上海市南汇高中2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海南汇中学2020学年第一学期期中考试
高三数学
一?填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1.已知集合false，则false__________.
2.已知函数false是其反函数，则false__________.
3.已知数列false满足false，则false__________.
4.函数false的最小正周期是__________.
5.已知角false的终边过点false，则false__________.
6.若false，则false__________.
7.方程false的解是__________.
8.在等比数列false中，false且false，则false的最小值为__________.
9.函数false的零点个数为__________.
10.已知数列false的前false项和false，则数列false的前false项和false__________.
11.将函数false的图象向右平移false个单位得到函数false的图象，若存在false使得false，则false的最小值为__________.
12.等差数列false的前false项和为false，已知false，false，则false__________.
二?选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13.“false”是“false”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
15.已知函数false在false上有两个零点false，则false的值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
16.已知点列false均在函数false图象上，点列false满足false，若数列false中任意连续三项能构成三角形的三边，则false的范围为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
三?解答题(本大题共5题，共76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
17.(本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分)
已知关于false的不等式false；
（1）若不等式的解集为false，求实数false的值；
（2）不等式对false恒成立，求实数false的取值范围.
18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足false
（1）求false；
（2）求false的取值范围.
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)
某电器专卖店销售某种型号的空调，记第false天false的日销售量为false(单位：台)，函数false图象中的点分别在两条直线上，如图所示该两条直线交点的横坐标为false，已知false时，函数false；
（1）当false时，求函数false的解析式；
（2）求false的值及该店前false天销售该型号空调的销售总量；
（3）按照经验判断当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时才可被认为开始旺销？
20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
设false为实数，函数false.
（1）判断函数false的奇偶性，并说明理由；
（2）当false时，求函数false的最小值；
（3）对于函数false，在定义域内给定区间false，如果存在false，满足false，则称函数false是区间false上的“平均值函数”，false是它的一个“均值点”.如函数false是false上的平均值函数，false就是它的均值点.现有函数false是区间false上的平均值函数，求实数false的取值范围.
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
定义：对于一个项数为false的数列false，若存在false且false，使得数列false的前false项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列false是“等和数列”，求实数false的值；
（2）设数列false通项公式为false，且共有false项证明：false不是等和数列；
（3）项数为false的等差数列false的前false项和为false，求证：false是“等和数列”
上海南汇中学2020学年第一学期期中考试
高三数学
一?填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1.已知集合false，则false__________.
【答案】false
2.已知函数false是其反函数，则false__________.
【答案】false
3.已知数列false满足false，则false__________.
【答案】false
4.函数false的最小正周期是__________.
【答案】false
5.已知角false的终边过点false，则false__________.
【答案】false
6.若false，则false__________.
【答案】false
7.方程false的解是__________.
【答案】false
8.在等比数列false中，false且false，则false的最小值为__________.
【答案】false
9.函数false的零点个数为__________.
【答案】false
10.已知数列false的前false项和false，则数列false的前false项和false__________.
【解析】当false时，false，当false时，false
所以false，所以false
所以false，
所以false，
false
所以false
所以false，即false
11.将函数false的图象向右平移false个单位得到函数false的图象，若存在false使得false，则false的最小值为__________.
【解析】false，因为false
所以false，
false
所以false，又false
故当false时，false的最小值为false
12.等差数列false的前false项和为false，已知false，false，则false__________.
【解析】由false
false
得false
构造函数false，则false为false上的奇函数，增函数，
则false，所以false，
又false是等差数列，所以false
所以false
二?选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13.“false”是“false”的（ A ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ D ）
A.false B.false C.false D.false
15.已知函数false在false上有两个零点false，则false的值为（ D ）
A.false B.false C.false D.false
16.已知点列false均在函数false图象上，点列false满足false，若数列false中任意连续三项能构成三角形的三边，则false的范围为（ B ）
A.false B.false
C.false D.false
【解析】因为false满足false
由中点坐标公式，得false的中点坐标为false
所以false
当false时，以false为边长能构成三角形的三边，只要false，
所以false，即false，解得false
同理，当false时，解得false
所以false的范围为false
三?解答题(本大题共5题，共76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
17.(本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分)
已知关于false的不等式false；
（1）若不等式的解集为false，求实数false的值；
（2）不等式对false恒成立，求实数false的取值范围.
【解析】（1）由题意知false且2和3是方程false的两根，
所以false，解得false
（2）不等式false恒成立，
false时，不等式解为false，不恒成立；
false时，false，解得false
综上：false
18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足false
（1）求false；
（2）求false的取值范围.
【解析】（1）false，化简得false
所以false
（2）false
因为false
所以false
故false的取值范围是false
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)
某电器专卖店销售某种型号的空调，记第false天false的日销售量为false(单位：台)，函数false图象中的点分别在两条直线上，如图所示该两条直线交点的横坐标为false，已知false时，函数false；
（1）当false时，求函数false的解析式；
（2）求false的值及该店前false天销售该型号空调的销售总量；
（3）按照经验判断当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时才可被认为开始旺销？
【解析】（1）根据题意，当false时，设false
因为false，所以false，所以false，
所以false
（2）因为false时，函数false，当false时，函数所false，
所以false，所以false
该店前false天此型号空调的销售总量false台；
（3）设该店此型号空调销售到第false天后，才可被认为开始旺销，则销售总量为
false
所以false，所以false
所以设该店此型号空调销售到第false天时，才可被认为开始旺销.
20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
设false为实数，函数false.
（1）判断函数false的奇偶性，并说明理由；
（2）当false时，求函数false的最小值；
（3）对于函数false，在定义域内给定区间false，如果存在false，满足false，则称函数false是区间false上的“平均值函数”，false是它的一个“均值点”.如函数false是false上的平均值函数，false就是它的均值点.现有函数false是区间false上的平均值函数，求实数false的取值范围.
【解析】（1）函数false定义域为false
当false时，false，false为偶函数，
当false时，false且false
所以false为非奇非偶函数
综上：false时，false为偶函数；false时，false为非奇非偶函数
（2）当false时，false
所以false在false上的最小值为false，此时false
false在false上的的最小值为false，此时false
因为false，所以函数false的最小值为false
（3）因为函数false是区间false上的平均值函数，
所以存在false，使false
而false，存在false，使得false
即关于false的方程false在false内有解；
由false得false
解得false所以false即false
故false的取值范围是false
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
定义：对于一个项数为false的数列false，若存在false且false，使得数列false的前false项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列false是“等和数列”，求实数false的值；
（2）设数列false通项公式为false，且共有false项证明：false不是等和数列；
（3）项数为false的等差数列false的前false项和为false，求证：false是“等和数列”
【解析】若false，即false，则false
若false，即false，则false
若false，即false，则false
所以false或false或false.
（2）设false为false的前false项和，
反证法：假设结论不成立，即false是“等和数列”
则存在false且false，使得false成立，即false，
于是false成立，即false
方法一：false，false，即false，所以false
所以false，与false产生矛盾所以假设不成立，
即false不是“等和数列”.
方法二：由false得到false
这里false得false产生矛盾所以假设不成立，
即false不是“等和数列”.
（3）证明方法一：false，所以false.
假设存在false使得数列false的前false项和与剩下项的和相等，
即false，所以false
false
false
即false
当false时false，对任意false都有false，
即false，
所以此时false是“等和数列”；
当false时，false，此时false或false(舍去).
即存在false且false，使得false成立，
所以此时false是“等和数列”
证明方法二：设false公差为false，
false
同理false
于是false
同理false
false
即false成等差数列，
所以false，因为false
所以false，即存在false，使false
所以false是“等和数列”.