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《等边三角形》同步练习3
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（
）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．在射线、角和等腰三角形中，它们（
）轴对称图形
A．都是
B．只有一个是
C．只有一个不是
D．都不是
3．如下图：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（
）个等腰三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（
）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．非等腰三角形
D．等边三角形
5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（
）
A．70° B．20°或70°
C．40°或70°
D．40°或20°
二、填空题（每题6分，共30分）
1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________
。
2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________
3．如下图：△ABC
中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE=
______________。
4．等腰三角形中有两个角的比为1：10，则顶角的度数是__________________。
5．如下图：等边△ABC，D是形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
如左图：直线MN及点A，B。
在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
1．已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。
求证：HB=HC。
2．已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：。
3．已知：如图：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。
求：∠C的度数。
选作题：
已知：如图：△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC。
求证：AD⊥BC。
《等边三角形》同步练习3答案
一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案
1．C
2．A
3．C
4．D
5．B
二、填空题（每题6分，共30分）
1．50°或80°
2．6
3．10，15°
4．150°或
5．30
三、作图题（6分），只画图，不写作法。
四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等边对等角）
∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中两个锐角互余）
同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，
∴HB=HC（同一△中等角对等边）
2．证明：∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°
在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠2=∠1
∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°
∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°
∵BM⊥AD，∴（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）
3．解：延长DB到E，使BE=AB，连结AE，则∠1=∠E。
∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E
∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC
∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120°
∴2∠C+∠C=180°-120°=60°，
∴∠C=20°
答：∠Ｃ的度数是20°
选作题
证明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N
∵∠1=∠2，∴PM=PN
在Rt△BPM和Rt△CPN中
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）
∴∠ABP=∠ACP
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。
∴AB=AC，∵∠1=∠2
∴AD⊥BC
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《等边三角形》教案3
教学目标
1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
3．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
4．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
等边三角形判定定理的发现与证明．
教学难点
1．等边三角形判定定理的发现与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教具准备
多媒体课件，投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．
（演示课件）
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
（教师应给学生自主探索、思考的时间）
[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．
[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．
[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．
（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，教师可让同学代表发表自己的看法）
[生丁]我不同意这个同学的看法，因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!
[师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可以在小组内交流自己的看法．
Ⅱ．导入新课
探索等腰三角形成等边三角形的条件．
[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．
[师]你能给大家陈述一下理由吗？
[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60°，等腰三角形的两个底角的和就是180°-
60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．
[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．
[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．你能用更简洁的语言描述这个结论吗？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）
[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：
（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．
[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，我们鼓掌表示对他们的鼓励．
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
（投影仪演示学生证明过程）
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC（等角对等边）．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AC（等角对等边）．
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．
（演示课件）
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．
（演示课件）
[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=
60°，AP=BP=200m，他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？
分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，由本节课探究结论知△APB为等边三角形．
解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，
所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．
于是∠PAB=∠PBA=∠APB．
从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．
Ⅲ．随堂练习
课本练习
1、2．
板书设计
一、探索等边三角形的性质及判定
问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形
二、等边三角形的性质及判定
三、应用例题讲解
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．
性质
判定的条件
等腰三角形（含等
边三角形）
等边对等角
等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
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数学人教版八年级上册
第十三章
数学人教版八年级上册
第十三章
【合作复习】
1．等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的
相等；
(2)等腰三角形
、
、
__________互相重合；
2．等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形---------三条边都
的三角形，
这样的三角形叫做等边三角形。
两个底角
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高
相等
【自主学习】
思考：(1)把等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等)用到等边三角形，能得到什么结论？
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于600.
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ BC
=AC，BC
=AB．
∴ ∠A
=∠B，∠A
=∠C
．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
．
∵ ∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴ ∠A
=60°．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
细心观察，探索性质
已知：△ABC
是等边三角形，求证：∠A
=∠B
=∠C=60°
A
B
C
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于60°”这一结论进行证明.
符号语言：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
细心观察，探索性质
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等
于60°.
A
B
C
【自主学习】
思考：
(2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
(3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是
等边三角形吗？
细心观察，探索性质
请你将得到的这两个命题进行证明.
等边三角形
等腰三角形
一般三角形
[]
证明：∵ ∠A
=∠B，∠B
=∠C
，
∴ BC
=AC，
AC
=AB．
∴ AB
=BC
=AC．
∴ △ABC
是等边三角形．
已知：在△ABC
中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC
是等边三角形．
细心观察，探索性质
C
A
B
细心观察，探索性质
已知：在△ABC
中，AC
=BC且∠A
=60°．求证：
△ABC是等边三角形．
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ ∠A=∠B
=∠C
，
∴ △ABC
是等边三角形．
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
C
A
B
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ BC
=AC，∠A
=60°，
∴ △ABC
是等边三角形．
归纳：
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于600.
等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED．
∴ ∠A=∠ADE
=∠AED．
∴ △ADE
是等边三角形．
动脑思考，例题解析
例4 如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC，
分
别交AB，AC
于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形.
追问 本题还有其他证法吗？
A
B
C
D
E
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠ABC
=∠ACB
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC
=∠ADE，
∠ACB
=∠AED.
∴ ∠A
=∠ADE
=∠AED.
∴ △ADE
是等边三角形.
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E
在边AB、AC
的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠BAC
=∠B
=∠C
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠D，∠C
=∠E．
∴ ∠EAD
=∠D
=∠E．
∴ △ADE
是等边三角形．
A
D
E
B
C
[]
(1)本节课学习了等边三角形的性质和判定；
(2)等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？
共有几种判定等边三角形的方法？
(3)结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．
课堂小结
谢谢
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