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《等边三角形》同步练习1
一、选择题
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（
）
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（
）
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm
5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（
）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
二、填空题
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．
8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
三、解答题
10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．
四、探究题
13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
《等边三角形》同步练习1答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．B
6．60°
7．60°
8．三；三边的垂直平分线
9．1cm
10．60°或120°
11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中CD=2AD，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD
12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．
又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；
②证明△BCF≌△ACH；
③△CFH是等边三角形．
13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，
再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
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数学人教版八年级上册
第十三章
等边三角形1
数学人教版八年级上册
第十三章
等边三角形1
数学人教版八年级上册
第十三章
本课说明
在学习了轴对称和等腰三角形的性质和判定的基础上，探索等边三角形的性质和判定方法，探究直角三角形的一条特殊性质，它反映了直角三角形中的边角关系．本节课是等边三角形性质的简单运用．
学习目标：
1．探索等边三角形的性质和判定．
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明．
3．探索含30°角的直角三角形的性质．
4．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它
进行有关的证明和计算．
学习说明
学习说明
学习重点：
探索等边三角形的性质与判定．
探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此
图形的名称吗？
创设情境，导入新知
三条边都相等的三角形是等边三角形．
创设情境，导入新知
问题 满足什么条件的三角形是等边三角形？
等边三角形
A
B
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形
只有两条.
创设情境，导入新知
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区别和联系？
A
B
C
A
B
C
思考 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能
得到什么结论？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
细心观察，探索性质
问题 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
？
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应
的结论吗？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应
的结论吗？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
？
相等
每个角都等于60°
相等
每个角都等于60°
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应
的结论吗？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
是（三线合一）
三条对称轴
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于60°”这一结论进行证明.
细心观察，探索性质
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ BC
=AC，BC
=AB．
∴ ∠A
=∠B，∠A
=∠C
．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
．
∵ ∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴ ∠A
=60°．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
细心观察，探索性质
已知：△ABC
是等边三角形
求证：∠A
=∠B
=∠C
=60°．
A
B
C
符号语言：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
细心观察，探索性质
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等
于60°.
A
B
C
细心观察，探索性质
思考 利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.
A
B
C
思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等
边三角形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三
角形．
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角
形？
细心观察，探索性质
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以
外，能否利用角来判定呢？
细心观察，探索性质
请你将得到的这两个命题进行证明.
等边三角形
等腰三角形
一般三角形
证明：∵ ∠A
=∠B，∠B
=∠C
，
∴ BC
=AC，
AC
=AB．
∴ AB
=BC
=AC．
∴ △ABC
是等边三角形．
已知：在△ABC
中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC
是等边三角形．
细心观察，探索性质
C
A
B
细心观察，探索性质
已知：在△ABC
中，AC
=BC且∠A
=60°．求证：
△ABC是等边三角形．
证明：略．
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ ∠A=∠B
=∠C
，
∴ △ABC
是等边三角形．
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
C
A
B
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ BC
=AC，∠A
=60°，
∴ △ABC
是等边三角形．
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形．
细心观察，概括归纳
判定等边三角形的方法：
从边的角度：等边三角形的定义；
从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED．
∴ ∠A=∠ADE
=∠AED．
∴ △ADE
是等边三角形．
动脑思考，例题解析
例4 如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC，
分
别交AB，AC
于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形.
追问 本题还有其他证法吗？
A
B
C
D
E
活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能
拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的
理由．
活动操作，探索性质
A
B
D
C
A
B
C
D
BC
=
AB．
活动操作，探索性质
问题 你能借助这个图形，找到含30°角的直角
△ABC
的直角边BC
与斜边AB
之间有什么数量关系吗？
A
B
D
C
思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
活动操作，探索性质
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证明：在△ABC
中，
∵ ∠C
=90°，∠A
=30°，
∴ ∠B
=60°．
延长BC
到D，使BD
=AB，
连接AD，
则△ABD
是等边三角形．
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=
30°.
求证：BC
=
AB．
活动操作，探索性质
A
B
C
D
∴ BC
=
BD
=
AB
．
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=
30°.
求证：BC
=
AB．
追问：你还能用其他方
法证明吗？
活动操作，探索性质
证明：由等边三角形的性质可知，
AC
也是BD
边上的中线，
A
B
C
D
动手操作，探索性质
另证：作∠BCE
=60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE
=90°-60°=30°．
在△ABC
中，
∵ ∠ACB=90°，∠A
=30°，
∴ ∠B
=60°．
在△BCE
中，
∵ ∠BCE=60°，∠B
=60°，
∴ △BCE
是等边三角形．
∴ BC
=BE
=CE．
E
A
B
C
动手操作，探索性质
∴ BC
=BE
=AE
=
AB．
另证：
在△ACE
中，
∵ ∠A=30°，∠ACE
=30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE
=AE．
∴ BC
=BE
=CE
=AE．
E
A
B
C
符号语言：
∵ 在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
动手操作，探索性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
∴ BC
=
AB．
思考 图中BC、DE
分
别是哪个直角三角形的直角
边？它们所对的锐角分别是
多少度？
性质运用
例5 如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，
∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A
=30°，
∴ BC
=
AB，DE
=
AD．
又 AD
=
AB，
∴ DE
=
AD
=1.85（m）
．
∴ BC
=3.7（m）．
答：立柱BC
的长是3.7
m，DE
的长是1.85
m．
性质运用
例5
如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，
∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
随堂练习
练习 Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠B
=2∠A，
∠B
和∠A
各是多少度？边AB
与BC
之间有什么关系？
随堂练习
教材80页练习的第1、2题．
（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；
（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？
共有几种判定等边三角形的方法？
（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．
（4）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决
哪些问题？需要注意哪些问题？
课堂小结
布置作业
教科书习题13.3第12、14、15题．
谢谢
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《等边三角形》教案
教学目标
1．探索等边三角形的性质和判定．
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
3．探索含30°角的直角三角形的性质．
4．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
教学重难点
探索等边三角形的性质与判定．
探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
教学过程
一、问题导入
问题：满足什么条件的三角形是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
二、课本精讲
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条．
问题：等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
思考：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明．
已知：△ABC是等边三角形．求证：∠A=∠B=∠C=60°．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
符号语言：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°
思考：利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴．
问题：等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
思考：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
思考：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．
请你将得到的这两个命题进行证明．
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形．
判定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形．
例4．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
思考：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
思考：这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
活动：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
问题：你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC的直角边BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
问题：请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来．
思考：这个命题是真命题吗？请进行证明．
已知：如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC=AB．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB．
例5．如图是屋架设计图的一部分，
点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
三、巩固提高
教科书80页练习1、2．教科书81页练习．
四、课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．（4）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
五、课后作业
教科书习题13．3第12、14、15题．
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