27.2
反比例函数的图像和性质
教学设计
教学任务分析：“反比例函数的图像和性质”是冀教版数学九年级上册“第二十七章
反比例函数”第2节的内容．是在学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再一次研究具体的初等函数问题，而对反比例函数图像和性质的理解以及用函数观念解决实际问题的经验，对今后二次函数以及高中阶段其他函数的学习会奠定扎实的基础.
通过本章的学习使学生进一步理解函数的内涵，并感受反比例函数的图像是刻画现实世界变化规律数学模型，能应用反比例函数图像和性质来解决实际问题．本章的主要的知识有：反比例函数的概念、图像、性质；反比例函数的应用.本节课的教学目的在于培养学生通过理解画出图象并探究图像性质的学习策略.
学生状况分析：1.
在知识层面，前面的学习过程中，学生经历了一次函数的图像的形成以及性质的研究过程，对函数所反映的图像和图像的性质有了一定的了解；2.
在思维水平层面，九年级学生已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深；3.
在心理层面，九年级学生心智已较成熟，而且已经具备了一定的数学基础和思维能力，他们渴望通过自己的探究发现知识，体验知识的获得过程，所以我为学生提供自由广阔的天地，设计科学的教学活动让他们主动参与、独立思考、合作交流.
知识与技能目标：1.学生通过自己动手，能列表，描点，连线画出反比例函数的图象，提高学生的作图能力。2.通过观察反比例函数图像，分析探究反比例函数的性质，培养学生探究、归纳及概括的能力。体会数形结合思想和分类讨论思想。
数学思考目标：1.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。2.培养学生的探究、归纳及概括的能力.
问题解决目标：1.通过自己动手，能列表，描点，连线能准确画出反比例函数的图象。2.
能通过观察反比例函数图像，分析探究反比例函数的性质，解决有关性质的问题。
情感态度与价值观目标：1.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。2.由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣。
教学重点：画反比例函数的图像，理解反比例函数的性质.
教学难点：画反比例函数的图像，归纳反比例函数的性质.
根据以上分析，我确定本节的教法和学法为：
教法：用探究的方法画图，通过练习应用强化对图像和性质的理解；
学法：让学生用“探究归纳”的方法来学习反比例函数的图像和性质.
2.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
引
言
今天，我们学习《反比例函数》第二节．反比例函数的概念和一次函数的图像和性质我们都已经学过，下面我们来回忆一下以下几个问题．
揭示知识间的内在联系．
回忆
与再现
什么是反比例函数？反比例函数的定义中需要注意什么？2.回顾画一次函数图像的步骤。3.回顾一次函数的图像及性质。
独立思考，回答问题．
通过对反比例函数概念的复习更深刻理解比例系数，自变量以及函数的取值范围，为下面的作图埋下伏笔。复习一次函数的图像和性质是为画反比例函数和研究反比例函数的图像和性质指明了研究方向。
建立反比例函数图像的模型；探究图像的形状和函数的性质
第一环节：例1：画出反比例函数和的图像。思考：1、作函数图象的一般步骤是什么？2、列表时要注意些什么？取值要注意什么？3、比较各组函数的图像，它们有何异同？4、由此你能得到些什么结论？5、图像在延伸后，会不会与两坐标轴相交？第二环节：解
：以为例，列表取值、描点、连线。画图像。反比例函数的图象是由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线。两条曲线叫双曲线的两个分支。当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内；当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内。第三环节：第四环节：设置疑问观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:（1）反比例函数的图象是中心对称图形吗？（2）反比例函数的图象是轴对称图形吗？
分小组独立思考完成，列表，描点，连线，画出图象，解决思考问题
先独立思考，然后小组交流：K为正数时函数图象在什么位置？K为负数时函数图像在什么位置？
函数图象的名称是什么？同桌交流后回答第三环节中反比例函数增减性问题。独立思考，小组讨论全班展开交流，寻找验证对称的方法。
第一环节：投放各种刺激模式提供有代表性的问题情境，提炼反比例函数图像的实质；使学生在不同的反比例函数的情境中体会反比例函数图象和比例系数之间的关系。第二环节：分化出各个刺激模式的共同属性，抽象出各个刺激模式的本质属性，初步形成对图像的理解。
通过与已有认知结构中的有关概念进行对比，更易分化出各个刺激模式的共同属性．在此环节请学生先独立思考，再小组讨论交流．使每位学生都有独立思考的过程，强化了学习的内化，培养了学生的归纳、概括能力。最后教师概括函数图象的名称，总结函数图像的位置与k的关系，同时学生加强记忆，跟随理解。第三环节：通过对函数图象位置的分析进一步研究并了解函数随自变量的变化而变化的情况，即函数的增减性问题；最后老师总结结论，学生强化记忆。
