全等三角形
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文档简介
15.1 全 等 三 角 形
教材分析
本节内容是全章学习的开篇课，也是本章学习的主线。它为后续学习轴对称、四边形提供了必要的理论基础。
全等三角形中严密的对应关系能够锻炼学生的观察力和推理能力，对它的深入研究有助于学生理解数学的本质，提升思维水平。
教学重难点
重点：全等三角形的性质
难点：能在全等变换中准确找到对应角、对应边
教学过程
情境引入：
（投影出示图形：两幅国旗图案）
引导：1、观察两副图形在形状、大小、位置方面的共同点
2、两副图形形状、大小若相同该如何检验？
（演示：平移一面国旗到另一面上，发现两图形能完全重合）
引导：由操作如何定义全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形
（意图：使学生体会概念的形成过程）
明确：通过观察可知全等形的形状、大小完全相同;
形状、大小、位置是考察两个图形之间关系的三个重要方面
（意图：为后续学习相似、位似知识形成铺垫）
一、全等三角形定义：
将全等的两个图形特殊化，如何得出全等三角形的定义？
引导学生类比得出全等三角形定义
（板书定义）
回顾：三角形中有几类元素：顶点、边、角
（演示：两个三角形完全重合）
引导观察：两个三角形完全重合时每一类对应元素是否会重合
给出对应顶点、对应边、对应角定义
互相重合的顶点叫对应顶点.
互相重合的边叫对应边.
互相重合的角叫对应角.
二、全等三角形性质：
由全等三角形的定义可知， 全等三角形的对应边相等，对应角相等（性质）。
如何用几何语言表达全等三角形性质：
（板书：几何语言表达式）
因为△ABC全等于△DEF(已知)
所以AB=DE，AC=DF，BC=EF；
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应边相等，对应角相等。）
（意图：让学生使用规范的几何语言表达定理内容，加深对定理中条件和结论的理解）
三、全等三角形的表达式：
全等三角形中顶点、边、角存在严格的对应，也表现在其表达式中
介绍≌意义，“∽”表示形状相同，“=”表示大小相同
（分部板书表达式△ABC≌△DEF）
读作 :△ABC全等于△DEF
注：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
（意图：初步让学生体会全等表达式不仅有表现两三角形形状、大小特征的作用，而且还具表现顶点对应关系的作用）
引导学生感悟：三角形全等表达式充分体现出数学的秩序性和精确性，使用规范的表达式将有助于解决相关的问题
（意图：加深学生对对应关系的认识，为后续学习利用规范的全等表达式找出全等三角形的对应边和对应角做铺垫）
四、探究活动：如何找出全等三角形的对应边和对应角
方法一、通过观察找出全等三角形的对应边和对应角
问题： 已知△AOB≌△COD, ∠ A和∠ C是对应角,OA=OC,则图中其它对应角为：
图中对应边为：
引导：观察图形说出结果，比一比，看谁回答的最快、最准
找出回答最快的同学，总结他迅速判断的原因：先关注特征明显的对象，如最长边，最短边。
（意图:让学生注意关注自身思维特点）
(结合教具演示)
引导学生归纳对应边基本的判断方法:
1、一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.
2、有公共边的，公共边是对应边（介绍公共边定义）
引导学生仿照刚才的方法合作探究：
其它对应边、对应角的判断方法：
如：
3、一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.
4、有公共角的，公共角是对应角.
