人教版九年级上册24.2点与圆、直线与圆的位置关系18-20年中考真题同步训练（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上册24.2点与圆、直线与圆的位置关系18-20年中考真题同步训练（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-15 22:07:43 | ||
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文档简介
24.2点与圆、直线与圆的位置关系18-20年中考真题
同步练习（含详细答案）
一、选择题
1．（2020?桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
2．（2019?益阳）如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是
A．
B．
C．
D．平分
3．（2018?河池）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
4．（2020?徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A．
B．
C．
D．
5．（2020?南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
6．（2019?苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为
A．
B．
C．
D．
7．（2018?常州）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为
A．
B．
C．
D．
8．（2019?阜新）如图，为的切线，点为切点，的延长线交于点，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
9．（2019?泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
10．（2020?雅安）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点，．则
A．
B．
C．
D．
11．（2019?泸州）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12．（2020?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝
．
13．（2019?河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝
°．
14．（2019?宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为
．
15．（2020?苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是
．
16．（2019?眉山）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为
．
三、解答题
17．（2020?辽阳）（改编）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
求证：与相切；
18．（2019?营口）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．求证：．
19．（2020?绵阳）（改编）如图，内接于，点在外，，交于点，交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
20．（2020?内江）（改编）如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）设交于点，若，，求线段的长；
21．（2020?遂宁）（改编）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
22．（2020?盘锦）（改编）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，，过点作，垂足为，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，连接，．求证：与相切；
23．（2020?葫芦岛）如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
24．（2020?沈阳）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，当为的切线时．
（1）求证：；
（2）若，的半径为1，请直接写出的长为 ．
25．（2020?丹东）（改编）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．
（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=6，，求的半径．
26．（2019?朝阳）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
27．（2020?宿迁）如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
（1）请判断直线是否是的切线，并说明理由；
（2）若，，求弦的长．
28．（2020?盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
29．（2020?邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
30．（2020?张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
31．（2020?湘潭）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
32．（2020?恩施州）(改编)如图1，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
答案：
一、选择题
1．（2020?桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
2．（2019?益阳）如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是
A．
B．
C．
D．平分
解：，是的切线，
，所以成立；
，所以成立；
，所以成立；
，是的切线，
，且，
只有当，时，平分，所以不一定成立．
故选：．
3．（2018?河池）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，
∵DE与⊙A相切于E，
∴AE⊥DE，
∵⊙A的半径为1，
∴DE，
当D与H重合时，AD最小，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH＝CH＝1，
∴AH，
∴DE的最小值为：．
故选：B．
4．（2020?徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A．
B．
C．
D．
解：，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：．
5．（2020?南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
6．（2019?苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为
A．
B．
C．
D．
解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
7．（2018?常州）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为
A．
B．
C．
D．
解：是的切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
8．（2019?阜新）如图，为的切线，点为切点，的延长线交于点，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
解：如图：连接，
，
，
与相切于点，
，
．
故选：．
9．（2019?泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．
10．（2020?雅安）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点，．则
A．
B．
C．
D．
解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
而，
．
故选：．
11．（2019?泸州）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是
A．
B．
C．
D．
解：连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，
平分，，，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中，，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
．
故选：．
二、填空题
12．（2020?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
见试题解答内容
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
13．（2019?河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
见试题解答内容
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
14．（2019?宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 2 ．
解：直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径．
故答案为2．
15．（2020?苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 25 ．
解：是的切线，
，
，
，
，
，
而，
，
即的度数为，
故答案为：25．
16．（2019?眉山）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ．
解：连接．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短，
在中，，
，
，
．
故答案为．
三、解答题
17．（2020?辽阳）（改编）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
求证：与相切；
（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
18．（2019?营口）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的半径，
是的切线，
又是的切线，
，
同理可得，
，
．
