探索勾股定理
教学目标
1、知识与技能目标：掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2、过程与方法目标：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程。
3、情感态度与价值观目标：通过对勾股定理的介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学教学重点、难点
重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题。
难点：验证勾股定理。
教学过程
(一)复习回顾，引入新课
上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，同学们还记得吗？齐声回答。对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理。
意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣。
效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望。
探索交流，讲授新知
探究活动1：
为了寻求图中三个正方形的面积之间的关系，小明对大正方形适当画线后，得到图2所示的图形
(1)将图2中所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；
(2)图2中正方形ABCD的面积是多少？你有哪些表示方式？与同伴进于行交流。（学生先独立思考，再4人小组交流）；
(3)你能利用图2验勾股定理吗？
在学生回答的基础上板书：S正方形ABCD=（b-a）2
s正方形ABCD=C2
-
4×ab
=C2
-
2ab
所以
(a-b)2=c2-4×ab，并得到
图1
图2
得出结论：
勾股定理：
直角边的平方和等于斜边的平方
探究活动2：介绍勾股定理的相关知识
用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
探究活动3：
利用图1，你还有其他的方法证明勾股定理吗？学生独立完成。
图1
图3
教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图3验证勾股定理吗？
（学生先独立探究，然后请一个同学讲解验证方法二）
意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.
效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点。
例题讲解，初步应用
例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500
m。你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值。
拓展练习，能力提升
1．如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/
km，该沿江高速的造价预计是多少？
2.如图，∠ACB=900，AC=3，BC=4，CD⊥AB于D，求CD的长
两棵树之间的距离为8
m，两棵树的高度分别是13m，7m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
4.1876年，美国总统
Garfield
利用如图所示图形验证了勾股定理.你能利用它验证勾股定理吗？
说明：这一环节设计了4道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，学生容易解决。
意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题。
回顾反思
提炼升华
通过本节课的学习，你有哪些收获？
从数学知识数学方法数学思想等方面谈谈
目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力。
效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等。
布置作业，课堂延伸
1、完成同步练习册的相关练习
2、上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法
M
N
O
P
Q
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D(共15张PPT)
第三章
勾股定理
第一节
探索勾股定理
问题情境：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2
学习目标
1、掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2、通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程
3、通过对勾股定理的介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
合作探究：
（2）正方形ABCD的面积是多少？你有哪些表达方式？与同伴进行交流。
（1）你能将图中所有的三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？
S正方形ABCD=（b-a）2
s正方形ABCD=C2
-
4×
ab
=C2
-
2ab
1
2
勾股定理：
直角边的平方和等于斜边的平方
2002年的世界数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标
的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就
，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
合作探究：
S正方形ABCD=（a+b）2
s正方形ABCD=C2
+4×
ab
=C2
+
2ab
1
2
勾股定理：
直角边的平方和等于斜边的平方
例
我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m.
10s后，汽车与他相距500
m.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出图
，其中点A表示小王所在位置，点C，B分别表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400
m，因此
∠C是直角，那么就可以由勾股定理来解决这个问题了。
400
500
A
B
C
公路
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，
解得BC=300.
敌方汽车10s行驶了300
m，那么它1h行驶的距离300×6×60=108000(m)，
即它行驶的速度为108
km/h.
典例剖析
随堂练习
1．如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/
km，该沿江高速的造价预计是多少？
P
N
O
Q
30km
40km
50km
120km
M
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
MO2=MN2+NO2
即MO2=302+402
解得：MO=50
在Rt△OPQ中，由勾股定理得：
OQ2=OP2+PQ2
即OQ2=502+1202
解得：MO=130
所以沿江高速总长为：50+130=180km
所以沿江高速的造价预计为
180×50000000=9000000000元
2.如图，∠ACB=900，AC=3，BC=4，CD⊥AB于D，
求CD的长
4
3
解:
∵
∠ACB=900，AC=3，BC=4
∴由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
∴AB2=32+42=25
∴AB=5
又∵
∠ACB=900且CD⊥AB于D
∴
S
△ABC=
AB
×CD=
AC
×BC
∴CD=
1
2
1
2
12
5
3．两棵树之间的距离为8
m，两棵树的高度分别是13m，7m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB＝13
m，CD＝7m，
两棵树之间的距离BD＝8
m，
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE＝CD＝7
m，EC＝BD＝8
m，
AE＝AB－BE＝13－7＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC
2＝AE
2＋EC
2，
即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10
m.
答：这只小鸟至少要飞10
m．
如图，Rt△ADE≌Rt△BEC，
可知∠DEC=90°；
梯形ABCD的面积＝
梯形ABCD的面积＝
∴
∴
4.1876年，美国总统
Garfield
利用如图所示图形验证了勾股定理.你能利用它验证勾股定理吗？
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
E
1、完成同步练习册的相关练习
2、上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法。
布置作业：
再见
