(共10张PPT)
平方差公式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(x+1)(x-1)=___________；
(m+2)(m-2)=__________；
(2x+1)(2x-1)=_________.
x2-1
m2-
4
4x2-1
探究
一般地，我们有
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
你能根据图14.2-1中的面积说明平方差公式吗？
a
b
a
b
b
图14.2-1
思考
例1
运用平方差公式计算:
(1)
(3x+2)
(3x-2)；
(2)
(b+2a)(2a-b)；
(3)
(-x+2y)
(-x-2y).
分析:在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
(3x+2)
(3x
-
2)
=
(3x)2
-
22
(a
+
b)
(a
-
b)
=
a2
-
b2
解:(1)
(3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
=9x2-4.
(2)
(b+2a)(2a-b)
=(2a+b)(2a-b)
=(2a)2-b2
=4a2-b2
.
(3)(-x+2y)(-x-2y)
=
(-x)2-(2y)2
=x2-4y2.
例题
例2
计算:
(1)
102×98；
(2)
(y+2)
(y-2)
–
(y-1)
(y+5)
.
解:
(1)
102×98=(100+2)(100-2)
=
1002-22=10
000
–
4
=
9
996.
(y+2)(y-2)-
(y-1)(y+5)
=
y2-22-(y2+4y-5)
=
y2-4-y2-4y+5
=
-
4y
+
1.
例题
下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x+2)(x-2)
=
x2-2
；
(2)
(-3a-2)
(3a-2)=9a2
-4
.
2.运用平方差公式计算.
(1)
(a+3b)
(a-3b)；
(2)
(3+2a)
(-3
+
2a)
；
(3)
51×49；
(4)
(3x+4)(3x-4)
–
(2x+3)
(3x-2).
练习
已知，两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm2，求这两个正方形的边长.
如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b)，把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是(
)
a2-b2
=
(a+b)
(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
b
a
图1
b
a
图2
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《平方差公式》教案3
教学重点
1、经历探索平方差公式的全过程，掌握公式的结构特征；
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算.
教学目标
1、通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用；
2、引导学生理解平方差公式的意义，从平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、猜想、归纳的探究技能和逻辑推理能力；
3、掌握公式的结构特征，并在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想.教学策略
策略1：在“创设情境，引入新课”这一环节，引导学生类比多项式乘法的计算，引出本节的学习内容，学生通过小组讨论、交流，对所得出的结果进行总结归纳，并引导学生用数学语言描述.在学生猜想平方差公示的同时培养学生探究技能和逻辑推理能力；
策略2：在“数形结合、几何说理”这一环节，使学生直观地经历图形的变化过程，从数形结合的角度加深对公式的理解.
策略3：“分层递进”教学策略，为了帮助学生对公式的理解及灵活的运用，也为突破教学难点，遵循循序渐进教学设计原则，在运用公式环节设计了“填一填”、“判一判”、“改一改”、“用一用”四个步骤，在充分利用教材的基础上，做适当处理，突出本节的重难点.
教学过程
(一)创设情境、快乐启航
活动一：从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张
老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧”。回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊。你知道张老汉是否吃亏了吗？其中又有些什么秘密呢？
【设计意图】把所学知识融入到新知识中，不但激发了学生的兴趣，也为平方差公式的推导奠定基础.
(二)自主探索、获取新知
问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题.再观察、分析这组题目的左边算式和右边的结果，你能
从中发现什么规律吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
问题2：通过上面的计算，你发现了什么？
追问1：第(3)(4)小题在形式和结果上与(1)(2)小题有什么区别？
追问2：观察第(3)(4)小题左边的算式和右边的结果又什么规律？
发现：左边是相同两个数字的和以及差，右边是这两个数的平方差(找相同两数和互为相反数的两数)
归纳公式：
文字叙述：两个数的和与这两个数的差等于这两个数的平方差.
【设计意图】以一组既有关联又有区别的问题为载体，让学生通过它们的共性，发现规律、猜想公式，从
而经历从特殊到一般、具体到抽象的过程体会归纳的数学思想.
