人教版 九年级数学上册24.1 圆的性质综合练习(word版，有答案)

圆的性质
一、选择题
1.
如图，在⊙O中，半径为6，∠ACB=30°，则弧AB的长度为(?????)
?
A.
π?????????????B.
2π?????????????C.
3π?????????????D.
4π?????????????
2.
如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6?cm，则AB的长为(　　)
?
A.
cm?????????????B.
4cm?????????????C.
cm?????????????D.
cm?????????????
3.
如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是(??)
?
A.
27°?????????????B.
34°?????????????C.
36°?????????????D.
54°?????????????
4.
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为(??)
?
A.
65°?????????????B.
130°?????????????C.
50°?????????????D.
100°?????????????
5.
如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是(???)
?
A.
20°?????????????B.
30°?????????????C.
40°?????????????D.
80°?????????????
6.
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为(???)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
7.
如图，AB,AC是圆O的两条切线，切点为B,C且∠BAC=50°，D是圆上一动点(不与B,C重合)，则∠BDC的度数为(??????)
?
A.
130°?????????????B.
65°?????????????C.
50°或130°?????????????D.
65°或115°?????????????
8.
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为(???)
?
A.
2，22.5°?????????????B.
3，30°?????????????C.
3，22.5°?????????????D.
2，30°?????????????
9.
把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是(????)
?
A.
1?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
2?????????????
10.
如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,∠AED=115°,则∠B的度数是(???)
?
A.
50°?????????????B.
75°?????????????C.
80°?????????????D.
100°?????????????
11.
边长分别等于6?cm，8?cm，10cm的三角形的内切圆的半径为(???)cm.
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
12.
如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为(??)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
3?????????????D.
2?????????????
13.
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=(?????)
?
A.
2π?????????????B.
π?????????????C.
π?????????????D.
π?????????????
14.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE长为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是(　　)
?
A.
2-?????????????B.
-?????????????C.
2-?????????????D.
-?????????????
15.
在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得.如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆O1的弦AB∥O1O2，且与较小半圆O2相切，?AB=4，则班徽图案的面积为(???)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
16.
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分.下列可以只用圆规等分的是(???)
?①两等分????②三等分?????③四等分???????④五等分
?
A.
②?????????????B.
①②?????????????C.
①②③?????????????D.
①②③④?????????????
二、填空题
17.如图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接AO,AC,∠AOB=64°,则∠ACB=　　　　度.?
?
18.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____.
?
19.
如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E.当点D从点B沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为_________.
?
20.如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=78°,则∠EAC=　　　　°.?
?
21.如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,AD=CD.若∠CAB=40°,则∠CAD=　　　　°.
?
22.
如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A，⊙B都内切，那么⊙O半径是________.
?
23.
如图,一次函数的图象与轴、轴交于，两点,P为一次函数的图象上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和轴同时相切,则∠BPO=_________.
?
24.
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为????????.
?
25.
如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是??????cm.
?
26.
如图，如果从半径为9?cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为___________cm.
?
27.
如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，⊙C的圆心坐标为(2，0)，半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　????　.
?
28.
如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=4，则图中阴影部分的面积为??????.
?
29.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.
?
?已知:Rt△ABC,∠C=90°,求作:Rt△ABC的外接圆.作法:如图.
?
?(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;
(2)作直线PQ,交AB于点O;
(3)以O为圆心,OA为半径作☉O.☉O即为所求作的圆.
请回答:该尺规作图的依据是　　　　.?
三、解答题
30.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C.连接PO,交☉O于点D.
?
(1)求证:PO平分∠APC;
(2)连接DB.若∠C=30°,求证DB∥AC.
31.
如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，OD交弦AC于E，连接BE.若AC=8，DE=2，求BE的长度.
?
32.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.?
?
(1)求证:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.
33.
?已知AB是☉O的直径,AT是☉O的切线,∠ABT=50°,BT交☉O于点C,E是AB上一点,延长CE交☉O于点D.
