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。（2）、平分弦
（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（3）.平分一条弧的直径垂直平分弧所对的弦。在⊙O中，设直径CD与弦AB
（非直径）相交于点E。若把AE=BE,
CD⊥AB,
弧AD=弧BD中的一项作为条件，则可得到另外两个结论。２、从方法上学习了什么？（１）垂径定理和勾股定理结合。（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段；
——连接半径。2.作业思考题
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。．
及时对获得定理的过程及定理进行反思，进一步感悟思想方法，帮助积累活动经验，加深对定理的理解．
C
D
D
E
O
B
A