(三)公式应用，揭示本质
(1)
(2)
(3)
(4)
【设计意图】进一步揭示公式的结构特征，使学生理解公式，进一步达到灵活应用公式的目的，既体现了学生学习的主动性，为学生学习公式进行指导，可谓“一箭双雕”.
(四)数形结合、几何说理
问题4：你现在知道张老汉是否吃亏了吗？吃亏了多少？
追问：如果将张老汉所租的边长为a的正方形土地的一边减少b米，相邻一边增加b米，那么面积变为
多少？同原来的土地面积相比，发生了怎么样的变化？(如图所示)
它说明了公式：
【设计意图】使学生直观地经历图形的变化过程，从数形结合的角度加深对公式的理解.
(五)慧眼识珠，新知运用
1、填一填.
(1)
(2)
(3)
(4)
2、判断对错，如有错，请改正.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【设计意图】让学生进一步熟练新知，并对易错题进行防御，达到巩固，防微杜渐的双重效果.
(六)巩固提升，大显身手
1、例题分析
(1)
(2)
2、计算
(1)
(2)
【设计意图】通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的快捷.
(七)小结梳理，布置作业
1、本节课你学到了哪些数学知识？
2、平方差公式的结构特征是什么？
3、本节课你感悟到哪些数学思想方法？
六、课后反思
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《公式法》同步练习3
1．将下列各式分解因式
（1）3p2﹣6pq
（2）2x2+8x+8
2．将下列各式分解因式
（1）x3y﹣xy
（2）3a3﹣6a2b+3ab2．
3．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2
4．分解因式：
（1）2x2﹣x
（2）16x2﹣1
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2
5．因式分解：
（1）2am2﹣8a
（2）4x3+4x2y+xy2
6．将下列各式分解因式：
（1）3x﹣12x3
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2
7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3
（2）（x+2y）2﹣y2
8．对下列代数式分解因式：
（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2
10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1
11．把下列各式分解因式：
（1）x4﹣7x2+1
（2）x4+x2+2ax+1﹣a2
（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2
（4）x4+2x3+3x2+2x+1
12．把下列各式分解因式：
（1）4x3﹣31x+15；
（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；
（3）x5+x+1；
（4）x3+5x2+3x﹣9；
（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
《公式法》同步练习3答案
1.（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），
（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2．
2．（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；
（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2．
3．（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．
4．
（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．
5．
（1）2am2﹣8a=2a（m2﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）；
（2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2），=x（2x+y）2．
6．（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2．
7．（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；
（2）（x+2y）2﹣y2=（x+2y+y）（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．
8．（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n2（m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2）（n+1）；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．
9．解：a2﹣4a+4﹣b2=（a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．
10．解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．
11．
（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣（3x）2=（x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；
（2）x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=（x2+1）﹣（x﹣a）2=（x2+1+x﹣a）（x2+1﹣x+a）；
（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+[x2（1﹣y）]2=[（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2
（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=（x2+x+1）2．
12．（1）4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15=x（2x+1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1）=（2x﹣1）（2x2+1﹣15）=（2x﹣1）（2x﹣5）（x+3）；
（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4=4a2b2﹣（a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2）=（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2=（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）=（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）；
（3）x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1=x2（x3﹣1）+（x2+x+1）=x2（x﹣1）（x2+x+1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3﹣x2+1）；
（4）x3+5x2+3x﹣9=（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9）=x2（x﹣1）+6x（x﹣1）+9（x﹣1）=（x﹣1）（x+3）2；
（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2=a3（2a﹣1）﹣（2a﹣1）（3a+2）=（2a﹣1）（a3﹣3a﹣2）=（2a﹣1）（a3+a2﹣a2﹣a﹣2a﹣2）=（2a﹣1）[a2（a+1）﹣a（a+1）﹣2（a+1）]=（2a﹣1）（a+1）（a2﹣a﹣2）=（a+1）2（a﹣2）（2a﹣1）．
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