19．（2020?绵阳）（改编）如图，内接于，点在外，，交于点，交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（1）证明：，，
，
；
（2）证明：连接并延长交于，连接，如图1所示：
则为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
20．（2020?内江）（改编）如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）设交于点，若，，求线段的长；
（1）证明：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
即垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为，则，，
在中，，
，
，解得，
，，
，
，
，
．
21．（2020?遂宁）（改编）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（1）证明：连接，，
为直径，点为弦的中点，
，点为弦的中点，
垂直平分，
，
，，
，
，
为的切线，
，
，
，
是的切线．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
．
22．（2020?盘锦）（改编）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，，过点作，垂足为，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，连接，．求证：与相切；
（1）证明：，
，
，
，，
，
，
．
（2）①证明：连接，．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
23．（2020?葫芦岛）如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线．
（2）：过点作交延长线于点．
，
是直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，
．
24．（2020?沈阳）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，当为的切线时．
（1）求证：；
（2）若，的半径为1，请直接写出的长为 ．
证明：（1）如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．（2020?丹东）（改编）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．
（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=6，，求的半径．
解：（1）所在直线与相切；
理由：为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）设，
，
，
，
解得：，
，
的半径为5．
26．（2019?朝阳）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
（1）证明：如图1，连接，
四边形为菱形，
，，，
，
，
即，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图2，连接，
是的直径，
，
，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
．
的半径为．
27．（2020?宿迁）如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
（1）请判断直线是否是的切线，并说明理由；
（2）若，，求弦的长．
解：（1）直线是的切线，
理由如下：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线；
（2）过点作于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
28．（2020?盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
证明：（1）连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
29．（2020?邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
（1）证明：如图：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）可知是的切线，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为．
30．（2020?张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，即，
又，
，
，
，即，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：平分，
，
又，
，即，
，，
，
．
31．（2020?湘潭）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（1）证明：为的直径，
，
在和中，
；
（2）直线与相切，理由如下：
连接，如图所示：
由知：，
又，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
与相切．
32．（2020?恩施州）(改编)如图1，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
解：（1）如图1中，连接，
，
，
，
直线与相切于点，
，
，
是的切线．
（2）如图1中，连接，
，
，
是的切线，是的切线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
同步练习（含详细答案）
一、选择题
1．（2020?桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
2．（2019?益阳）如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是
A．
B．
C．
D．平分
3．（2018?河池）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
4．（2020?徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A．
B．
C．
D．
5．（2020?南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
6．（2019?苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为
A．
B．
C．
D．
7．（2018?常州）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为
A．
B．
C．
D．
8．（2019?阜新）如图，为的切线，点为切点，的延长线交于点，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
9．（2019?泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
10．（2020?雅安）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点，．则
A．
B．
C．
D．
11．（2019?泸州）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12．（2020?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝
．
13．（2019?河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝
°．
14．（2019?宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为
．
15．（2020?苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是
．
16．（2019?眉山）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为
．
三、解答题
17．（2020?辽阳）（改编）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
求证：与相切；
18．（2019?营口）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．求证：．
19．（2020?绵阳）（改编）如图，内接于，点在外，，交于点，交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
20．（2020?内江）（改编）如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）设交于点，若，，求线段的长；
21．（2020?遂宁）（改编）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
22．（2020?盘锦）（改编）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，，过点作，垂足为，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，连接，．求证：与相切；
23．（2020?葫芦岛）如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
24．（2020?沈阳）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，当为的切线时．
（1）求证：；
（2）若，的半径为1，请直接写出的长为 ．
25．（2020?丹东）（改编）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．
（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=6，，求的半径．
26．（2019?朝阳）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
27．（2020?宿迁）如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
（1）请判断直线是否是的切线，并说明理由；
（2）若，，求弦的长．
28．（2020?盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
29．（2020?邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
30．（2020?张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
31．（2020?湘潭）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
32．（2020?恩施州）(改编)如图1，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
答案：
