冀教版初中数学九年级上 册 28.4 垂经定理 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
垂径定理
1.复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识.
2.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.
(重点)
3.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.（难点）
学习目标
问题
赵州桥的半径是多少？
观察与思考
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题1
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
垂径定理及其应用
一
解：（1）圆是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴.
·
O
A
B
C
D
E
·
O
A
B
C
D
E
弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD重合．
（2）线段:AE=BE
·
O
A
B
C
E
由此，我们得到下面的定理：
即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
D
我们还可以得到结论：
平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条.
（1）一条直线过圆心.
（2）这条直线垂直于弦.
（3）这条直线平分不是直径的弦.
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧.
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧.
解决求赵州桥拱半径的问题：
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m
解得R≈27.9.
O
D
A
B
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即
R2=18.72+（R－7.2）2
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4m，CD=7.2m，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
（m）,
垂径定理的推论
二
问题
命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例.
∴
CD⊥AB,
∵
CD是直径，
AE=BE
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
·
O
A
B
C
D
E
（1）如何证明？
·
O
A
B
C
D
E
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵
AE=BE
∴
CD⊥AB，∠AOD=∠BOD.
∴
AD=BD,
求证：CD⊥AB，且AD=BD,
⌒
⌒
⌒
⌒
AC
=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
AC
=BC
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
①
CD是直径,
②
CD⊥AB,
③
AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤
AD=BD.
如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;
(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.
●O
A
B
C
D
└
M
当堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt△AOE中，
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
·
O
A
B
C
D
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB，
∴
AE=AD.
∴
四边形ADOE为正方形.
∵
课堂小结
　　　　　　　　　　直径平分弦
　
直径垂直于弦=>　　
　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧
　　　　　　　　　　　　　　
直径垂直于弦
　
直径平分弦（不是直径）　　
　　　　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧
　　　　　　　　　
直径平分弧所对的弦
直径平分弧　　　
直径垂直于弧所对的弦
　　
=>　
=>　
垂径定理及其逆定理
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备:
（1）过圆心;
（2）垂直于弦;
（3）平分弦;
（4）平分弦所对的优弧;
（5）平分弦所对的劣弧;
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
谢
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