?
?图①　　　　　　　　　　　　　　图②
(1)如图①,求∠T和∠CDB的大小;
(2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小.
34.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F.
?
(1)?求证：△BDF是等边三角形；
(2)连接AF,DC，若BC=3，写出求四边形AFCD面积的思路.
35.
如图，的顶点A,B,C在⊙O上，过点C作DE∥AB交OA延长线于D点，交OB延长线于点E?.
?
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若OA＝1，求阴影部分面积.
36.
已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A，B，D在⊙O上，且CD与⊙O相切.
?
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)求阴影部分面积.
37.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义:若在图形M上存在一点Q,使得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.
(1)当☉O的半径为2时,
?①在点P1,P2,P3中,☉O的关联点是　　　　;?
?②点P在直线y=-x上,若P为☉O的关联点,求点P的横坐标的取值范围;
(2)☉C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A,?B.若线段AB上的所有点都是☉C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
圆的性质
一、选择题
1.
如图，在⊙O中，半径为6，∠ACB=30°，则弧AB的长度为(?????)
?
A.
π?????????????B.
2π?????????????C.
3π?????????????D.
4π?????????????
【答案】B
【解析】连接OA,OB，
?
?∠ACB,∠AOB为弧AB所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理，得∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB=6，
?∴=.
?故选B.
?【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角和圆心角定理，解题关键是掌握弧长公式.
2.
如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6?cm，则AB的长为(　　)
?
A.
cm?????????????B.
4cm?????????????C.
cm?????????????D.
cm?????????????
【答案】A
【解析】连接OA，如图，
?
?∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE=OA=CD=，∴AB=2AE=3(cm).
?故选A.
3.
如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是(??)
?
A.
27°?????????????B.
34°?????????????C.
36°?????????????D.
54°?????????????
【答案】C
【解析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=2∠CDA=54°，∴∠B=90°-54°=36°.故选C.
4.
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为(??)
?
A.
65°?????????????B.
130°?????????????C.
50°?????????????D.
100°?????????????
【答案】C.
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，∴∠P=360°-(90°+90°+130°)=50°.故选C.
5.
如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是(???)
?
A.
20°?????????????B.
30°?????????????C.
40°?????????????D.
80°?????????????
【答案】C
【解析】∵BE=DE，∠B=40°，∴∠D＝∠B＝40°，又∵∠A和∠D是弧BC所对的圆周角，∴∠A＝∠D＝40°，故选C.
6.
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为(???)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
【答案】C
【解析】如图所示，连接EC.
?
?由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，∴S△AEC=2S△AOE=10.∴AEBC=10，又BC=4，∴AE=5，∴EC=5.在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==3.∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，∴B,C,O,E四点共圆，∴∠BOE=∠BCE.
?∴sin∠BOE=sin∠BCE=.故选C.
7.
如图，AB,AC是圆O的两条切线，切点为B,C且∠BAC=50°，D是圆上一动点(不与B,C重合)，则∠BDC的度数为(??????)
?
A.
130°?????????????B.
65°?????????????C.
50°或130°?????????????D.
65°或115°?????????????
【答案】D
【解析】当点D在劣弧BC上时为点D′，当点D在优弧BC上时为点D，连接如图所示：
?
?∵AB,AC是圆O的两条切线，∴∠ABO＝∠ACO=90°,又∵在四边形ABOC中，∠A＝50°，
?∴∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°，∴∠BDC＝°；根据弦切角定理可得∠ABD′=∠BCD′=,∠ACD′=∠CBD′=,∴∠CBD′+∠BCD′＝，∠BOC＝130°，∴∠CBD′+∠BCD′＝65°，∴在△BCD′中，∠BD′C＝180°-65°＝115°,故选D.
8.
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为(???)
?
A.
2，22.5°?????????????B.
3，30°?????????????C.
3，22.5°?????????????D.
2，30°?????????????
【答案】A
【解析】连接OA，
?
?∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB.在等腰直角三角形ABC中，?AC⊥AB，∴OD∥AC，∴∠DOB=45°，∵O为BC的中点，∴OD=AC=2，∴∠MND=∠DOB=22.5°.故选A.　
9.
把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是(????)
?
A.
1?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
2?????????????
【答案】B
【解析】由图知，圆弧的半径为，故OA的长为.故选B.
10.
如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,∠AED=115°,则∠B的度数是(???)
?
A.
50°?????????????B.
75°?????????????C.
80°?????????????D.
100°?????????????
【答案】D
【解析】∵四边形ACDE是圆内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，又∵∠AED=115°，∴∠ACD=65°，∵∠CAD=35°，∴根据三角形内角和定理得∠ADC=80°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=100°，故选D.
11.
边长分别等于6?cm，8?cm，10cm的三角形的内切圆的半径为(???)cm.
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
【答案】B
【解析】如图所示：
?
?△ABC中，AC=6?cm，BC=8?cm，AB=10?cm，∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2，
?∴△ABC是直角三角形，设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D,E,F，
?∵CD=CE，AF=AD，BE=BF，∵OD⊥AC，OE⊥BC，∴四边形ODCE是正方形，即CD=CE=R，∴AC-CD=AB-BF，即6-R=10-BF①，BC-CE=AB-AF，即8-R=BF②，
?①②相加得，R=2?cm.故选B.
12.
如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为(??)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
3?????????????D.
2?????????????
【答案】B
【解析】∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，又OQ=2，
?∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为.故选B.
13.
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=(?????)
?
A.
2π?????????????B.
π?????????????C.
π?????????????D.
π?????????????
【答案】B
【解析】设CD⊥AB交于E点，又AB是直径，∴CE=DE==，∠DEO=∠CEB=90°，∵∠BCD=30°，∴由圆周角定理可得∠DOE=60°，∴OD==4，∴OE=2，∴OE=BE，∴△ODE≌△BCE，∴S阴影=?S扇形OBD=?，故选B.
?
14.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE长为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是(　　)
?
A.
2-?????????????B.
-?????????????C.
2-?????????????D.
-?????????????
【答案】B
【解析】∵矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,且点E是AD的中点,∴AE=AB=AD=1,
?∠ABE=∠EBF=45°,?∴AD=2,BE=,?∴阴影部分的面积为S阴影=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BEF=
?1×2-×1×1-π×-,故选B.
15.
在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得.如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆O1的弦AB∥O1O2，且与较小半圆O2相切，?AB=4，则班徽图案的面积为(???)
?
A.
?????????????B.
?????????????C.
?????????????D.
?????????????
【答案】D
【解析】由题意可知班徽图案的面积=大圆的面积-小圆的面积即圆环面积.平移小圆使O1和O2重合，设与较小半圆O2相切的切点为C，连接
?
?∴C⊥AB，∴AC=BC=AB=2，∴?=πAC2=4π.故选D.
16.
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分.下列可以只用圆规等分的是(???)
?①两等分????②三等分?????③四等分???????④五等分
?
A.
②?????????????B.
①②?????????????C.
①②③?????????????D.
①②③④?????????????
【答案】D
【解析】经过圆心的直径可将圆周两等分；画一条直径，以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与原有圆有两个交点，这两个交点与直径另一个端点就是圆的三等分点；画两条互相垂直的直径就可以将圆四等分；五等分圆如下图所示：
?
二、填空题
17.如图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接AO,AC,∠AOB=64°,则∠ACB=　　　　度.?
?
【答案】32°
【解析】在圆中,同弧所对的圆周角的度数为圆心角度数的一半,所以∠ACB=∠AOB=32°.
18.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____.
?
【答案】45°
【解析】如图，连接OA，因为OA=OC，所以∠ACO=∠OAC=45°，根据三角形的内角和定理可得∠AOC=90°，再由圆周角定理可得∠B=45°.
?
19.