让同学们自己动手动脑思考，加深对中心对称和轴对称的理解
巩固与运用
独立思考完成练习．
练习1，通过对k的正负决定函数图象所在象限的理解让学生真正理解反比例函数图像的实质性问题．
练习2，通过对k的正负决定函数图象所在象限的理解同时加入k的正负与函数增减性的关系，以及在一定范围内对反比例函数图像的理解，让学生真正理解反比例函数图像的性质的本质问题．练习3，根据函数所在的象限来确定比例系数的范围正反互用加深理解。
练习4，通过加入与一次函数的结合，培养学生更好的分析和解决问题的能力，同时培养学生的抽象思维能力．
练习5，意在通过反比例函数图像的增减性与k正负的关系，进一步理解其本质属性．
练习6，意在通过反比例函数图像的增减性与k正负的关系，进一步理解其本质属性．通过与练习5的对比，进一步加深印象，学会思考和解决问题的能力。
回顾与反思
1:形状
反比例函数的图象是由两支曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;2.反比例函数图像的位置及增减性：
当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
当k＜0时，函数图象的两
个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.3注意事项：
（1）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。
（2）画图时注意其美观性（对称性、延伸性）：反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形。它们各自都有一个对称中心，两条对称轴；图象分别都是由两支曲线组成的，两个分支都无限趋近但永远不能与x轴和y轴相交。
请同学分享．
引导回顾产生知识的全过程，加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，并逐渐培养学生对自己的数学思维进行监控的能力．尤其是有意识地启发，使学生的思维活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的思维活动，使学生体会到这节课的真正目的在于培养大家良好的数学学习方法．
布置作业
作业：教材133--134页：练习，习题A组，B组；136—137页：练习，习题A组。
独立完成作业．
加深对函数图像和性质的理解和应用
练一练
5课题名称
反比例函数的图像和性质
科目
数学
年级
八年级
课时
授课人
教材内容分析
本节课讲述内容为冀教版九年级上册第二十七章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图像和性质的过程。本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念
。函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探索是对其内在规定性的的认识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。
能用待定系数法求反比例函数的表达式并解决简单问题。
教学重点
能画反比例函数的图像
教学难点
反比例函数图像是平滑双曲线的理解及对图像特征的分析
教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图
自主学习
什么叫反比例函数？反比例函数中自变量的取值范围是什么？画函数图像的步骤是什么？一次函数的图像是什么样的？
学生独立思考、回答
复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面画反比例函数的图像做好准备
自主学习
画出反比例函数
的图像学生初次遇到作非线性函数的图像，而且反比例函数的图像是由断开的两支曲线组成，因此在作图过程中给学生留有思考的时间和交流的空间．
学生自己列表，描点，连线，得出反比例函数的图像在列表时，应在零的左右两边对称的取自变量的值，在连线时，要用平滑曲线连接，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。所以连线时不要穿过坐标轴。由学生讨论并回答得出以上结论，加深印像
进一步熟悉作出函数图像的主要步骤，会画反比例函数的图像．对函数进行认识上的整合，为发现反比例函数的性质作准备．
观察与思考
1、观察画出的反比例函数的图像，它与坐标轴有交点吗？为什么？2、仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数
的图像吗？谈谈你的看法，并与大家交流。
学生观察，讨论
初步感受反比例函数图像的特点
合作探究
在直角坐标系中，画出反比例函数
的图像。比较反比例函数
和
的图像，指出他们的共同特征
学生分组针对上面两个问题结合画出的图像分类讨论，归纳总结反比例函数图像的特征
从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图像中获取信息的能力。
反比例函数
