沪科版（2012）初中数学九上 21.4.1 二次函数的应用——求最值问题教案

第1课时　二次函数的应用---求最值问题
教学目标
【知识与技能】
能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义.
【过程与方法】
1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维.
2.在数学建模中使学生学会交流、合作.
【情感、态度与价值观】
培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.
重点难点
【重点】用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题.
【难点】建立二次函数的数学模型.
教学设计
一、创设情境,导入新知
问题1：二次函数关系式有哪几种表达方式？二次函数有哪些性质?
学生回忆.教师提示:结合函数的图象
（1）一般式：
y＝ax2
＋
bx＋c
(a≠0)
顶点式：y
＝
a(x
＋
h)2
＋
k
(a≠0)
交点式：y
＝
a(x
＋x1
)
(x
＋x2)
(a≠0)
y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.
将下面二次函数一般式和交点式化为顶点式，写出最值和相应的x：
(1)y=
x2-
x+2
(2)y=(x+1)(2-x)
我们今天就用二次函数的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题.引出课题：21.4二次函数的应用（1）
二、共同探究,获取新知
1、教师多媒体课件出示:
某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为Sm2.那么,S与x之间有怎样的函数关系?要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米?
2、学生交流、讨论回答.
S与x之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应该取图象顶点的横坐标.
那怎么求出这个横坐标呢?（配方,变为顶点式求出；直接用顶点横坐标的公式x=-）
用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面积是多少.
学生计算后回答.
生:将这个函数关系式配方,得
S=-(x-10)2+100(0显然,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10m时,函数取得最大值,最大值为S最大值=100m2.
这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m2.
教师多媒体课件出示解答完整过程
解：设矩形水面的一边长为x
m,则矩形水面的另一边长为（20-x）m，矩形水面面积为S
㎡，根据题意得
S=
x(20-x)
∴S=
-x2+
20x
(0∵a=
-1<0
∴S有最大值，当
x=-=-=10
m时，S最大值==100m2
答：当围成的矩形水面边长都为
10
m
时，它最大面积为100
m2．
练习新知
1、教师找两生分别板演教材第P36页练习的第1题,然后集体订正.教师多媒体课件出示:
解：设增加x人，则共有（15+x）个装配工，每人每天可少装配10个玩具，每人每天只装配（190-10x）个玩具，增加人数后，每天装配玩具总数y,根据题意得
y=(190-10x)(15+x)
=-10x2+40x+2850
(0=-10(x-2)2+2890
∵a=-10<0
∴y有最大值，当x=2人时，
ymax=2890
(个)
答：增加2人才能使装配玩具总数最多，最多是2890个。
教师多媒体课件出示:
2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？
(
18
m
)解：设矩形菜园的长为x
m，则宽为
m.面积为S，根据题意得
S=x=-x2+x
且0＜x＜18,0＜
＜18，故0＜x＜15.
当x=
时,=
,Smax=
答：长为
m，宽为
m时面积最大
，最大面积是
㎡
新知拓展
1、例2：某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售
利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
2、教师点拨:（1）请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少?学生思考、计算、回答：销售额为(60+x)(200-10x).
（2）进货额为多少?进货额为50(200-10x).
（3）利润呢?利润等于销售额减去进货额,即(60+x)(200-10x)-50(200-10x).
（4）那还有没有其他的计算利润的方法了呢?
学生思考、回答：还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润.每件的利润为[(60+x)-50],数量为(200-10x),总利润为[(60+x)-50](200-10x)
变量x的取值范围怎么确定?
x为整数且x≥0，还应满足200-10x>0,60+x≤72.
如何求得涨价多少利润最大呢?
x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标.
3、解：（1）由题意可知售价上涨x元，则少卖10x件，售价为（60+x）元，售价上涨后每月可卖（200-10x）件，得
y=[(60+x)-50](200-10x)
=-10x2+100x+2000
(0（2）y=-10x2+100x+2000
=-10（x-5)2+2250
∵a=-10＜0，∴y有最大值
当x=5，（60+x）=65元时，ymax=2250元
答：每件商品的售价定为65元时获得的最大利润是2250元。
4、教师小结:
（1）由于抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，当
x=-
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小（大）值
ymin(max)=
（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢?
学生思考,交流.
练习巩固
用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么当高、宽分别为多少时才能使窗框的边的透光面积最大？最大的透光面积是多少？
教师巡视,对有疑问的学生进行指导.
六、课堂小结
1、本节课你学习了什么内容,有什么收获?
解决关于函数实际问题的一般步骤
（1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式.
（2）研究自变量的取值范围.
（3）研究所得的函数.
（配方，或利用公式求它的最大值或最小值）
（4）检验
x的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值.
（5）解决提出的实际问题.
2、你还有什么不明白的地方?
学生提问,教师解答.
作业设计：
1、课堂作业：?.P36，Ex.(2);?.P42,Ex.3
2、课外作业：?.P42,Ex.2；?.预习例2；?.完成本节练习册
附：板书设计
21.4二次函数的应用（1）
例1
例2
教学反思
二次函数历来是九年级学生要重点掌握的数学知识,尤其是二次函数的最值问题及在生活中的应用,更是中考中常见的题型.二次函数在知识上难度较大,且具有特殊地位,二次函数的应用中渗透了数学建模的思想,使学生感受实际生活中的相关量之间的二次函数关系,并且通过求利益最大化的实例让学生再一次感受到了数学的实用性.在求利润时,因为有些问题比较相似,为避免学生混淆,我强调了不同问题的区别.在求最值时,在实际问题的最值点可能不是函数在全体实数范围内的极值点求到的,所以要学生注意自变量的取值范围.
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