如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E.当点D从点B沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为_________.
?
【答案】
【解析】延长CO交圆弧于F，过B作CF的垂线，交CF于G，
?
?当点D从B运动到OD⊥BO时E点经过的线路长是直径为BO的半圆弧，当D点运动到C点时，E点经过的线路长是直径为BO的圆心角为60°的弧长，所以E点经过的线路长是以BO为直径圆心角为240°的弧长.∵∠A＝60°，∠BOC=120°，∴根据圆的性质求得BO=4，∴点E经过的路径长==
20.如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=78°,则∠EAC=　　　　°.?
?
【答案】27
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC,AD∥BC,?∵∠D=78°,?∴∠DAC==51°,
?∠D+∠BCD=180°,∴∠BCD=102°,∵A,E,C,D四点共圆,?∴∠EAD+∠ECD=180°,
?∴∠EAD=78°,∴∠EAC+∠DAC=78°,∴∠EAC=78°-∠DAC=78°-51°=27°.
21.如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,AD=CD.若∠CAB=40°,则∠CAD=　　　　°.
?
【答案】25°
【解析】连接CB,CD,因为AB为☉O的直径,所以∠ACB=90°,因为∠CAB=40°,所以∠ABC=50°,又因为A,B,C,D在同一个圆上,所以∠ADC+∠ABC=180°,所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-50°=130°,因为AD=CD,所以∠CAD==25°.
22.
如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A，⊙B都内切，那么⊙O半径是________.
?
【答案】或
【解析】①当⊙O与⊙A左侧内切，与⊙B右侧内切时，⊙O半径r=?,②当⊙O与⊙A右侧内切，与⊙B左侧内切时，⊙O半径r=?.
23.
如图,一次函数的图象与轴、轴交于，两点,P为一次函数的图象上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和轴同时相切,则∠BPO=_________.
?
【答案】30°或120°
【解析】分两种情况：
?(1)当∠ABO的平分线与相交时，点P即为圆心.如图，
?
?令y=0，则x=1，令x=0，则y=，即AO=1，BO=?.∴tan∠ABO=?,
?∴∠ABO=30°.∵BP为∠ABO的平分线,∴∠OBP=15°.?又∠BOP=45°,
?∴∠BPO=180°-45°-15°=120°.
?(2)当∠ABO的外角平分线与相交时，点P即为圆心.如图，
?
?同理可求∠OBP=30°+75°=105°,∴∠BPO=180°-45°-105°=30°.
?综上所述，∠BPO=30°或120°.
24.
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为????????.
?
【答案】
【解析】如图，
?
?点A经过的路线长由三部分组成：以D为圆心，AD为半径旋转90°的弧长；以B″为圆心，AB为半径旋转90°的弧长；以C1为圆心，A1C1为半径旋转90°的弧长，根据矩形的性质和勾股定理可得各半径长，利用弧长公式计算即可：
?.
25.
如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是??????cm.
?
【答案】
【解析】根据题意可得弧MN的长等于圆周长，∠MON=120°，作OP⊥MN于点M，由等腰三角形的性质可得∠MOP=60°，又因为OM=5，所以PM=,由垂径定理可得MN=.
?
26.
如图，如果从半径为9?cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为___________cm.
?
【答案】
【解析】由题意可知留下围成圆锥的扇形的圆心角为240°，设底面圆的半径为r，则有?，解得r=6，∴圆锥的高为.
27.
如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，⊙C的圆心坐标为(2，0)，半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　????　.
?
【答案】和
【解析】由y=x+4得：当x=0时，y=4，当y=0时，x=-4，∴OA=4，OB=4，∵△ABE的边BE上的高OA=4，是定值，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可.
?过A作⊙C的两条切线，如图，
?
?当动点运动到D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
?当动点运动到D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
?∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′=E′D′，
?设E′O=E′D′=x，∵AC=4+2=6，CD′=2，∵AD′是切线，∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=，∴sin∠CAD′=，∴，解得：x=，∴BE′=4+，BE=，∴△ABE的最小值是，最大值是.
