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《全等三角形的判定》教案5
教学目标：
会证明“角角边”定理，并能用“角角边”定理证明三角形全等的一些问题，进一步提高学生的逻辑思维能力。
教学重点：
能利用“角边角”定理推导出“角角边”定理。
教学过程：
一．复习导入：
1.
解释：SAS
ASA
2.
ASA，有2角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
3.讨论：
已知：∠
B=∠E，
BC=EF，∠C=∠F(ASA)
求证：△ABC≌△DEF
(1).假设所给的条件不是ASA，比如∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，我们能否证明所缺的条件∠C=∠F？
(2).假设所给的条件不是ASA，比如∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF，我们能否证明所缺的条件∠B=∠E？
∠A=∠D
∠B=∠E
(AAS)
∠
B=∠E
BC=EF
(ASA)
BC=EF
∠A=∠D
∠C=∠F
∠C=∠F
(AAS)
BC=EF
以上三组条件中的任意一组都可证明△ABC≌△DEF(我们是否可以增加一条三角形全等的公理？)
二，新授：
推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
要证两个三角形全等，只要证明它们的两组对应角分别相等，一组对应边相等即可
(2种形式：ASA，AAS)
师：(我们说写字母时要按顺序排好，只有以上2种顺序)
例：
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D。
求证：AC=AD。
证明：在△DAB和△CAB中
∠C=∠D
∠1=∠2
∠ABD=∠ABC
∠1=∠2
AB=AB
∠C=∠D
AB=AB
∠ABD=∠ABC
AB=AB
∴△DAB≌△CAB
要证两个三角形全等，只要证明它们的两组对应角分别相等，一组对应边相等即可
例2
已知：如图△ABC≌△A`B`C`，AD，A`D`分别是△ABC和△A`B`C`的高。
求证：AD=
A`D`
证明：∵△ABC≌△A`B`C`，
∴AB=
A`B`，∠B=∠B`(全等三角形对应边，对应角相等)
∵AD，A`D`分别是△ABC，△A`B`C`的高(已知)
∴∠ADB=∠A`D`B`=90°
在△ABD和△A`D`B`中
∠B=∠B`
∠ADB=∠A`D`B`
AB=
A`B`
∴△ABD≌△A`D`B`(AAS)
∴AD=
A`D`(全等三角形对应边相等)
总结：全等三角形对应高相等
练习：P38/1
(1)√(2)√
(3)判断
有2个角和一边对应相等的2个三角形全等×
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
小结：1，ASA，AAS的异同点
2，有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AA
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《三角形全等的判定》同步练习5
基础巩固
一、填空题
1．能够________的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相_______的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把________顶点的字母写在_____的位置上．
2．如图1，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形
对．
图1
3．如图2，△ABC≌△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=
，∠DAB=
．
图2
4．如图3，△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=______，CD=______．
图3
5．观察下列图形的特点：
图4
有几组全等图形？请一一指出：
．
6．如图5所示，
已知△AOB≌△COD，△COE≌△AOF，
则图中所有全等三角形中，
对应角共有______对，共有______组对应线段相等．
二、选择题
7．下列说法正确的个数有(
)
①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC≌△DEF，
△DEF≌△MNP，
则△ABC≌△MNP．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8．下列说法中不正确的是(
)
A．一个直角三角形与一个锐角三角形一定不会全等
B．两个等边三角形是全等三角形
C．斜边相等的两个等腰直角三角形是全等三角形
D．若两个钝角三角形全等，
则钝角所对的边是对应边
9．如图6所示，若B、E、F、C在同一条直线上，
AB∥CD，
AE∥FD，
若△ABE与△CDF全等，
指出图中相等的线段和相等的角．
10．如图7所示，
已知△ABE≌△ACD，
指出它们的对应边和对应角．
11．下列图形中，
①平行四边形；
②正方形；
③等边三角形；
④等腰三角形．
能用两个全等的直角三角形拼成的图形是(
)
A．
①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①④
三、解答题
12．如图8已知△ABD≌△ACD，
那么AD与BC有怎样的位置关系？
为什么？
13．
如图9，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA的延长线上一点，AF＝．回答下列问题：
(1)△ABE与△ADF全等吗？
(2)在图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，可以使△ABE变到△ADF的位置．
(3)猜想并说明图中线段BE与DF之间的关系？
综合提高
一、填空题
14．若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，则∠A＝
度．
15．如图10，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α=