一、选择题
1．（2020?桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
2．（2019?益阳）如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是
A．
B．
C．
D．平分
解：，是的切线，
，所以成立；
，所以成立；
，所以成立；
，是的切线，
，且，
只有当，时，平分，所以不一定成立．
故选：．
3．（2018?河池）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，
∵DE与⊙A相切于E，
∴AE⊥DE，
∵⊙A的半径为1，
∴DE，
当D与H重合时，AD最小，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH＝CH＝1，
∴AH，
∴DE的最小值为：．
故选：B．
4．（2020?徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A．
B．
C．
D．
解：，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：．
5．（2020?南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
6．（2019?苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为
A．
B．
C．
D．
解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
7．（2018?常州）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为
A．
B．
C．
D．
解：是的切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
8．（2019?阜新）如图，为的切线，点为切点，的延长线交于点，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
解：如图：连接，
，
，
与相切于点，
，
．
故选：．
9．（2019?泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32°
B．31°
C．29°
D．61°
解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．
10．（2020?雅安）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点，．则
A．
B．
C．
D．
解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
而，
．
故选：．
11．（2019?泸州）如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是
A．
B．
C．
D．
解：连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，
平分，，，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中，，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
．
故选：．
二、填空题
12．（2020?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ 27° ．
见试题解答内容
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
13．（2019?河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
见试题解答内容
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
14．（2019?宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 2 ．
解：直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径．
故答案为2．
15．（2020?苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 25 ．
解：是的切线，
，
，
，
，
，
而，
，
即的度数为，
故答案为：25．
16．（2019?眉山）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ．
解：连接．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短，
在中，，
，
，
．
故答案为．
三、解答题
17．（2020?辽阳）（改编）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
求证：与相切；
（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
18．（2019?营口）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的半径，
是的切线，
又是的切线，
，
同理可得，
，
．
19．（2020?绵阳）（改编）如图，内接于，点在外，，交于点，交于点，，，，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（1）证明：，，
，
；
（2）证明：连接并延长交于，连接，如图1所示：
则为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
20．（2020?内江）（改编）如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）设交于点，若，，求线段的长；
（1）证明：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
即垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为，则，，
在中，，
，
，解得，
，，
，
，
，
．
21．（2020?遂宁）（改编）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（1）证明：连接，，
为直径，点为弦的中点，
，点为弦的中点，
垂直平分，
，
，，
，
，
为的切线，
，
，
，
是的切线．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
．
22．（2020?盘锦）（改编）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，，过点作，垂足为，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，连接，．求证：与相切；
（1）证明：，
，
，
，，
，
，
．
（2）①证明：连接，．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
23．（2020?葫芦岛）如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线．
（2）：过点作交延长线于点．
，
是直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，
．
24．（2020?沈阳）如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，当为的切线时．
（1）求证：；
（2）若，的半径为1，请直接写出的长为 ．
证明：（1）如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．（2020?丹东）（改编）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．
（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=6，，求的半径．
解：（1）所在直线与相切；
理由：为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）设，
，
，
，
解得：，
，
的半径为5．
26．（2019?朝阳）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
（1）证明：如图1，连接，
四边形为菱形，
，，，
，
，
即，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图2，连接，
是的直径，
，
，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
．
的半径为．
27．（2020?宿迁）如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
（1）请判断直线是否是的切线，并说明理由；
（2）若，，求弦的长．
解：（1）直线是的切线，
理由如下：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线；
（2）过点作于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
28．（2020?盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
证明：（1）连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
29．（2020?邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
（1）证明：如图：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）可知是的切线，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为．
30．（2020?张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，即，
又，
，
，
，即，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：平分，
，
又，
，即，
，，
，
．
31．（2020?湘潭）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（1）证明：为的直径，
，
在和中，
；
（2）直线与相切，理由如下：
连接，如图所示：
由知：，
又，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
与相切．
32．（2020?恩施州）(改编)如图1，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
解：（1）如图1中，连接，
，
，
，
直线与相切于点，
，
，
是的切线．
（2）如图1中，连接，
，
，
是的切线，是的切线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
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