人教版 九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 同步训练（Word版 含答案）

人教版
九年级数学上册
24.1
圆的有关性质
同步训练
一、选择题
1.
2019·葫芦岛
如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为(　　)
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
2.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　　)
A.
45°
B.
50°
C.
55°
D.
60°
　　　
3.
与圆心的距离不大于半径的所有点组成的图形是(　　)
A．圆的外部(包括边界)
B．圆的内部(不包括边界)
C．圆
D．圆的内部(包括边界)
4.
(2019?贵港)如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是
A．
B．
C．
D．
5.
如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
6.
2019·聊城
如图，BC是半圆O的直径，D，E是上的两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为(　　)
A．35°
B．38°
C．40°
D．42°
7.
如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是(　　)
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
8.
如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)
A．6
B．8
C．5
D．5
二、填空题
9.
如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升了　　　　cm.?
10.
2018·毕节
如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为________．
11.
如图，已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，则BP的最大值为________．
12.
(2019?娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
13.
如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.
14.
如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
15.
如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为的中点，分别在和上取其中点A1和B1，再在1和1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则∠AnOBn＝________°.
16.
如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．
三、解答题
17.
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，将劣弧AC沿弦AC翻折与AB的交点恰好是圆心O，作OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BC，CD.求证：四边形BCDO是菱形．
18.
如图，为的直径，点在上．
(1)尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点(不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；
(2)探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．
19.
如图，在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA交⊙O于点C，DN⊥OB交⊙O于点D.求证：＝.
20.
2019·十堰改编
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，求AE的长度．
21.
如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
　　　　　　　
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九年级数学上册
24.1
圆的有关性质
同步训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B
2.
【答案】B　【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.
3.
【答案】D　
4.
【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
∴，故选B．
5.
【答案】D　[解析]
如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.根据题意，得OD＝OA＝1.再根据勾股定理，得AD＝.根据垂径定理，得AB＝2
.
6.
【答案】C
7.
【答案】C　
8.
【答案】B　[解析]
如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝8.
二、填空题
9.
【答案】10或70　[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.
由垂径定理得:BC=AB=30
cm.
在Rt△OBC中，OC==40(cm).
当水位上升到圆心以下且水面宽80
cm时，
圆心到水面距离==30(cm)，
水面上升的高度为:40-30=10(cm).
当水位上升到圆心以上且水面宽80
cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).
综上可得，水面上升的高度为10
cm或70
cm.
故答案为10或70.
10.
【答案】30°　[解析]
如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°.
∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°－60°＝30°.
11.
【答案】8　[解析]
由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠PAB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB＝4
，进而可求得BP的最大值为8.
12.
【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．
故答案为：1．
13.
【答案】50　[解析]
由三角形的内角和定理，得∠B＋∠C＝180°－∠A.再由OB＝OD＝OC＝OE，得到∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C.在等腰三角形BOD和等腰三角形COE中，∠DOB＋∠EOC＝180°－2∠B＋180°－2∠C＝360°－2(∠B＋∠C)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，所以∠DOE＝180°－2∠A＝50°.
14.
【答案】7
　[解析]
如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7
，则PA＋PC的最小值为7
.
15.
【答案】()　[解析]
当n＝1时，∠A1OB1＝90°；当n＝2时，∠A2OB2＝＝45……所以∠AnOBn＝()°.
16.
【答案】4　[解析]
如图，当CD∥AB时，PM的长最大，连接OM，OC.
∵CD∥AB，CP⊥AB，
∴CP⊥CD.
∵M为CD的中点，OM过点O，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM＝OC.
∵⊙O的直径AB＝8，
∴半径OC＝4，∴PM＝4.
三、解答题
17.
【答案】
证明：如图，连接AD，OC.
∵OD⊥AC，∴AE＝EC.
由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，
∴OE＝DE，
∴四边形OADC是平行四边形，
∴OA∥CD，OA＝CD.
∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，
∴四边形BCDO是平行四边形．
又∵OB＝OD，
∴四边形BCDO是菱形．
18.
【答案】
(1)如图所示：
(2)，．
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，．
19.
【答案】
证明：如图，连接OC，OD，
则OC＝OD.
∵M，N分别是半径OA，OB的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，
∴∠MOC＝∠NOD，∴＝.
20.
【答案】
解：连接AC，如图．
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CDA＝180°，
∴∠1＝∠CDA.
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5.
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2
.
21.
【答案】
【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．
①
(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α
证明：如解图①，连接BG，
∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，(1分)
又∵四边形ACBG内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，
即β＝90°＋α；(3分)
②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，
∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)
∴2(180°－β
)＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)
(2)如解图②，连接BG，
②
∵γ＝135°，γ＝180°－α，
∴α＝45°，β＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)
∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)
∵CD＝3，∴CE＝3，AC＝，∴AE＝4，(10分)
∵∠BEA＝90°，
∴由勾股定理得，AB＝＝＝＝5，(11分)
∴AG＝AB＝×5＝10，
∴r＝5.(12分)