28.
如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=4，则图中阴影部分的面积为??????.
?
【答案】
【解析】∵CD与半圆O相切于点D，AB=2CD=4，∴三角形ODC是等腰直角三角形，∴∠DOB=45°，
29.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.
?
?已知:Rt△ABC,∠C=90°,求作:Rt△ABC的外接圆.作法:如图.
?
?(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;(2)作直线PQ,交AB于点O;(3)以O为圆心,OA为半径作☉O.☉O即为所求作的圆.请回答:该尺规作图的依据是　　　　.?
【答案】与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;垂直平分线的定义;90°的圆周角所对的弦是直径;不在同一条直线上的三个点确定一个圆;两点确定一条直线.
【解析】因为90°的圆周角所对的弦是直径,所以线段AB是外接圆的直径,作线段AB的垂直平分线,垂直平分线与线段AB的交点即为圆心O,以OA为半径作圆即可.
三、解答题
30.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C.连接PO,交☉O于点D.
?
(1)求证:PO平分∠APC;
【答案】如图,连接OB.
?
?∵PA,PB是☉O的切线,
?∴OA⊥AP,OB⊥BP.
?又OA=OB,
?∴PO平分∠APC.
(2)连接DB.若∠C=30°,求证DB∥AC.
【答案】∵OA⊥AP,OB⊥BP,
?∴∠CAP=∠OBP=90°.
?∵∠C=30°,
?∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°.
?∵PO平分∠APC,
?∴∠OPC=∠APC=×60°=30°.
?∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°.
?又OD=OB,
?∴△ODB是等边三角形,
?∴∠OBD=60°,
?∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°.
?∴∠DBP=∠C.
?∴DB∥AC.
31.
如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，OD交弦AC于E，连接BE.若AC=8，DE=2，求BE的长度.
?
【答案】如图，连接BC
?
?D是弧AC的中点,
?OD垂直平分AC,
?EA=EC=,?
?设OD=OA=x，则OE=x-2，
?,即，解得x=5?,
?AB=2OA=10,
??,
??,
?答：BE的长度为.
32.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.?
?
(1)求证:BD=BF;
【答案】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
?∵CF∥AB,∴∠ABC=∠FCB.
?∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF.
?∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.
?∵BF是☉O的切线,∴BF⊥AB.
?∵CF∥AB,∴BF⊥CF,∴CD=CF.
?∴BD=BF.
(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.
【答案】∵AC=AB=10,CD=4,
?∴AD=AC-CD=10-4=6.
?在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64,
?在Rt△BDC中,BC==4,
?即BC的长为4.
33.
?已知AB是☉O的直径,AT是☉O的切线,∠ABT=50°,BT交☉O于点C,E是AB上一点,延长CE交☉O于点D.
?
?图①　　　　　　　　　　　　　　图②
(1)如图①,求∠T和∠CDB的大小;
【答案】如图,连接AC.
?
?∵AT是☉O的切线,AB是☉O的直径,
?∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.
?∵∠ABT=50°,
?∴∠T=90°-∠ABT=40°.
?由AB是☉O的直径,得∠ACB=90°.
?∴∠CAB=90°-∠ABC=40°.
?由圆周角定理可得∠CDB=∠CAB,∴∠CDB=40°.
(2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小.
【答案】如图,连接AD.
?
?在△BCE中,BE=BC,
?∠EBC=50°,
?∴∠BCE=∠BEC=65°.
?由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=65°.
?∵OA=OD,
?∴∠ODA=∠OAD=65°,
?由圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=50°.
?∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
34.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F.
?
(1)?求证：△BDF是等边三角形；
【答案】证明：连接OE.
?
?∵AC切⊙O于点E，
??∴.
?∵，?,
?∴,?.???????????
?∵，
?∴.
?∴.
?∴△BDF是等边三角形.??