．
图10
图11
16．如图11，△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，则∠DFE=
°，EC=
．
17．已知△ABC≌△DEF，且∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，△DEF中最大边长是
，最大角是
度．
二、选择题
18．如图12，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=(
)．
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
图12
图13
19．如图13，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(
)．
A．∠A=∠1+∠2
B．∠A与∠1+∠2
C．∠A与∠1+∠2
D．∠A与∠1+∠2
20．如图14，已知△ABC≌△CDA，下列结论：(1)AB=CD，BC=DA；(2)∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD；(3)AB//CD，BC//DA．其中正确的结论有(
)
个．
A．0
B．1
C．2
D．3
图14
图15
21．如图15，△ABC≌△BAD，
AC与BD是对应边，AC=8cm，AD=10cm，DE=CE=2cm，那么AE的长是(
)
A．8cm
B．10cm
C．2cm
D．不能确定
22．在△ABC中，∠A=∠C，若与△ABC全等的三角形有一个角等于96°，那么这个角在△ABC中对应的角是(
)
A．∠A
B．∠B
C．∠C
D．∠A或∠C
三、解答题
23．
如图16是某房间木地板的一个图案，其中AB＝BC＝CD＝DA，BE＝DE＝DF＝FB，图案由有花纹的全等三角形木块(阴影部分)和无花纹的全等三角形木块(中间部分)拼成，这个图案的面积是0．05cm2，若房间的面积是23m2，问最少需要有花纹的三角形木块和无花纹的木块各多少块？
24．如图17，△ABC≌△FED，AC与DF是对应边，∠C与∠D是对应角，则AC//FD成立吗？请说明理由．
25．如图18，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=
=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
图18
拓展探究
一、解答题
26．如图19所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△，交AC于点D，已知∠=90°，求∠A的度数．
图19
27．任意画一个等边三角形，你能把它分成2个全等三角形吗？若分成3个、4个、9个全等三角形呢？
28．如图20，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，已知∠BAF=60°，求∠DAE的度数．
参考答案
基础巩固
一、填空题
1．
互相重合
、
重合
、
对应
、
对应
2．
3
3．
∠BAC
、
∠EAC
4．
5
、
4
5．
1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10
6．
7对对应角
、
6对对应边
．(提示：对应角为：∠A与∠C；∠B与∠D；∠AOB与∠COD；∠BFO与∠DEO；∠AFO与∠CEO；∠BOF与∠DOE；∠AOF与∠COE；对应边为：AB与CD；BO与DO；AO与CO；OF与OE；BF与DE；AF与CE．)
二、选择题
7．C．(提示：正确的说法是③和④，①和②都是错误的．)
8．C．(提示：斜边相等的两个直角三角形可以完全重合，是全等三角形)
9．图中相等的线段有：
AB=CD，
AE=DF，
BE=CF，
BF=CE；
相等的角有：
∠A=∠D，∠B=∠C，∠AEB=∠CFD，∠AEC=∠DFB．
10．△ABE≌△ACD对应边为：AB与AC；AE与AD；BE与CD；对应角为：∠ABE＝∠ACD；∠AEB＝∠ADC；∠BAE＝∠CAD．
11．C．(提示：拼图如下：
三、解答题
12．
AD⊥BC．这是因为：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等)．
∵∠ADB+∠ADC=180°(平角定义)，∴∠ADB=90°．
13．(1)△ABE≌△ADF．其理由如下：∵AF＝＝AE，∠FAD＝∠EAB，AD＝AB，∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)
将△ABE绕点A旋转90°后可变到△ADF处．(3)BE＝DF且BE⊥DF．[]
∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF(全等三角形的对应边相等)．延长BE交DF于G点，
∵∠FDA＝∠EBA，且∠F＋∠FDA＝90°，∴∠F＋∠EBA＝90°，∴∠FGB＝90°，即BE⊥DF．
综合提高
一、填空题
14．
32
15．
80°
16．
100
、
2
17．
10
、
90
二、选择题
18．D
19．B
20．D
21．A
22．B
三、解答题
23．分析：若将四边形ABCD作为一个单位看，该图案中由4个有花纹的三角形和两个无花纹的三角形组成，故要求需木块的数量，我们可以先求出需像四边形ABCD这样的图案的块数．
解：铺设整个房间需要像四边形ABCD这样的图案的块数为：23÷0．05＝460(块)
而四边形ABCD是由4块有花纹的和2块无花纹组成．
故 需要有花纹的木块的数量为：460×4＝1840(块)
需要无花纹的木块的数量为： 460×2＝920(块)．
[注]要解决此问题，首先要观察图形的组合规律，由于无法知道有花纹木块和无花纹木块各自的面积，故应结合全等三角形的面积都相等，抓住四块有花纹的木块和2块无花纹木块的总面积进行整体考虑．
24．解：AC//FD成立．
因为AC与FD为对应边，所以∠ABC与∠FED为对应角．
因为∠C与∠D为对应角，所以∠A与∠F为对应角．
又因为△ABC≌△FED，所以∠A=∠F，从而AC//FD．
25．解：因为△ABC≌△ADE，所以∠DAE=∠BAC=(∠EAC-∠CAD)=55°．
从而∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB
