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《等腰三角形》教案
教学目标
了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；
会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题；
理解等腰三角形的判定方法；
会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
教学重难点
探索并证明等腰三角形性质．
理解和运用等腰三角形的判定定理．
教学过程
一、温故知新
1．下列图形不一定是轴对称图形的是（）
A．圆B．长方形C．线段D．三角形
2．怎样的三角形是轴对称图形？
二、自主探究合作展示
1．操作，实践
取一张长方形的纸片，剪出等腰三角形纸片，照图折叠，
找出其中重合的线段和角，填入下表：
问题：根据上表你能得出哪些结论？将你的结论与同学交流．
问题：你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？
2．新知应用
填空：（1）如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时
∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____；
∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____；
∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____．
（2）等腰三角形一个底角为70°，它的顶角为______．
（3）等腰三角形一个顶角为70°，它的另外两个角为______．
例1：如图（2）所示，
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=______=______=2______．再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
思考：如图，
位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO中，∠A=∠B求证：AO=AO
归纳：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
例2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为∠1=∠2，所以可设法找出∠B．∠C与∠1．∠2的关系．
例3．已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
三、双基检测
1．如图所示，
△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
2．如图，
在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
3．如图（5），
∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
4．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
5．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．
四、课后作业
教材习题13．3的第1、2、3、4题．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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数学人教版八年级上册
第十三章
等腰三角形2
如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展
开，得△ABC
实践观察，认识三角形
A
C
D
B
AC和AB有什么关系？这个三角形有什么特点？
探索:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
认识等腰三角形
重合的线段
重合的角
AB和
AC
∠B和
∠C
AD
和AD
∠BAD和∠CAD
BD
和BC
∠BDA和∠CDA
A
C
D
B
探索等腰三角形性质
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中相等的线段和角.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
性质1：等腰三角形的两底角相等.（简写成“等边对等角”
）
C
B
Ａ
在△ABC中，
∵
AC=AB（
已知
）
∴
∠B=∠C
（
等边对等角）
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.（简称“三线合一”
）
1
等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线
(顶角平分线，底边上的高)所在直线
在△ABC中，AB
=AC，
点
D在BC上
1、∵AD
⊥
BC，垂足是D
∴∠
1
=
∠
2
，
BD=CD
2、∵AD是中线，
∴
AD
⊥
BC
，∠
1
=∠2
.
3、∵AD是角平分线，
∴
AD
⊥
BC
，
BD
=
CD
A
B
C
D
⌒
⌒
1
2
1
2
证明性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
.
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=?C
证明:在△ABC中，AB=AC，作底边
BC的中线AD，
在
△
BAD
与△
CAD
中
∵
AB=___
BD=___
AD=___
∴
△
BAD
≌△
CAD(
)
∠B=
___
AC
∠C
CD
AD
SSS
A
B
C
D
等腰三角形性质定理的证明
证明性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边
上的高互相重合.（简称“三线合一”
）
思考：观察证明性质1的图形，除了得到∠B=?C，还可以得到另外
的角相等吗？可以证明什么？
例1.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△
ABC各角的度数.
（想一想：由题目条件中相等的边，可以转化成哪些相等的角？）
解:AB=AC，BD=BC=AD，
∠
ABC=
∠
C=
∠
BDC
∠
A=
∠
ABD(等边对等角)
设∠
A=x0，则∠
BDC=
∠
A+
∠
ABD=2x0
从而∠
ABC=
∠
C=
∠
BDC=2x0
在△
ABC中
∠
A+
∠
ABC+
∠
C=x0+2x0+2x0=1800.
解得x=360
在△
ABC中，
∠
A=360
∠，ABC=
∠
C=720
B
C
A
D
分析：类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AC，AB为边的两三角形，并证明它们全等.
A
C
B
证明：过点A作AD⊥BC于D.
在△ABD与△ACD中，
∠B=
∠C，
∠ADB=
∠ADC=90°，
AD=AD，
∴△
ABD
≌△
ACD(AAS)，
∴AB=AC.
D
①如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”.
②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
等腰三角形的判定定理：
例2
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
E
D
C
B
A
1
2
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可以先证明___________.
证明：∵AD
∥BC，
∴∠1=∠B(
)，
∠2=∠C(
).
又∵∠1=∠2，
∴
∠B=∠C，
AB=AC(
).
∠B=∠C
例题归纳：
角平分线、平行线就能构成等腰三角形.
反过来，角平分线、平行线、等腰三角形这三个条件中，只要满足其中两个条件，就能得出第三个结论.
如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
B
C
A
D
1
2
解：∠ABC=180
°-∠A-∠C.
∠ABC=180
°-
36°-72°=
72°.
∵∠DBC=36°，
∴
∠2=72°-
36°=
36°.
∴
∠1=∠2+
∠A
=
36°+
36°
=72°.
试一试！
反馈练习
55o、55o
70o、40o
55o、55o或70o、40o
1、已知等腰三角形的顶角是70o，则它的其它两角的度数是
.
2、已知等腰三角形的底角是70o，则它的其它两角的度数是
.
3、已知等腰三角形的一个内角是70o，则它的其它两角的度数是
.
4.已知等腰三角形的一个内角是110°则它的其它两角的度数是
.
35°
，35°
练习：
△
ABC是等腰直角三角形（AB=AC，
∠
BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠
B，
∠
C，
∠
BAD，
∠
DAC的度数，图中有哪些相等的线段？
练习：在△
ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=26°，
求∠
B和∠
C的度数
B
A
C
D
B
D
C
A
1、求有关等腰三角形的问题，作顶角平分线、底边中线，底边的高是常用的辅助线；
2、熟练掌握求解等腰三角形的顶角、底角的度数；
这节课我们学习了什么？
3、通过这节课的学习，你学会了几种判断等腰三角形的方法？
4、你会比较等腰三角形的性质定理和判定定理的联系与区别吗？
教材第77页第11题，79页练习第4题
.
教材第82页习题13.3第2、3、4、5题.
谢谢
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《等腰三角形》同步练习2
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于(
)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(
)
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是(
)
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是(
)
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm
5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是(
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
二、填空题
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．
8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
三、解答题
10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．
四、探究题
13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．(提示：连接CE)
答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．B
6．60°
7．60°
8．三；三边的垂直平分线
9．1cm
10．60°或120°
11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中CD=2AD，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD
12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．
又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；
②证明△BCF≌△ACH；
③△CFH是等边三角形．
13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，
再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
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