(k为常数，且k≠0)的图像由分别位于两个像限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线。所以反比例函数
也叫双曲线
例题赏析
已知点P（-6,8）在反比例函数图像上1、求这个反比例函数的表达式2、判断点M(4,-12)和N(2，24)是否在这个反比例函数的图像上。
学生自己做，然后交流展示
用待定系数法确定反比例函数表达式需要几个点
反馈练习小试牛刀能力提升
在如图所示的两个函数图像中，哪个是反比例函数的图像？请确定出相应的反比例函数的表达式。
y
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
y
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
-31、双曲线
的图像过点（2,5），若点（1，n）在反比例函数的图像上，则n=______________2、
已知反比例函数的图像经过点（a,b），则它的图像一定也经过（
）
A(-a,-b)B(a,-b)C(-a,b)D
(0,0)已知，一次函数y=x+1的图像与反比例函数
的图像都经过A(a,2)
(1)求a的值及反比例函数的表达式。（2）判断点B（
）是否在该反比例函数的图像上
学生自己做，然后交流展示
正确判断反比例函数的图像，并能从图像中获取信息，用待定系数法求得反比例函数的表达式。
总结与反思
本节课你学到了什么？你还有什么困惑
作业
课本133页A组1、2题
板书设计
反比例函数的图像和性质1、
（k为常数，k≠0）
自变量x≠0反比例函数图像：双曲线特征：两个分支分布在两个象限关于原点成中心对称是轴对称图形（对称轴是夹角平分线）
4、例题反比例函数的图像与性质
知识回顾：反比例函数的表达式是:
_______________．
常用变形形式：（1）_______________
、（2）_________________．
练习：1.在反比例函数y=（k≠0，k为常数）中，
当x=2，y=4时反比例函数的解析式为
______________
．
2.若是y关于x的反比例函数，m=_________.
学习目标：1.能够准确画出反比例函数的图象，
2.并能说出它的性质并会简单的应用．
课前预习：
1.
画出反比例函数
与
的图像.
2.画出反比例函数与的图像.
3.观察反比例函数的图像是：______________.
共同探究：
1.画反比例函数图象的一般步骤：_______，________，________。
2.注意的问题：（1）__________________,
（2）_______________________________,
（3）_______________________________.
3.形状归纳：每个反比例函数的图象是______________．
补充说明：(____________________图形，___________________图形)
合作猜想：（观察图象位置、变化趋势，猜想反比例函数的性质）
反比例函数的性质：_________________________________________________________________________________________________________________________________________.
演示补充：
函数图象分别位于哪几个象限？y随的x变化有怎样的变化？
_______________________________________________________________.
归纳报告：
反比例函数的性质：_________________________________________________________________________________________________________________________________________.
跟踪训练：
1.函数
的图象在第______________象限，在每个象限内，y随x的增大而__________；
2.函数
，当x>0时，图象在第______________
象限，y随x的增大而______________
．
3.已知反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值___________.
4.已知反比例函数
的图象在第二、四象限内，则m的值_______
回顾与小结：
本节课你学到了什么？
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.提升与拔高：1.已知函数y＝－，当x＜0时，y____0，此时，其图象的相应部分在第_
____象限.
2.反比例函数(k≠0)与一次函数(k≠0)无交点，k的取值_________.
3.已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图像上，则y1，y2，y3大小关系________________.
4.如图是三个反比例函数图象的分支，则k1，k2，k3的大小关系是
.
作业布置：
必做题：
1.P6练习1.2.3.
2.
在同一平面直角坐标系内画与函数图像.
选作题：
1.观察必做题的2的函数图像，总结们的图像性质.
