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《最短路径问题》同步练习5
(一)选择题
1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8
cm，AC=6
cm，BC=10
cm，则可知最长边上的高是
A.48
cm
B.4.8
cm
C.0.48
cm
D.
5
cm
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是
A.b2=c2－a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是
A.5，6，
7
B.1，4，
9
C.5，12，13
D.5，11，12
4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是
A.42
B.52
C.7
D.52或7
5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2
m，m2+1(m＞1)那么
A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B.△ABC是直角三角形，且斜边长2
为m
C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定
D.△ABC不是直角三角形
(二)解答题
1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.
3.问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.
《最短路径问题》同步练习3答案
(一)
1.
B
2.
D
3.
C
4.D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)
5.
A
(二)
1.解：由已知得
(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0
(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0
由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.
所以a－5=0，得a=5；
b－12=0，得b=12；
c－13=0，得c=13.
又因为132=52+122，即a2+b2=c2
所以△ABC是直角三角形.
2.解：∵
a2c2－b2c2=a4－b4
①
∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)
②
∴c2=a2+b2
③
∴△ABC是直角三角形
3.③
a2－b2可以为零
△ABC为直角三角形或等腰三角形
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《最短路径问题》教案5
教学目标
教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.
2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.
2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点：
教学重点
探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.
教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学过程
1、创设问题情境，引入新课：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.
所以至少需13米长的梯子.
2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B
点的最短路线是什么?你画对了吗?
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).
我们不难发现，刚才几位同学的走法：
(1)A→A′→B；
(2)A→B′→B；
(3)A→D→B；
(4)A—→B.
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短.
②、做一做：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测
∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.
③、随堂练习
出示投影片
1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.
解：（如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米)
在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.
2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.
(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5
所以最长是2.5+0.5=3(米).
(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).
3.试一试
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得
(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.
④、课时小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.
⑤、课后作业
教学反思：这节的内容综合性比较强，可能有些同学掌握的不是太好。
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数学人教版八年级上册
第十三章
13.4
课题学习
最短路径问题
课件说明
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮
马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研
究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最
小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为
“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大
于第三边”)问题．
学习目标：
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形
的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
学习重点：
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线
段最短”问题．
课件说明
引言：
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问
题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节
将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
引入新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然
后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？
探索新知
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
探索新知
B
A
l
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直
线．
探索新知
B
·
·
A
l
(1)从A
地出发，到河边l
饮马，然后到B
地；
(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A
地
到饮马地点，再回到B
地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小(如图)．
B
A
l
C
追问1 对于问题2，如何
将点B“移”到l
的另一侧B′
处，满足直线l
上的任意一点
C，都保持CB
与CB′的长度
相等？
探索新知
问题2
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
追问2 你能利用轴对称的
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
探索新知
问题2
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
作法：
(1)作点B
关于直线l
的对称
点B′；
(2)连接AB′，与直线l
相交
于点C．
则点C
即为所求．
探索新知
问题2
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B′
C
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
证明：如图，在直线l
上任取一点C′(与点C
不
重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴ AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′，
AC′+BC′
=
AC′+B′C′．
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明：在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′．
即 AC
+BC
最短．
若直线l
上任意一点(与点
C
不重合)与A，B
两点的距离
和都大于AC
+BC，就说明AC
+
BC
最小．
探索新知
B
·
l
A
·
B′
C
C′
追问1 证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上
任取一点C′(与点C
不重合)，证明AC
+BC
＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的
过程、借助什么解决问题的？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山
脚下的Q
处接游客，然后将游客送往河岸BC
上，再返
回P
处，请画出旅游船的最短路径．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ
为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q
在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR
的和最
小”．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
B
A
思维分析
B
A
1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
思维火花
各抒己见
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.
合作与交流
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢？
问题解决
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
Ｎ１
Ｍ１
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，
ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转
化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN
归纳小结
(1)本节课研究问题的基本过程是什么？
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用？
谢谢
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