+∠B
=10°+55°+25°．
∠DGB=∠DFB-∠D
=90°-25°=65°．
拓展探究
一、解答题
26．解：因为△是△ABC旋转得到的，所以△≌△ABC，所以∠ACB=∠．又因为△ABC顺时针绕点C旋转，所以∠=35°．
因为∠=∠ACB-∠，∠=∠-∠ACB，所以∠=∠=35°．
又因为∠=90°，所以∠A=∠=90°-35°=55°．
27．解：如图，
28．解：因为长方形ABCD中，∠BAD=90°，所以∠DAF=∠DAB-∠BAF=30°，
又因为△AFE是由△ADE折叠而成，所以△AFE≌△ADE，故
∠DAE=∠FAE=∠DAF=15°．
D
E
C
O
A
F
B
图5
D
C
B
A
E
F
图6
A
D
B
E
C
图7
A
B
D
C
图8
A
B
C
D
E
F
图9
A
B
C
D
E
F
图16
图17
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数学人教版八年级上册
第十二章
三角形全等的判定5
①AB=DE
②
BC=EF
③
CA=FD
④
∠A=
∠D
⑤
∠B=∠E
⑥
∠C=
∠F
A
B
C
D
E
F
1、
什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫
全等三角形。
2、
全等三角形有什么性质？
知识回顾
情境问题:
小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办?
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
探究：
2.给出两个条件：
①一边一内角：
②两内角：
③两边：
30°
30°
30°
30°
30°
50°
50°
2cm
2cm
4cm
4cm
可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等。
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
已知三角形三条边分别是
4cm，5cm，7cm，画出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？
探究新知
思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
AB=DE
BC=EF
CA=FD
A
B
C
D
E
F
用
数学语言表述：
在△ABC和△
DEF中
∴
△ABC
≌△
DEF（SSS）
{
例1.
如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。
求证：△
ABD≌
△
ACD
分析：要证明△
ABD≌
△
ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
应用迁移
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
1.写出在哪两个三角形中
2.摆出三个条件用大括号括起来
3.写出全等结论
证明的书写步骤：
归纳
1.已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC
≌△
FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
解：要证明△ABC
≌△
FDE，还应该有AB=DF这个条件
∵
DB是AB与DF的公共部分，且AD=BF
∴
AD+DB=BF+DB
即
AB=DF
练一练
2.
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB
≌
△
ADC。
证明：∵BD=CE
∴
BD-ED=CE-ED，即BE=CD。
在AEB和ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴
△AEB
≌
△
ADC
C
A
B
D
E
{
证明：在△ABD和△CDB中
D
A
B
C
AB=CD
AD=CB
BD=DB
∴△ABD≌△ACD（SSS）
（已知）
（已知）
（公共边）
∴
∠
A=
∠
C
（全等三角形的对应角相等）
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
4、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
解：有三组。
在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；
∵BD=CD，BH=CH，DH=DH
∴△DBH≌△DCH（SSS）
在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△ABH和△ACH中
解：
①∵E、F分别是AB，CD的中点（
）
又∵AB=CD
∴AE=CF
在△ADE与△CBF中
AE=
=
∴△ADE≌△CBF
(
)
∴AE=
AB
CF=
CD（
）
1
2
1
2
补充练习：
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.
①△ADE≌△CBF
②∠A=∠C
线段中点的定义
CF
AD
AB
CD
SSS
△ADE≌△CBF
全等三角形对应角相等
已知
A
D
B
C
F
E
CB
②
∵
∴
∠A=∠C
(
)
=
BC
BC
△DCB
BF=DC
或
BD=FC
A
B
C
D
解：
△ABC≌△DCB
理由如下：
AB
=
CD
AC
=
BD
=
△ABD
≌
（
）
S
S
S
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD
，
还需要条件
?
A
E
B
D
F
C
小结
2.
三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；
3.书写格式：①准备条件；
②三角形全等书写的三步骤。
1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
习题11.2
复习巩固1、2．
作业布置
谢谢
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