5、两组对应边所夹角是对应角
鼓励学生课后寻找更多方法
方法二、利用规范的全等表达式找出全等三角形的对应边和对应角
想一想：已知：如图，△ABC ≌△ CED， ∠ B和∠ DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边。
引导1：观察得出图中对应角？
∠ A和 ∠ DCE, ∠ D和 ∠ACB
（意图：巩固以上所学的观察对应角的方法）
引导2：观察每一对对应角的对应顶点在表达式中是否处在相同的位置？
明确：表达式△ABC ≌△ CED中，对应顶点写在对应的位置，其中隐含对应关系
（意图：确认△ABC ≌△ CED是一个规范的全等三角形表达式，其中对应关系可以利用）
引导3：（关闭投影）不看图形，你将如何写出全等三角形的对应边？
运用表达式中蕴含的对应关系得：
对应边：AC和CD,AB和CE
（意图：比较两种判断方法的各自特点）
（演示图形：验证方法的正确性）
（板书：方法二：利用全等三角形的表达式）
针对所得的对应角、对应边情况引导学生总结：
规范地写出全等三角形表达式具有重要的意义，根据表达式中字母的对应情况就能够，准确判断出对应顶点、对应边、对应角的信息。这充分反映了数学美的体现---------简洁、精炼。
练一练： 图中两个三角形全等，其中B和D是对应顶点，AB和CD是对应边
请按对应顶点的对应顺序写出表示这两个三角形全等的式子；
并写出这两个全等三角形的对应边和对应角
请同学板演写出表示这两个三角形全等的式子
2、引导学生思考：A的对应点是A还是C
（教具演示：将△ABC 与△ CDA分离）
A的对应点是C
3、引导学生明确：找出对应顶点是全等三角形的规范表达式书写的关键。
所以△ABC ≌△ CDA
（意图：训练学生根据实际图形正确写出全等三角形的规范表达式）
4、请两位同学根据表达式△ABC ≌△ CDA在黑板上写出结果，其他同学独立思考，完成后与小组同学交流。
对应边：AB与CD、BC与DA、AC与CA
对应角：∠BAC 与∠DCA 、∠B 与∠D、∠BCA与 ∠DAC
5、评价学生写出的结果，强调如何从全等三角形的规范表达式中准确读出对应边和对应角的信息
（意图：巩固、强化方法二）
引导学生总结两种判断方法的联系:
两种方法不是矛盾的，而是统一的，只有认真观察出对应顶点情况，才能准确、规范地写出全等三角形的表达式。在找出全等三角形的对应边和对应角时，你可以选择你所喜欢的方法
填一填
如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,
其它的对应边有 ：
对应角有：
评价学生回答结果，了解学生使用了哪种方法？
想一想: ∠ 1= ∠ 2吗 为什么
答:相等.理由如下:
∵△ABC≌△ADE(已知)
∴∠ BAC= ∠ DAE(全等三角形对应角相等)
∴∠ BAC - ∠ DAC= ∠ DAE - ∠ DAC(等式性质)
即∠ 1= ∠2
（为学生明确规范的论证步骤）
课内活动：（操作）全等三角形是如何产生的？
（投影出示：本节课中所出现的具有典型位置关系的全等三角形）
引导：在一个平面内对一个三角形对它进行怎样的操作可以产生一对全等三角形呢？
（让学生操作探究）可以通过平移、旋转、翻折三种基本方法
（意图：通过操作体会全等三角形的形成过程）
思考1：下图中一对全等三角形，可以同其中一个三角形进行怎样的操作而产生？
合作探究结果
例如：可以将白色三角形先向右平移，再逆时针旋转；
或将白色三角形先逆时针旋转，再向右平移
思考2、△ABC 全等与△ CED，则△ CED可由△ABC经过怎样的操作得出？
引导学生总结：任何全等三角形都可以看做由一个三角形经历了若干次旋转、平移、和翻折操作而得出，了解全等三角形的形成原因有助于我们更好地发现和寻找各类元素的对应关系
小 结
本节课你印象最深的知识是什么
你体会到数学学习有怎样的特点
你有哪些体验和感悟
作业：P92
1、2、3
E
D
F
A
B
C
A
C
D
B
O
A
B
C
E
D
D
A
B
C
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
D
E
A
C
D
B
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A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
教材分析
本节内容是全章学习的开篇课，也是本章学习的主线。它为后续学习轴对称、四边形提供了必要的理论基础。
全等三角形中严密的对应关系能够锻炼学生的观察力和推理能力，对它的深入研究有助于学生理解数学的本质，提升思维水平。
教学重难点
重点：全等三角形的性质
难点：能在全等变换中准确找到对应角、对应边
教学过程
情境引入：
（投影出示图形：两幅国旗图案）
引导：1、观察两副图形在形状、大小、位置方面的共同点
2、两副图形形状、大小若相同该如何检验？
（演示：平移一面国旗到另一面上，发现两图形能完全重合）
引导：由操作如何定义全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形
（意图：使学生体会概念的形成过程）
明确：通过观察可知全等形的形状、大小完全相同;
形状、大小、位置是考察两个图形之间关系的三个重要方面
（意图：为后续学习相似、位似知识形成铺垫）
一、全等三角形定义：
将全等的两个图形特殊化，如何得出全等三角形的定义？
引导学生类比得出全等三角形定义
（板书定义）
回顾：三角形中有几类元素：顶点、边、角
（演示：两个三角形完全重合）
引导观察：两个三角形完全重合时每一类对应元素是否会重合
给出对应顶点、对应边、对应角定义
互相重合的顶点叫对应顶点.
