(共26张PPT)
数学人教版八年级上册
第十一章
三角形的外角3
学习目标
1、了解三角形的外角
2、探索并了解三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
3、学会运用简单的说理来计算三角形相关的角
重点和难点
重点：三角形的外角性质
难点：运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。
三角形的内角和等于180°
三角形的内角和定理
B
A
C
∠A+∠B+∠C=180°
D
B
A
C
不相邻内角
1
2
3
4
想一想：
外角与相邻内角有什么特殊关系？
外角
∠4+∠3=180°
外角与相邻内角的大小不能确定。
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
归纳：
1、每一个三角形都有6个外角．
3、每个外角与相应的内角是邻补角．
2、每一个顶点相对应的外角都有2个．
相邻内角
观察与思考
A
B
D
E
F
C
外角
A
B
D
E
F
C
外角
画一个三角形将它的所有外角画出来。
找出三角形的外角
在图1中，∠CBD是△ABC的外角，则
∠CBD+∠ABC=(
)
A
B
C
D
图1
180?
动动小手:在一张白纸上任意画一个三角形ABC，如图2，把∠B、∠C剪下拼在一起，放到∠CAD上，看看会出现什么结果？
A
B
C
D
图2
想一想
根据图形计算∠
ACD的大小，通过计算，你发现了什么规律？
B
C
A
D
350
700
B
A
C
D
800
400
75°
105°
∠ACD=∠A+∠B
60°
120°
∠ACD=∠A+∠B
D
因为∠ACD+
∠ACB=180°
又因为∠A+
∠B+
∠ACB=180°
所以
∠A+
∠B=∠ACD
解：
A
B
C
所以∠ACD
=180
°－∠ACB
所以∠A+∠B
=180
°－∠ACB
(邻补角的定义)
(三角形内角和180
°)
(等量代换)
如何说明∠ACD=
∠B+
∠
A
思考
1
(CE//BA)
A
E
擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？
C
B
D
画平行线法
D
解：过C作CE平行于AB
A
B
C
1
2
∠1=
∠B
∠2=
∠A
∠1+
∠2=
∠A+
∠B
即∠ACD=
∠A+
∠B
E
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
画平行线法
∠ACD
也是___________的外角
A
B
C
D
E
因此∠BDC=∠DAC+__________
△ADE
△ADC
∠DAE
1、如图∠BDC是________的外角，
=∠AED+__________
应用一
∠ACD
∠A
(<、>)；
∠ACD
∠B
(<、>)
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
D
A
C
B
>
>
∠ACD=
∠A+
∠B
三角形的内角与外角的大小关系
A
B
C
D
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∠B+∠C=∠CAD
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
∠CAD
>
∠B，
∠CAD
>
∠C
三角形外角的性质：
∠α=___
∠α=___
∠α=____
α
45?
20?
35?
∠α=___
α
123?
80?
∠α=___
α
25?
35?
∠α=___
90?
85?
95?
60?
43?
30?
求下列各图中∠α的度数。
α
60?
30?
α
120?
35?
α
45?
50?
应用二
如图：点D在BC上，点E在AD上，比较∠B与∠1的大小。并说明你的理由？
A
B
C
E
D
所以
∠1﹥∠B
1
解：
【我们不通过度量怎么来比较呢？
】
所以
∠1﹥∠EDC
因为∠1是△CED的外角
所以∠EDC﹥∠B
因为∠EDC是△ABD的外角
例题讲解1
A
B
C
1
2
3
填空：与三角形的每个内角相邻的外角分别有
个，这两个外角是
，他们的大小
。
∠1+∠2+∠3
就是△ABC的外角和。
A
B
C
1
2
3
4
5
6
两
对顶角
相等
探索与思考
∠1+∠2+∠3=
度
∠3+
∠BCA
=180°，
∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠ABC=180°
∠1+∠2+∠3=
度
A
B
C
1
2
3
数学说理：
三角形的外角和为360度。
360
猜一猜
三式相加可得：
∠1+
∠2
+
∠3+
∠BAC+∠ABC+
∠BCA
=540°
∠BAC+∠ABC+
∠BCA
=180°
∠1+
∠2
+
∠3=360°
探索：
例
：如图D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，
∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：1)∠B
的度数，
2)∠C的度数。
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°
∠C=180?-40?-70?=70°
解：因为∠ADC是△ABD的外角
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°
又因为∠B=∠BAD
40°
A
B
C
D
70°
80°
例题讲解2
______________________________
1、下面的推理题连名侦探柯南也被难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.
根据下列线索推理出这个三角形有关的角。
线索1：在△ABC中，∠B=∠C
；
线索2：它的一个外角是100?；
问题：它的各个内角各是多少度？
100°
B
C
A
100°
A
B
C
50°，50°，80°
或80°，80°，20°
答：它的各个内角分别为
拓展与思考1
2，有一次小明看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
度
B
C
D
A
G
M
H
E
F
360
拓展与思考2
求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数
国旗上的数学
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角
∴∠1=∠B+
∠E
同理∠2=∠A+∠D
在△CFG中
∠C+∠1+∠2=180?
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
180?
求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数
国旗上的数学
A
B
C
D
E
1
2
F
3
解:连接CD
因为∠3是?CDE的外角
所以∠3=∠1+∠2
因为∠3是?BFE的外角
所以∠3=∠B+∠E
所以∠1+∠2=∠B+∠E
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ACB+∠1+∠ACB+∠2
=∠A+∠ACD+∠ADC
=180°
国旗上的数学
2、三角形的一个外角的性质
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1、三角形的内角和180°
三角形内角和外角的性质
(1)三角形的一个外角与它相邻内角的关系是互为邻补角。
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3、三角形的外角的和等于360度。
小结
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三角形的外角
[教学目标]
1、理解三角形的外角；
2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
[重点难点]
三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？
共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，
∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即
，。
四、例题
〔投影3〕例
如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600。
五、课堂小结
1、什么是三角形的外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
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精品试卷·第
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《三角形的外角》同步练习3
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是(
)毛
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为(
)
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为(
)
A.90°
B.110°
C.100°
D.120°
4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是(
)
A.等腰直角三角形;
B.一般的等腰三角形;
C.等边三角形;
D.等腰钝角三角形
5.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于(
)
A.120°
B.115°
C.110°
D.105°
(1)
(2)
(3)
6.如图2所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是(
)
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;
B.∠2=∠5-∠A;
C.∠5=∠1+∠4;
D.∠1=∠ABC+∠4
二、填空题:(每小题3分,共18分)
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.如图3所示,∠1=_______.
3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
5.如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC
的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,
则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
6.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
三、基础训练:(共20分)
如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.
四、提高训练:(共20分)
如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,
求∠DAC的度数.
五、探索发现:(共20分)
如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,
且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.
六、中考题与竞赛题:(共4分)
(2004·吉林)如图所示,∠CAB的外角等于120°,
∠B等于40°,则∠C
的度数是_______.
《三角形的外角》同步练习3答案
一、1.C
2.C
3.C
4.C
5.B
6.C
二、1.1
2.120°
3.95
4.30°或75°
5.120°
30°
60°
6.120°
三、∠BOC=125°
四、∠DAC=24°
五、
(说明略)
六、80°.毛
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