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《等边三角形》教案
学习目标
1．了解等边三角形是特殊的等腰三角形；
2．理解等边三角形的性质与判定；
3．理解含30°锐角的直角三角形的性质；
4．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题．
教学重难点
探索等边三角形的性质与判定．
探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
教学过程
一、温故知新
在△ABC中，AB=AC，
（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；
（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________；
（3）如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________．
二、自主探究，合作展示
问题：
1．把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。
三、新知应用
如图（1），在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．
例4．如图（2），△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．
求证：△ADE是等边三角形．
探究：如下图，将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
你能用所学的知识验证以上结论吗？
如图（3），
△ADC是△ABC是轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=60°，从而△ABD是一个等边三角形．再由AC⊥BD，可得BC=CD=AB，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例5．如图（4），
是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7．4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
四、双基检测
1、等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么？
2、如图（5），等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
3、Rt△ABC中，∠C
=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
五、课后作业
教材习题13．3第12、13、15题．
图（1）
图（2）
B
A
C
D
A
D
B
C
图（3）
图（4）
图（5）
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《等边三角形》同步练习2
1．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．
求证：AN=BM．
2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10
cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？
3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
4.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=
15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
5.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
6．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=AB．
7.已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
8.
已知：如图（2），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
9．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？
10．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
11.如图，△ABC是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F，求证：BE=CF．
12．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
13．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
14．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．
求证：△ADE是等边三角形．
《等边三角形》同步练习2答案
1.证明：△ACM与△CBN是等边三角形．
∴∠ACM=∠BCN．
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，
即∠ACN=∠MCB．
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
2.解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10
cm．
∴BC=AB=5
cm．
∵CB1⊥AB，
∴∠B+∠BCB1=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCB1=∠A=30°．
在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5
cm．
∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．
∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．
∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．
3.证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
4.解：∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
5.答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．
6.证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°．
∴BD=BC．
∴BD=AB．
7.已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∴AD=BD，BD=CD．
∴CD=2AD．
8.
已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
∴BC=BD．
又∵BC=AB，
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
9.答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．
10.答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．
11.证明：连接DE，DF，则BE=DE，DF=CF．
由△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．
同理∠DFE=60°，
故△DEF是等边三角形．
所以DE=DF，因而BE=CF．
12.解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）．
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．
∴∠BAD=∠CAD=50°．
13.证明：∵△ABC是等边三角形，且BD是中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°．
∴∠DBC=∠E．
∴DB=DE．
14.证明：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠ADE=∠AED．
∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．
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数学人教版八年级上册
第十三章
回顾
我们曾经见过什么特殊三角形？
一般三角形
一般三角形
两条边相等
等腰三角形
等腰三角形
底≠腰
底＝腰
等边三角形
等边三角形
特殊的等腰三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
又叫做正三角形.
猜想一：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
同理
∠A＝∠B
∴∠A＝∠B＝∠C
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
猜想一：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB＝AC＝BC.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
性质
1
猜想二：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：∠A＝∠B＝∠C.
求证：AB＝BC＝AC.
A
B
C
证明：∵∠A＝∠B
∴AC＝BC
同理
AB＝AC
∴AB＝BC＝AC
猜想二：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：∠A＝∠B＝∠C.
求证：AB＝BC＝AC.
A
B
C
判定
1
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝BC＝AC
猜想三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（1）已知：AB＝AC，∠A＝60°.
求证：AB＝BC＝AC.
A
B
C
证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠B＋∠C＝180°－∠A
∴∠B＝∠C＝1/2（180°－60°）＝60°
∴∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝BC＝AC
猜想三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（2）已知：AB＝AC，∠B＝60°.
求证：AB＝BC＝AC.
A
B
C
证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C＝60°
∵∠A＝180°－∠B－∠C
∴∠A＝180°－60°－60°＝60°
∴∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝BC＝AC
猜想三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（2）已知：AB＝AC，∠B＝60°.
求证：AB＝BC＝AC.
A
B
C
判定
2
①∵AB＝AC，∠A＝60°
∴AB＝BC＝AC
②∵AB＝AC，∠B＝60°
∴AB＝BC＝AC
例4：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E.
求证：△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C
又∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C
∴∠A＝∠ADE＝∠AED
∴△ABC是等边三角形
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起.
你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
A
B
C
D
30°
BC＝1/2AB
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，已知△ABD是等边三角形，AC是它的高.
求证：BC＝1/2AB.
C
A
B
D
证明：∵△ABD是等边三角形
∴AB＝AD＝BD
又∵AC是△ABD的高
∴BC＝1/2BD，∠BAC＝30°
∴BD＝1/2AB
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
含30°的直角三角形的性质
在Rt△ABC中
∵∠A＝30°，∠B＝90°
∴BC＝1/2AC（或AC＝2BC）
A
B
C
30°
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4
m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？
A
B
C
D
E
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4
m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？
A
B
C
D
E
解：∵BC⊥AC，DE⊥AC
∴∠ACB＝∠AED＝90°
又∵∠A＝30°
∴BC＝1/2AB，DE＝1/2AD
∵D是AB的中点
∴AD＝1/2AB
∴DE＝1/4AB
又∵AB＝7.4
m
∴BC＝1/2×7.4＝3.7（m），
DE＝1/4×7.4＝1.85（m）
教材80页练习第1、2题
教材81页的练习
教材习题13.3第12、14、15题．
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