上海市浦东新区实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

上海实验学校高二上期中考数学试卷
2020.11
一、填空题
1．过点且法向量为的直线方程是 ．
2．已知向量，，则在上的投影是 ．
3．已知，，动点满足，则动点的轨迹方程是 ．
4．直线与的夹角是 ．
5．已知方程表示一个圆的充要条件是 ．
6．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是 ．
7．已知点，，直线过点且与直线有交点，则直线的斜率的取值范围是 ．
8．已知直线，，若直线与关于直线对称，则直线的方程为 ．
9．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，则的取值范围是 ．
10．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为 ．
二、选择题
11．“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
12．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
13．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③ 曲线所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
14．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
三、解答题
15．已知，，且向量与不共线．
（1）若与的夹角为，求；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，（1）求点坐标；（2）求边所在的直线方程．
17．在中，，，，点为所在平面上一点，满足（，且）．
（1）证明：；
（2）若点为的重心，求的值；
（3）若点为的外心，求的值．
18．（1）已知直线过点，若直线在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的一般式方程；
（2）已知直线过点且与轴，轴的正半轴相交于两点，求面积最小值及这时直线的一般式方程；
（3）已知直线经过点，且与第一象限的平分线，轴（原点除外）分别交于两点，直线，射线，轴围成的三角形的面积为12，则符合要求的直线共有几条，并说明理由．
四、附加题
19．已知曲线，直线都过点且互相垂直，若曲线与直线中的至少一条相交，求实数的取值范围．
20．设，过两定点，分别引直线和（斜率都存在），使与曲线有四个不同的交点，当这四个点共圆时，求直线和的交点的轨迹．
参考答案
一、填空题
1． 2．2 3． 4． 5．且
6． 7． 8． 9．
10．，，
【第1题解析】由直线的点法向式，得，即．
【第2题解析】在上的投影是．
【第3题解析】动点的轨迹方程是．
【第4题解析】两直线的法向量为，，，
∴两直线的夹角．
【第6题解析】由题意，圆心在过点，直线的垂线上，易得该直线的方程为，即，与联立，可求得圆心为，半径为与的距离，∴所求的圆的方程为．
【第7题解析】直线的斜率为，直线与直线不平行即可，∴．
【第8题解析】直线与直线的交点为，由可得直线的斜率，∴直线的方程为，即．
【第9题解析】记，
则，
由等系数和线知识，当点在直线上时，，
当点在点处时，由，得此时，
当点在点处时，由题意，易得
，此时，，，
综上，的取值范围是．
【第10题解析】条件即，表示有且仅有三条不同的直线（不过原点），使得点和点到直线的距离等于．
（1）时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线的两条平行线和；
（2）时，有4条直线会使得点和点到它们的距离相等，注意到不过原点，∴当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去，
①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，
此时，符合；
②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，
此时，符合；
综上，满足题意的实数为，，．
二、选择题
11．A 12．A 13．C 14．B
【第11题解析】必要性的反例：一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
【第12题解析】由题意，，从而，∴直线与圆相交，选A．
【第13题解析】整点仅有6个；
，；
“心形”区域的面积，∴①②正确，选C．
【后话】所围面积与所围面积相等，
表示椭圆，将其顺指针旋转可得其标准方程，
应用坐标旋转公式可得标准方程为，∴，
由椭圆面积公式可得；
还可利用椭圆的长短轴的概念求出曲线上任意一点到原点的距离的取值范围为．
【第14题解析】设，，则，
记，，，，
利用共线相似构造阿氏圆，，
其中，于是，即，
从而，选B．
三、解答题
15．（1）；
（2）且与不平行，解得．
16．（1）设，则中点为，
∵在的平分线上，且中点在中线上，
∴，解得，即点坐标为；
（2），直线的斜率为，
由，可得，
∴边所在的直线方程为，即．
【说明】也可求出点关于直线的对称点，直线即为所求．
17．（1）
；
（2）若点为的重心，则，
∴，解得；
（3）若点为的外心，
则，，，
∴，即，解得．
18．（1）设直线方程为，由题意，解得或，
∴直线的一般式方程为或；
（2）设直线方程为，由题意，
由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，
∴，∴，
即面积最小值为12，此时直线的一般式方程为；
（3）设直线方程为，（或），易得，，则，化简得，
①时，即，无实根，
②时，即，解得或（舍）
∴符合题意的直线只有1条．
四、附加题
19．若直线中有一条斜率为0，一条斜率不存在，则显然与其中之一（）相交．下面仅研究斜率都存在的情况，不妨设的斜率为，则的斜率为，从反面考虑，即存在，使得都与不相交．
当时，由图象可知，曲线与直线必有交点．
当时，由，得，，①
解得．
由，得，，
∴，∴，②
解得或．
由题意，若方程组①②无解，
则且，即．
综上，曲线与直线中至少一条相交时，的取值范围是．
20．设直线的方程为，直线的方程为．
于是，过与的四个不同交点的曲线方程可设为
，
即，
它成为圆的充要条件是，即．
∴两条直线与的交点的坐标为，即点在线段的中垂线上．
故点的轨迹是直线除去它与及的三个交点．