鲁教 版（五四制）八年级上册《第5章 平行四边形》 单元测试卷（Word版 含解析）

第5章
平行四边形
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知四边形ABCD，有以下四个条件：
（1）AB＝AD，AB＝BC；（2）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（3）AB∥CD，AB＝CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．
其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm
B．6cm，8cm
C．8cm，12cm
D．20cm，30cm
3．如图所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，OE＝3，AB＝5，?ABCD的周长（　　）
A．11
B．13
C．16
D．22
4．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为（　　）
A．2
B．
C．3
D．4
5．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（　　）
A．3
B．2.5
C．2
D．1.5
6．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（　　）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（　　）
A．∠A＝∠1+∠2
B．3∠A＝2∠1+∠2
C．2∠A＝∠1+∠2
D．3∠A＝2（∠1+∠2）
9．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点，连接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，则四边形DEFG的周长是（　　）
A．7cm
B．9cm
C．12cm
D．14cm
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　）
A．50°
B．25°
C．15°
D．20°
11．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（　　）
A．9
B．10
C．11
D．以上都有可能
12．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．如图，在?ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　
　．
14．如图，在?ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是　
　．
15．已知：在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE＝3，S△BOF＝5，则?ABCD的面积是　
　．
16．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝　
　．
17．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　
　厘米．
18．如图所示，x的值为　
　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E为AC的中点，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是　
　．
20．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是　
　．
三、解答题（共5小题，满分40分）
21．（6分）已知：如图，E，F是?ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，求证：DF＝BE，DF∥BE．
22．（8分）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC
边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
23．（8分）如图，△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且CA＝CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若∠ACB＝60°，AC＝8，BC＝12，求四边形BDFE的面积．
24．（9分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
25．（9分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知四边形ABCD，有以下四个条件：
（1）AB＝AD，AB＝BC；（2）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（3）AB∥CD，AB＝CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．
其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，（1），（2）不符合是平行四边形的条件；
（3）（4）满足四边形是平行四边形．
故选：B．
2．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm
B．6cm，8cm
C．8cm，12cm
D．20cm，30cm
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
C、4+6＝10，不能构成三角形，故此选项错误；
D、10+10＞15，能够成三角形，故此选项正确；
故选：D．
3．如图所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，OE＝3，AB＝5，?ABCD的周长（　　）
A．11
B．13
C．16
D．22
【分析】由?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
【解答】解：∵?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，AD＝BC，AB＝CD＝5，
∵AE＝EB，OE＝3，
∴BC＝2OE＝6，
∴?ABCD的周长＝2×（AB+BC）＝22．
故选：D．
4．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为（　　）
A．2
B．
C．3
D．4
【分析】根据平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，由AC：BD＝2：3，推出OA：OB＝2：3，设OA＝2m，OB＝3m，在Rt△AOB中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AC：BD＝2：3，
∴OA：OB＝2：3，设OA＝2m，BO＝3m，
∵AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°，
∴OB2＝AB2+OA2，
∴9m2＝5+4m2，
∴m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴AC＝2OA＝4．
故选：D．
5．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（　　）
A．3
B．2.5
C．2
D．1.5
【分析】由平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用AE＝BE﹣AB，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠E＝∠ECD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC＝5，
∴AE＝BE﹣AB＝5﹣3＝2；故选：C．
6．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（　　）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故选：A．
7．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝＝＝
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（　　）
A．∠A＝∠1+∠2
B．3∠A＝2∠1+∠2
C．2∠A＝∠1+∠2
D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据三角形的内角和定理，以及四边形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∠B+∠C＝180°﹣∠A
∵∠AED+∠ADE+∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴360°﹣2∠A+∠1+∠2＝360°，
∴2∠A＝∠1+∠2，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点，连接AO．若AO＝3cm，BC＝4cm，则四边形DEFG的周长是（　　）
A．7cm
B．9cm
C．12cm
D．14cm
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、FG、DG，计算即可．
【解答】解：∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE＝BC＝2，
同理，FG＝BC＝2，EF＝OA＝1.5，DG＝OA＝1.5，
∴四边形DEFG的周长＝DE+EF+FG+DG＝7（cm），
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　）
A．50°
B．25°
C．15°
D．20°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，
∴∠PMN＝＝25°．
故选：B．
11．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（　　）
A．9
B．10
C．11
D．以上都有可能
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2）?180°＝1440°，
解得n＝10，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故选：D．
