苏科版九年级数学下册相似三角形题型归纳（含隐圆、动点、最值、拓展、压轴）（无答案）

相似三角形（相似动点）分类
涉及隐圆问题、最值问题、分类讨论题型、动点题型、压轴题、拓展题
题型分类：
一、相似三角形的判定定理
①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；
②三边对应成比例的两个三角形相似；
③两角对应相等的两个三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
二、相似三角形解题思路：
(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；
(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．
2、常见的相似三角形的基本图形：
　三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：
(1)“平行线型”相似三角形。
(2)“相交线型”相似三角形。
(3)“旋转型”相似三角形。
三、相似模型
1．A字、8字模型。
2.共边共角模型（扭屁股模型）。
3.一线三等角模型。
4.倒数模型（较难）
5.圆中的相似。
6.平行线分线段成比例。
类型一、线段比例问题
1.
（构造平行）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，=2时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，=n时，请直接写出的值．
2.如图1
,DE是⊙的直径，点A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AO⊥OC.连接AE，CD相交于点F.点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD
于点G，连接CB交AE于点H.
(1)求∠ABC的度数;
(2)证明:
△CFH∽△CBG;
(3)若弧DB为半圆的三分之一，把∠AOC绕着点O旋转，使点C、O、B在一直线上时，如图2.①证明FH：BG=1：2;②若⊙O的半径为4，直接写出FH的长.
3.
已知抛物线（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒
个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）
1.如果四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GE·GF.
2.如图，在平面直角坐标系中，函数（x>0，k是常数）的图像经过A（2，6），B（m,n），其中m>2．过点A作X轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD、DC、CB。
（1）若▲ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；
（2）求证：=；
（3）若AD∥BC，求点B的坐标
．
三、构造相似辅助线——A、X字型
1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：=
2.如图，在Rt▲ACB中，∠ACB=90°，AC=2
cm，AB=4
cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C-A-B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒（0(1)当t=时，求▲PCQ的面积;
(2)设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式;
(3)当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt▲ABC的一边相切，求t的值.
3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）
（1）当点M落在AB上时，x=　　　　　　；
（2）当点M落在AD上时，x=　　　　　　；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
相似类定值问题以及存在性问题
1.如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接PB，过点作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD=3，sin∠BAC=.设AP的长为x.
(1)AB=
;当x=1时，
;
(2)①试探究:否是定值?若是，请求出这个值;若不是，请说明理由;
②连接BE，设▲PBE的面积为S，求S的最小值.
(3)当▲PCE是等腰三角形时.请求出x的值;
（2018年苏州园区一模）
2.如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧，边AD、EH在直线l上.保持正方形ABCD不动，并将矩形EFGH以1
cm/s的速度沿DA方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形EFGH完全穿过正方形ABCD
(即点H与A点重合)时停止移动，设移动时间为t
(s).已知AD=cm，EH=
cm，EF=
cm，连接AF、CG.
(1)矩形EFGH从开始移动到完全穿过正方形ABCD，所用时间为
s;
(2)当AF⊥CG时，求t的值;
3.已知，如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B在x轴上，点B的横坐标为，抛物线经过A、B、C三点.点D直线AC上方抛物线上任意一点.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若P为线段AC上一点，且S▲PCD=2S▲PAD，求点P的坐标;
五、证明线段相等
1.在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上。
（1）若AE＝8，DE＝2EF，求GF的长；（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG＝NF；（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。
2、在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．
（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．
①求证：=；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．
3.如图，Rt▲ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC边交于点E，
EF⊥AB，垂足为F.D为AC的中点，连结BD交EF于G.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)求证:EG=FG;
(3)若DG=DA=4，求O的半径.
最值问题
1.如图，在Rt▲ABC中，∠A=30°,AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C.
(1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;
(2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明▲FCD
:▲ACF;
(3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+FA的最小值.
2.如图，抛物线y=a2-3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（－1，0），C（0，3）.
求抛物线的解析式
点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l,求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标
点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于______,此时点G的坐标为_____（直接写出答案。）
3.如图,Rt△ABC中.∠BAC=90°，AB=1，AC=2.点D,E分别是边BC.AC上的动点，
则DA+DE的最小值为
七、
相似基本模型应用
1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且AB∥CD有以下四个结论:
①▲AOB：▲COD
②▲AOD：▲ACB
③S▲DOC：S▲AOD=DC：AB
④S▲AOD=S▲BOC
其中，始终正确的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
2.如图，己知Rt▲ABC的直角边AC与Rt▲DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm,
BC=45cm,
DE=6cm,
EF=8cm.现将点C与点F重合，再以4
cm/s的速度沿CA方向移动▲DEF;同时，点P从点A出发，以5
cm/s的速度沿AB方向移动，设移动时间为t
(s).以点P为圆心，3t
(cm)长为半径的⊙P与AB相交于点M、N.当点F与点A重合时，▲DEF与点P同时停止移动.在移动的过程中，
(1)连接ME，当ME∥AC时，t=
s;
(2)连接NF，当NF平分DE时，求t的值;
3.在Rt▲ABC中，∠C=90°,Rt▲ABC绕点A顺时针旋转到Rt▲ADE的
位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F.
如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC;
(2)若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由;
（母子相似）②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF.
八、与圆有关的相似
1．（隐圆相似）如图，在Rt▲ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8.点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，将▲BDE绕点B按顺时针方向旋转一定角度(这个角度小于90?)后，点D的对应点D“和点E的对应点E”以及点A三个点在一直线上，连接CE“，则CE“=
.
2.（最值问题）如图，AB是半⊙O的直径，且AB=8.点C是半⊙O上的一个动点(不与点A、B重合)，过点C作CD⊥AB，垂足为D.设AC=x，AD=y，则x-y的最大值等于
.
3.（最值问题）如图，在▲ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是
.