2.在函数上任找一点，向x轴y轴作垂线，形成的矩形面积如何变化？
3.
提升与拔高中4题反映反比例函数什么特征？
x
y
x
y
x
y
x
y27.2反比例函数的图象和性质
教学目标：
1、
复习和应用作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2、
通过体会函数三种表示方法的相互转换，对函数的数形结合有更清楚的认识。
3、
让学生学会从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数图像的性质。
教学重点：掌握反比例函数的图像和性质。
教学难点：反比例函数图像的画图和图像性质的应用。
教学过程：
1、
创设问题情景，引入新课
教学活动一
（1）
画函数y=x+1的图象：（2）求上述函数与轴、轴的交点坐标。
教师提出要求：学生独立思考、画图、作答；教师进行评价，用展台展示学生的成果
教师给出解答过程，让学生们对照，找出自己的不足。
（1）
列表：（由于一次函数的图象是一条直线，所以只需找两点即可）
0
-1
1
0
（2）
描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
（3）
连线：连接两点即可得y=x+1的图象令,则,一次函数与轴交点坐标为（0，1）,令,得x=-1一次函数与轴交点的坐标为（-1，0）。
教师提问：1、什么叫做反比例函数？
教师给出定义：
如果两个变量、之间的关系可以表示成（为常数且）的形式，那么是的反比例函数。反比例函数的自变量不能为零。
提出问题：请同学们猜想反比例函数的图象是什么样的？
让学生自己尝试作反比例函数的图像，还是应用画函数图像的三个步骤，同学们可以相互交流自己画出的函数图像与其他同学画出的是否相同，与前面画过的一次函数图像有和不同，同学们可相互交流。
二、探索、研究——揭示反比例函数的特点
教学活动二
〖例2〗画出反比例函数与的图象。
〖让学生自己动手画图，相互观摩〗
教师应重点关注以下问题：
1、学生是否熟能正确作出反比例函数的图象；
2、在动手作图的过程中，是否进行了思考和探究。
反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可看出，切记不能用直线连接。
师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来，就可得到下图。
教师提出问题：观察画出的图象，思考与的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关系？（教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两条对称轴，它们都不会经过原点。）
教学活动三
练习：
在下面的平面直角坐标系中，如下图画出反比例函数与的图象，（可以利用与图象之间的关系画出函数的图象）。
由学生自己独立完成。
教师巡视以有困难的学生给予指导，然后让两个同学板演，
此活动中教师应重点关注：
a、能否掌握画反比例函数图象的步骤；
b、能否用光滑的曲线画出；
c能否利用与的关系画出函数的图象。
教学活动四
观察函数和以及和的图象。
（1）你能发现它们的共同特征以及不同点？
（2）每个函数的图象分别于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，随的变化如何变化？
学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质。
教师参与到学生的讨论中去，积极引导。
在此活动中，教师应重点关注：
a、学生能否从反比例函数，和与图象中归纳出它们的相同点和不同点。
b、学生能否积极参与到小组讨论中，大胆发表自己的见解，倾听别人的看法。
师生共同分析后指出：
随的变化情况也同有关系，即，当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大。
（总结）反比例函数的图象和性质如下：
（1）反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
（2）当时，双曲线的两支分别位于第二、第三象限，在每个象限内随值的增大而减小；
（3）当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内随值的增大而增大。
下面我们就根据反比例函数的图象和性质完成下列练习。
三、巩固提高
教学活动五
1、请指出下面的图象中，如下图哪一个是反比例的图象
（
）
2、如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象
（
）
A、
B、
C、
D、
学生独立思考完成。
教师巡视，引导“学困生”完成任务。
在此活动中，学生应重点关注：
（1）学生能否熟练掌握反比例函数的图象和性质。
（2）学生是否能将刚学过的知识用于实践。
四、课堂总结，提高认识
教学活动六
你对本节知识有哪些认识？
教师可由学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质。
在活动中，教师应重点关注
：
（1）不同层次学生对本节课知识的认识程度；
（2）学生独立面对困难和克服困难的能力。