12．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，△AEG的面积＝，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，
同理可得△AEG的面积＝，
△BCE的面积＝×△ABC的面积＝6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，
∴△AFG的面积是×3＝，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．如图，在?ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　36°　．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝72°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝108°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故答案为：36°．
14．如图，在?ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是　24　．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP+PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP＝＝6，
∴△APB的周长＝6+8+10＝24；
故答案为：24．
15．已知：在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE＝3，S△BOF＝5，则?ABCD的面积是　32　．
【分析】利用平行四边形的性质可证明△AOE≌△COF，所以可得△COF的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积＝?ABCD的面积，进而可得问题答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FCO＝∠EAC，
又∵AO＝CO，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF
∴△COF的面积为3，
∵S△BOF＝5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积＝?ABCD的面积，
∴?ABCD的面积＝4×8＝32，
故答案为：32．
16．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝　32°　．
【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．
【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．
故答案是：32°．
17．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　3　厘米．
【分析】根据AC+BD＝24厘米，可得出出OA+OB＝12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AC+BD＝24厘米，
∴OA+OB＝12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB＝6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF＝AB＝3cm．
故答案为：3．
18．如图所示，x的值为　55°　．
【分析】求出与105°，60°的内角相邻的外角的度数，根据多边形的外角和是360°，即可求解．
【解答】解：∠1＝180﹣∠BAD＝180﹣105＝75°，
∠2＝180﹣∠ABC＝180﹣60＝120°．
根据多边形外角和定理可得：∠1+∠2+2x+x＝360，
即：75+120+2x+x＝360，
解得：x＝55°．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E为AC的中点，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是　3　．
【分析】先根据直角三角形的性质求出BC的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，
∴BC＝AB＝6．
∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3．
故答案为：3．
20．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是　14　．
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）?180＝360°×2+180°，
解得：n＝7．
则这个多边形的边数是7，
七边形的对角线条数为＝14，
故答案为：14．
三、解答题（共5小题，满分40分）
21．（6分）已知：如图，E，F是?ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，求证：DF＝BE，DF∥BE．
【分析】可由题中条件求解△ABE≌△CDF，得出DF＝BE，∠AEB＝∠CFD，即∠BEC＝∠DFA，进而可求证DF与BE平行．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴DF＝BE，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴DF∥BE．
22．（8分）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC
边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；
（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF＝∠C＝60°，进而证明∠ABF＝∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；
（3）易证AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，可得∠FAB＝∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF＝∠ADC，进而求得∠AFB＝∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠FAB＝∠FAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
（2）由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF＝∠C＝60°．
又∵∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（3）成立，理由如下：
∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝60°，
又∵∠FAB＝∠BAC﹣∠FAE，∠DAC＝∠FAD﹣∠FAE，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB＝∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC＝60°，∠EAF+∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝∠EAF，
∴∠AFB＝∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
23．（8分）如图，△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且CA＝CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若∠ACB＝60°，AC＝8，BC＝12，求四边形BDFE的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CF是AD边的中线，然后求出EF是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边证明；
（2）判断出△CAD是等边三角形，然后求出BD，过点A作AM⊥BC，垂足为M，根据等边三角形的性质求出AM，从而求出△ABD的面积，然后求出根据△AEF和△ABD相似，求出△AEF的面积，再求解即可．
【解答】（1）证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，
∴CF是AD边的中线，
∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD；
（2）解：∵∠ACB＝60°，CA＝CD，
∴△CAD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，AD＝DC＝AC＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝12﹣8＝4，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∴AM＝AD＝×8＝4，
S△ABD＝BD?AM＝×4×4＝8，
∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，且＝，
∴＝，
∴S△AEF＝×8＝2，
四边形BDFE的面积＝S△ABD﹣S△AEF＝8﹣2＝6．
24．（9分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6．
25．（9分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【分析】①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，进而求出t的值．
【解答】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP＝tcm，PD＝（24﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP＝BQ，
∴t＝30﹣2t，
解得：t＝10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD＝CQ，
∴24﹣t＝2t，
解得：t＝8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．