人教版 九年级数学 上册23.1 图形的旋转 针对训练 （Word版 含答案）

人教版
九年级数学
23.1
图形的旋转
针对训练
一、选择题
1.
如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4
cm，OB＝1
cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是(　　)
A．4
cm
B．3
cm
C．2
cm
D．(4－)cm
2.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
3.
2018·绵阳
在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为(　　)
A．(4，－3)
B．(－4，3)
C．(－3，4)
D．(－3，－4)
4.
如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－4，1)
B．(－1，2)
C．(4，－1)
D．(1，－2)
5.
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为(　　)
A．(，1)
B．(，－1)
C．(2，1)
D．(0，2)
6.
如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－1，2＋)
B．(－，3)
C．(－，2＋)
D．(－3，)
7.
如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(，－1)
B．(1，－)
C．(2，0)
D．(，0)
8.
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为(　　)
A．4
B．2
C．6
D．2
9.
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(　　)
A．90°－α　　
B．α　　
C．180°－α　　
D．2α
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
11.
在平面直角坐标系中，将点A(4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标为________．
12.
一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．
13.
把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_______．
14.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
15.
2018·陕西
如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF＝AB；G，H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是＝________．
三、解答题
16.
如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)写出旋转角的度数；
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
17.
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
(3)在(2)的条件下，求点A所经过的路径长(结果保留π)．
18.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′.
(1)求∠DAD′的度数；
(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.
19.
如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．
(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)
(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
20.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD.
求证：BD2＝AB2＋BC2.
人教版
九年级数学
23.1
图形的旋转
针对训练
-答案
一、选择题
1.
【答案】B　[解析]
∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4
cm，OB＝1
cm，∴A′B′＝AB＝4
cm，OB′＝OB＝1
cm.
在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，
∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1
cm，
∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．
2.
【答案】A　[解析]
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.
在Rt△BED中，BD＝＝.故选A.
3.
【答案】B　[解析]
如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(－4，3)．
4.
【答案】D
5.
【答案】A　[解析]
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，
∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.
∵点A的坐标为(1，)，∴AE＝1，OE＝，
∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝OA′＝1，OF＝，∴A′(，1)．
故选A.
6.
【答案】B
7.
【答案】A
8.
【答案】D　[解析]
由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2
.
∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝＝2
.故选D.
9.
【答案】C　[解析]
由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
10.
【答案】B　[解析]
连接PC.
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4.
根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB＝4.
∵P是A′B′的中点，∴PC＝A′B′＝2.
∵M是BC的中点，∴CM＝BC＝1.
又∵PM≤PC＋CM，
即PM≤3，
∴PM的最大值为3(此时点P，C，M共线)．
故选B.
二、填空题
11.
【答案】(－2，4)
12.
【答案】15°或60°　[解析]
分情况讨论：
①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，
∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；
②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.
故答案为15°或60°.
13.
【答案】y＝－x2－2x－3　[解析]
旋转前二次项的系数a＝1，抛物线的顶点坐标是(1，2)，旋转后二次项的系数a＝－1，抛物线的顶点坐标是(－1，－2)，∴新抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2－2，即y＝－x2－2x－3.
14.
【答案】18　[解析]
如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵AB＝AD，∴将△ABC绕点A逆时针旋转90°后点B与点D重合，点C的对应点E落在CD的延长线上，∴AE＝AC＝6，∠CAE＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝AC·AE＝×6×6＝18.
15.
【答案】　[解析]
∵＝＝，＝＝，
∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC.
∵点O是?ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S平行四边形ABCD，∴＝.
三、解答题
16.
【答案】
解：(1)旋转角的度数为60°.
(2)证明：由旋转的性质知∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∠C＝∠C1，AB＝A1B.∵点A，B，C1在同一直线上，∴∠ABC1＝180°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∴∠A1BC＝60°，
∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形，
∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°，
∴AA1∥BC，∴∠A1AC＝∠C.
又∵∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.
17.
【答案】
解：(1)如图．
(2)如图．
(3)如图，∵AO＝A2O＝＝，∠AOA2＝90°，∴点A所经过的路径长＝×2π＝π.
18.
【答案】
解：(1)∵将△ABD绕点A逆时针旋转，得到△ACD′，
∴∠DAD′＝∠BAC.
∵∠BAC＝90°，∴∠DAD′＝90°.
(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°.
∵∠DAE＝45°，
∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°，
∴∠D′AE＝∠DAE.
在△AED与△AED′中，
∴△AED≌△AED′(SAS)，
∴DE＝D′E.
19.
【答案】
解：(1)∵△OEF绕点O逆时针旋转角α，
∴∠DOF＝∠COE＝α.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOF＝90°－α.
故答案为90°－α.
(2)猜想：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.
∵∠DOF＝∠COE＝α，
∴∠AOF＝∠DOE.
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴OF＝OE.
在△AOF和△DOE中，
∴△AOF≌△DOE(SAS)，
∴AF＝DE.
20.
【答案】
证明：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转60°，得到△CDE，连接BE，
则∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠DCE，AB＝CE，BD＝DE.
又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴BD＝BE.
又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，
∴△ECB是直角三角形，
∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.