(2)连接AF,DC，若BC=3，写出求四边形AFCD面积的思路.
【答案】如图，作DH⊥AC于点H.
?
?①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3,可求AB，AC的长；
?②由∠AEO=90°，∠OAE=30°,可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的长；?
?③由第1问可知BF=BD，可求CF的长；
?④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积.
35.
如图，的顶点A,B,C在⊙O上，过点C作DE∥AB交OA延长线于D点，交OB延长线于点E?.
?
(1)求证：CE是⊙O的切线；
【答案】连接OC，如图，
?
?∵四边形AOBC是平行四边形，
?又OA=OB,
?∴平行四边形AOBC是菱形,
?∴OC⊥AB.
?∵DE∥AB，
?∴OC⊥DE,
?∴CE是⊙O的切线.
(2)若OA＝1，求阴影部分面积.
【答案】∵四边形AOBC是菱形,OC=OB,
?∴ΔCOB是等边三角形,
?∴∠COB=60°，
?∴SΔCOB=,S扇形COB=?,
?故.
36.
已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A，B，D在⊙O上，且CD与⊙O相切.
?
(1)求证：BC与⊙O相切；
【答案】连接OB，OD，OC，
?
?∵ABCD是菱形，∴CD＝CB，
?∵OC＝OC，OD＝OB，
?∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC＝∠OBC，
?∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，
?∴∠OBC＝∠ODC＝90°，即OB⊥BC，点B在⊙O上，
?∴BC与⊙O相切.
(2)求阴影部分面积.
【答案】∵ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，
?∵∠DOB与∠A所对的弧都是，∴∠DOB＝2∠A，
?由第1问知∠DOB＋∠C＝180°，∴∠DOB＝120°，∠DOC＝60°，
?∵OD＝1，∴OC＝，
?∴S阴影＝2S△DOC-S扇形OBD＝2××1×-＝-.
37.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下的定义:若在图形M上存在一点Q,使得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.
(1)当☉O的半径为2时,
?①在点P1,P2,P3中,☉O的关联点是　　　　;?
?②点P在直线y=-x上,若P为☉O的关联点,求点P的横坐标的取值范围;
【答案】①OP1=,OP2==1,
?OP3=,
?
?点P1在☉O的最小距离为,点P2与☉O的最小距离为1,点P3与☉O的最小距离为,
?∴☉O的关联点为P2和P3.
?②根据定义分析可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意,设点?P?的坐标为(x,-x),
?当OP=1时,由距离公式可得,
?OP==1,解得x=±,
?当OP=3时,由距离公式可得,
?OP==3,x2+x2=9,解得x=±,
?∴P的横坐标的取值范围为-≤x≤-或≤x≤.
(2)☉C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A,?B.若线段AB上的所有点都是☉C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
【答案】∵y=-x+1与x轴、y轴的交点分别为A,B两点,
?∴令y=0得,-x+1=0,
?解得x=1,
?令x=0得,y=1,
?∴A(1,0),B(0,1),
?分析得:
?如图1,当圆过点A时,此时CA=3,
?∴C的点坐标为(-2,0),
?
?图1　　　　　　　　　　?图2
?如图2,当圆与小圆相切时,切点为D,
?∴CD=1,
?又∵直线AB所在的函数的解析式为y=-x+1,
?∴直线AB与x轴形成的夹角是45°,
?∴Rt△ACD中,CA=,
?∴C点坐标为(1-,0).
?∴C点的横坐标的取值范围为-2≤xC≤1-;
?如图3,当圆过点A时,AC=1,
?C点坐标为(2,0).
?
?图3　　　　　　　　　　?图4
?如图4,当圆过点B时,连接BC,此时BC=3,
?在Rt△OCB中,由勾股定理得OC==2,
?C点坐标为(2,0).
?∴C点的横坐标的取值范围为2≤xC≤2;
?综上所述C点的横坐标的取值范围为-2≤xC≤1-或2≤xC≤2.
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