人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 针对训练 （Word版 含答案）

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八年级数学
13.3
等腰三角形
针对训练
一、选择题
1.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是(　　)
A．2
B．5.2
C．7.8
D．8
2.
已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为(　　)
A．42°
B．69°
C．69°或84°
D．42°或69°
3.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论不正确的是(　　)
　
A．∠B＝∠C
B．BD＝CD
C．AB＝2BD
D．AD平分∠BAC
4.
下列条件不能得到等边三角形的是(　　)
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
5.
如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C
B．AB－BD＝AC－CD
C．AB＋BD＝AC＋CD
D．AD＝BC
6.
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A.
5
B.
6
C.
8
D.
10
7.
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为(　　)
A．6
B．8
C．10
D．12
8.
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　)
A．4
B．12
C．18
D．30
9.
如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
10.
如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是
(　　)
A.
AC=AD+BD　　
B.
AC=AB+CD
C.
AC=AD+CD　　　
D.
AC=AB+BD
二、填空题
11.
如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．
12.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.
13.
如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．
14.
定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．
15.
如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．
　
三、解答题
16.
如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
17.
如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.
18.
如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.
探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．
探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．
探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．
19.
如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H.易证PE＋PF＝CH.证明过程如下：
连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.
又∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
∴AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.
∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH.
如图②，若P为BC延长线上的点，其他条件不变，PE，PF，CH之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
20.
已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．
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八年级数学
13.3
等腰三角形
针对训练
-答案
一、选择题
1.
【答案】B　[解析]
根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.
2.
【答案】D　[解析]
在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．
①42°的角为等腰三角形的底角；
②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.
3.
【答案】C　
4.
【答案】D　[解析]
有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．
5.
【答案】D　[解析]
由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC.
由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.
6.
【答案】C　【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.
7.
【答案】C　[解析]
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.
∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.
∵△AED的周长为16，
∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.
∵AD＝6，∴AB＝10.
8.
【答案】B　[解析]
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.
9.
【答案】B　[解析]
由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.
10.
【答案】
D　
二、填空题
11.
【答案】36　[解析]
过点B作BD⊥AC于点D.
∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝×12＝6.
∴S△ABC＝AC·BD＝×12×6＝36.
12.
【答案】70
13.
【答案】30　[解析]
∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.
∵∠OBM＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠OBM.
∴MO＝MB.同理NO＝NC.
∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.
14.
【答案】或　[解析]
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为＝50°，
∴特征值k＝＝.
②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°，
∴特征值k＝＝.
综上所述，特征值k为或.
15.
【答案】105°或55°或70°　[解析]
(1)如图①，点P在AB上时，AP＝AC，顶角∠A＝105°.
(2)∵∠B＝20°，∠BAC＝105°，
∴∠ACB＝180°－20°－105°＝55°.
点P在BC上时，如图②，若AC＝PC，则顶角∠C＝55°.
如图③，若AC＝AP，则顶角∠CAP＝180°－2∠C＝180°－2×55°＝70°.
综上所述，顶角为105°或55°或70°.
三、解答题
16.
【答案】
[解析]
由已知条件易知△ABE≌△CAD，从而BE＝AD，只需求PB的长即可，由BQ⊥AD知，若在Rt△BPQ中有∠PBQ＝30°就可以求出BP的长，于是求证∠BPQ＝60°是解决问题的突破口．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA.
又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.
∴∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠CAD＝∠BAC＝60°.
又BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.
∴PB＝2PQ＝6.
∴BE＝PB＋PE＝7.∴AD＝BE＝7.
17.
【答案】
证明：如图所示，过点D作DG∥AC交BC于点G，
则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB.
在△DFG和△EFC中，
∴△DFG≌△EFC(ASA)．∴GD＝CE.
∵BD＝CE，∴BD＝GD.∴∠B＝∠DGB.∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
18.
【答案】
解：探究一：
猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.
∴∠ABO＝∠EOB.∴BE＝OE.
同理：OF＝CF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.
探究二：C△AEF＝AE＋EF＋AF＝AE＋(OE＋OF)＋AF＝(AE＋BE)＋(AF＋CF)＝AB＋AC＝8＋6＝14.
探究三：
猜想：EF＝BE－CF.
证明如下：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠CBO.
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.
∴∠EBO＝∠EOB.∴BE＝OE.
同理：OF＝CF，
∴EF＝OE－OF＝BE－CF.
19.
【答案】
解：PE＝PF＋CH.证明如下：
连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.∵S△ABP＝S△ACP＋S△ABC，
∴AB·PE＝AC·PF＋AB·CH.
∵AB＝AC，∴PE＝PF＋CH.
20.
【答案】
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在BC的垂直平分线上．
∴直线AD是BC的垂直平分线．∴AD⊥BC.
(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.
(3)DE＝AC＋BE.
理由：同(2)得∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.
∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.