(共12张PPT)
数学人教版八年级上册
第十一章
多边形的内角和5
【学习目标】
探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题。
【学习重、难点】
重点：掌握多边形的内角和公式。
难点：探索多边形的内角和公式。
【预习导学】
一、自学指导
1、自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和有公式的推导方法，完成下列填空。5分钟
①填写下列表格：
多边形
三角形
四边形
五边形
六边形
…
n边形
对角线条数
…
三角形个数
…
归纳总结：三角形的内角和为
度；任意四边形的内角和为
度；任意五边形的内角和等于
度；六边形的内角和等于
度；n边形的内角和等于
；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加
。
点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识（如图1、2）。
0
1
2
3
n-3
1
2
3
4
n-2
180
360
540
720
180
【预习导学】
2、自学2：自学教材P22－23例1、例2和探究，掌握多边形外角和应用。5分钟
如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于
度，六边形的外角和是
度......
归纳总结：n边形的外角和是
。
360
360
360?
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P24页练习题1、2、3题；
2、七边形的内角和
，十边形内角和是
，一个多边形的内角和等于1260°，那么它是
边形。
3、已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C
∶∠D=1∶2∶3∶4，则∠C=
。
4、求出正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数？
900?
1140?
九
108?
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究1
①一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？②一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究2
如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60?，AB与DE有怎样的位置关系？BC与FE有这种关系吗？
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
1、一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为
条。
2、一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
3、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数。
12
【点拨精讲】（3分钟）
1、已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数。
2、内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识。
【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
《多边形及其内角和》教案5
教学目标
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
教学重点
1.多边形的内角和公式．
2.多边形的外角和公式．
教学难点
多边形的内角和定理的推导．
教学过程
一、探究
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？
画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．
从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．
二、思考几个问题
1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，所以五边形的内角和为5×180°－2×180°＝（5－2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°－2×180°=（n－2）×180°．
分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5－1）×180°一180°＝（5－2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n－1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n－2）×180°．
三、例题
例1
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D=
360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A
点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°．
四、课堂练习
课本练习
1、2、3题．
习题11．3
第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容．
六、课后作业
习题11.3
第4、5、6题．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
《多边形及其内角和》同步练习5
基础过关作业
1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是(
)
A．80°
B．90°
C．170°
D．20°
2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是(
)
A．9
B．8
C．7
D．6
3．内角和等于外角和2倍的多边形是(
)
A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
4．六边形的内角和等于_______度．
5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．
6．如图，你能数出多少个不同的四边形？
7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？为什么？
8．求下列图形中x的值：
综合创新作业
9．(综合题)已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
10．(应用题)有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，所有代表队要打多少场比赛？
11．(创新题)如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
12．(1)(2005年，南通)已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为(
)
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
(2)(2005年，福建泉州)五边形的内角和等于_______度．
13．(易错题)一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
培优作业
14．(探究题)
(1)四边形有几条对角线？
五边形有几条对角线？
六边形有几条对角线？
……
猜想并探索：
n边形有几条对角线？
(2)一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？
15．(开放题)如果一个多边形的边数增加1，
那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？
数学世界
攻其不备
壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，
壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．
请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗(线段AB除外)？
答案:
1．A
点拨：∠B=360°-(∠A+∠C+∠D)=360°-280°=80°．故选A．
2．B
点拨：设这个多边形的边数为n，则(n-2)·180=1080．解得n=8．故选B．
3．B
点拨：设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n-2)·180=2×360．解得n=6．故选B．
4．720
5．144°；36°
点拨：正十边形每一个内角的度数为：=144°，
每一个外角的度数为：180°-144°=36°．
6．有27个不同的四边形．
7．解：四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．
因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，
则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．
若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，
所以四个内角可以都是直角．
8．解：(1)90+70+150+x=360．
解得x=50．
(2)90+73+82+(180-x)=360．
解得x=65．
(3)x+(x+30)+60+x+(x-10)=(5-2)×180．
解得x=115．
9．解：BE∥DF．
理由：∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°．
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．
∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=(∠ABC+∠ADC)=×180°=90°．
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF(同位角相等，两直线平行)．
10．解：n(n-3)=×10×(10-3)=×10×7=35(场)．
答：按此规定，所有代表队要打35场比赛．
点拨：问题类似于求多边形对角线的个数．
11．解：(5-2)×180°÷360°×12=1.5．
点拨：不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的内角和．
12．(1)C
点拨：设这个多边形的边数为n，
依题意，得(n-2)×180°=540°，解得n=5，故选C．
(2)540
点拨：(n-2)×180°=(5-3)×180°=540°．
13．C
14．解：(1)四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
……
n边形有条对角线．
(2)当n边形的边数增加1时，对角线增加(n-1)条．
点拨：从n边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引(n-3)条对角线，n个顶点共可引n(n-3)条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n边形的对角线条数为．
15．180°，n·180°．
数学世界答案:
是最短的路程．可用纸板做一个模型，沿AB剪开便可看出结论．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
