冀教版九年级数学上册28.4垂径定理课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
垂直于弦的直径
情景引入
问题
：你知道赵州桥吗?它是约1400年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（1）用纸剪一个圆，如何通过折纸的方法
找到圆的圆心？
（2）通过这项活动可以得到圆的什么性质？
观察思考
活动1
圆是轴对称图形
它的对称轴是什么?
如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫这个图形的对称轴。
圆是轴对称图形
它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
设CD是⊙O中一条直径，
点A为⊙O上除点C，点D以外的任意一点，
过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M，
连接OA，OB
在△OAB中，∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形.
又AB⊥CD，∴AM＝MB.
即CD是AB的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，
在圆上都有关于直线CD的对称点B，
因此⊙O关于直线CD对称
证明圆的对称性
●O
A
B
C
D
M└
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．你能猜想图中有那些相等的线段和弧？
能不能验证你的猜想？
线段：
AM=BM
弧:AC=BC,AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
活动2
●O
A
B
C
D
M└
观察思考
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵
CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
文字语言：
图形语言：
符号语言
垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
O
E
D
C
A
B
图形深化
垂径定理的几个基本图形：
③AM=BM,
●O
A
B
C
D
M└
由
①
CD是直径
②
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
将任意两个条件当作题设，其他三个条件当结论，命题还成立吗？
①
过圆心
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
由
①
CD过圆心
条件
结论
命题
①③
②④⑤
①④
②③⑤
①⑤
②③④
②③
①④⑤
②④
①③⑤
②⑤
①③④
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
垂径定理的九条推论
是否可以通过在圆上画出满足条件的线段，看折叠后是否重合来验证我们的猜想是否成立
①
过圆心
②
垂直于弦
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
⑤
平分弦所对的劣弧
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
A
B
②CD⊥AB,
●O
C
D
由
①
CD是直径
③
AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论1
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
归纳总结
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
知识应用
在Rt△AOE中
∵OE⊥AB
垂径定理三角形
d
+
h
=
r
a弦长
r半径
有哪些等量关系？
M
O
A
B
D
C
d圆心到弦的距离
h弓形高
?
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
变式1：
若弦AB长为8cm，⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离
（答案：3cm）
变式2：若圆心O到AB距离为3cm，
⊙O半径为5cm求弦AB长
（答案：8cm）
知识应用
你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?
解决问题
37m
7.23m
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37m
7.23m
A
B
O
C
D
如图，用
AB
表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O
作弦AB
的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相交于点D，根据垂径定理，D
是AB
的中点，C是AB的中点，CD
就是拱高．
⌒
⌒
⌒
解得：R≈27.3
B
O
D
A
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即R2=18.52+(R－7.23)2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
OA2=AD2+OD2
OC⊥AB，OC过圆心
OD=OC－CD=R－7.23
解：∵
7.23
18.5
解决问题
∴
AD＝
AB＝
×37＝18.5
例2.赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
R－7.23
课堂小结
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性
和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧．
2.垂径定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明”
实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想
后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思
想方法．
3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是
一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长
构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题．
1．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB和CD的距离为
．
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，
ON⊥AC于点N
，BC=4，求DE的长．
2或14
．
A
C
O
D
E
B
课后作业
3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
∴
AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
证明：过O作OE⊥AB于E
则AE＝BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
课后作业
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
课后作业
5
如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=100m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
课后作业
6:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，
∠
CEB=30°，　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长.
O
A
B
C
D
E
F
课后作业
再见