第三章
勾股定理
1.
探索勾股定理（第1课时）教学设计
一、学习目标：
1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
二、
重点：体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
难点：体验勾股定理的探索过程
学具准备：刻度尺（20CM），铅笔
，彩笔
三、学习过程
（一）问题情境
受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
3
这个问题转化为数学问题就是知道直角三角形的两边求第三边。
问题：在直角三角形中，是不是任意两边确定了，另一条边也随之确定？三边之间存在着一个什么样的特定的数量关系？（这正是值得我们中国人骄傲的地方，也就是这节课我们将要学习的勾股定理。）
（二）、合作探究
我们知道，方格是我们探索数学问题常用的工具。
探究1、在方格纸中画直角三角形，两条直角边分别是3、4，测量第三边的长，观察三边长有什么关系？三边长的平方？三边长的立方？
探究2、画直角三角形，两直角边分别是5、12，同样思考1中的问题。
（发现三边的平方之间存在等量关系）
探究3、画直角三角形，两直角边分别是2、2,结果如何？（发现第三边不是整数，结论遭到质疑，方格威力很大，不测量能不能探究三边平方的关系，将三边的平方转化为看正方形的面积。）
探究4、图1中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．
三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？说明直角三角形三边有什么关系？图2？图3？图4？
附：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）
图1
图2
图3
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，
．
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．
探究5、如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面的猜想的数量关系还成立吗？说出你的理由。
探究6、几何画板验证
由以上探索，你能得出什么结论？
结论：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）
（三）品味尝试
1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
（四）拓展应用
1、受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
3
变式：一棵树高9米，受台风影响断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后直立的部分有多高？
2．生活中的应用：
小明妈妈买了一部29
in（74
cm）的电视机.
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58
cm长和46
cm宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
（五）整合提升
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
2．方法：（1）
画图---测量—猜想—验证—归纳—应用；
（2）“割、补、拼、接”法.
3．思想：（1）
特殊—一般—特殊；
（2）
数形结合思想．
（六）：拔高训练
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1)正方形A，B，C，D的面积的和(2)所有正方形面积和
（七）：布置作业
1．教科书习题1.1.
2．准备四个全等的直角三角形纸片。
4
4
A
X
3
∟
B
C(共32张PPT)
3.1探索勾股定理
受台风“利奇马”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
问题情境
4米
3米
A
4
3
∟
B
C
1、经历探索勾股定理的探索过程及内在联系，了解勾股定理的各种探索方法；
2、能运用勾股定理进行简单的计算和运用．
3、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
学习目标
探究1、在方格纸中画直角三角形，两条直角边分别是3、4，测量第三边的长，观察三边长的平方有怎样的关系？
探究2、在方格纸中画直角三角形，两条直角边分别是5、12，测量第三边的长，观察三边长的平方有什么关系？
探究3、画直角三角形，两直角边分别是3、3,结果如何？
探究4、除测量计算外，在网格中能不能用其它的方法来探究三边平方的关系？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
（1）观察图1
正方形A中含有
个小方格，即A的面积是
个单位面积。
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是
个单位面积。
9
9
9
18
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
（1）观察图1
正方形A中含有
个小方格，即A的面积是
个单位面积。
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是
个单位面积。
9
9
9
18
SA+SB=SC
你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：以两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（1）观察图3、图4，并填写下表：
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图3
图4
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流一下。
A
B
C
图3
A
B
C
图4
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（1）观察图3、图4，并填写下表：
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图3
图4
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流一下。
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：以两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积
A
B
C
图3
A
B
C
图4
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
尝试归纳
几何画板演示
勾股定理（gou-gu
theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
a2+b2=c2
勾
股
数学史
品味尝试：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
225
400
A
225
81
B
品味尝试：
2、求下列图形中未知边的长度：
已知直角三角形两边，求第三边.
y
8
6
受台风“利奇马”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
问题情境
4米
3米
A
4
3
∟
B
C
变式：一棵树高9米，受台风影响断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后直立的部分有多高？
X米
3米
A
X
3
∟
B
C
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
∴售货员没搞错
∵
拓展应用
荧屏对角线大约为74厘米
582+462=5480
742=5476
整合提升
这节课你收获了什么？请与大家分享。
知识：
方法：
1.画图—测量--猜想—验证—应用；
2.
“割、补、拼”法.
思想：
1.
特殊—一般；
2.
数形结合思想.
a2+b2=c2
整合提升
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成一个正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1)正方形A，B，C，D的面积的和
拔高训练
S1
S2
解：∵
SE=
49
S1=SA+SB
S2=SC+SD
∴
SA+SB+SC+SD
=
S1+S2
=
SE
=
49
(2)所有正方形面积和
(2)所有正方形面积和
SA+SB+SC+SD+S1+S2+SE
=3SE=3X49=147
1
1
美丽的勾股树
作业
一、
习题3.1
第2、4题
二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
b
c
再见