互相重合的边叫对应边.
互相重合的角叫对应角.
二、全等三角形性质：
由全等三角形的定义可知， 全等三角形的对应边相等，对应角相等（性质）。
如何用几何语言表达全等三角形性质：
（板书：几何语言表达式）
因为△ABC全等于△DEF(已知)
所以AB=DE，AC=DF，BC=EF；
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应边相等，对应角相等。）
（意图：让学生使用规范的几何语言表达定理内容，加深对定理中条件和结论的理解）
三、全等三角形的表达式：
全等三角形中顶点、边、角存在严格的对应，也表现在其表达式中
介绍≌意义，“∽”表示形状相同，“=”表示大小相同
（分部板书表达式△ABC≌△DEF）
读作 :△ABC全等于△DEF
注：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
（意图：初步让学生体会全等表达式不仅有表现两三角形形状、大小特征的作用，而且还具表现顶点对应关系的作用）
引导学生感悟：三角形全等表达式充分体现出数学的秩序性和精确性，使用规范的表达式将有助于解决相关的问题
（意图：加深学生对对应关系的认识，为后续学习利用规范的全等表达式找出全等三角形的对应边和对应角做铺垫）
四、探究活动：如何找出全等三角形的对应边和对应角
方法一、通过观察找出全等三角形的对应边和对应角
问题： 已知△AOB≌△COD, ∠ A和∠ C是对应角,OA=OC,则图中其它对应角为：
图中对应边为：
引导：观察图形说出结果，比一比，看谁回答的最快、最准
找出回答最快的同学，总结他迅速判断的原因：先关注特征明显的对象，如最长边，最短边。
（意图:让学生注意关注自身思维特点）
(结合教具演示)
引导学生归纳对应边基本的判断方法:
1、一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.
2、有公共边的，公共边是对应边（介绍公共边定义）
引导学生仿照刚才的方法合作探究：
其它对应边、对应角的判断方法：
如：
3、一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.
4、有公共角的，公共角是对应角.
5、两组对应边所夹角是对应角
鼓励学生课后寻找更多方法
方法二、利用规范的全等表达式找出全等三角形的对应边和对应角
想一想：已知：如图，△ABC ≌△ CED， ∠ B和∠ DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边。
引导1：观察得出图中对应角？
∠ A和 ∠ DCE, ∠ D和 ∠ACB
（意图：巩固以上所学的观察对应角的方法）
引导2：观察每一对对应角的对应顶点在表达式中是否处在相同的位置？
明确：表达式△ABC ≌△ CED中，对应顶点写在对应的位置，其中隐含对应关系
（意图：确认△ABC ≌△ CED是一个规范的全等三角形表达式，其中对应关系可以利用）
引导3：（关闭投影）不看图形，你将如何写出全等三角形的对应边？
运用表达式中蕴含的对应关系得：
对应边：AC和CD,AB和CE
（意图：比较两种判断方法的各自特点）
（演示图形：验证方法的正确性）
（板书：方法二：利用全等三角形的表达式）
针对所得的对应角、对应边情况引导学生总结：
规范地写出全等三角形表达式具有重要的意义，根据表达式中字母的对应情况就能够，准确判断出对应顶点、对应边、对应角的信息。这充分反映了数学美的体现---------简洁、精炼。
练一练： 图中两个三角形全等，其中B和D是对应顶点，AB和CD是对应边
请按对应顶点的对应顺序写出表示这两个三角形全等的式子；
并写出这两个全等三角形的对应边和对应角
请同学板演写出表示这两个三角形全等的式子
2、引导学生思考：A的对应点是A还是C
（教具演示：将△ABC 与△ CDA分离）
A的对应点是C
3、引导学生明确：找出对应顶点是全等三角形的规范表达式书写的关键。
所以△ABC ≌△ CDA
（意图：训练学生根据实际图形正确写出全等三角形的规范表达式）
4、请两位同学根据表达式△ABC ≌△ CDA在黑板上写出结果，其他同学独立思考，完成后与小组同学交流。
对应边：AB与CD、BC与DA、AC与CA
对应角：∠BAC 与∠DCA 、∠B 与∠D、∠BCA与 ∠DAC
5、评价学生写出的结果，强调如何从全等三角形的规范表达式中准确读出对应边和对应角的信息
（意图：巩固、强化方法二）
引导学生总结两种判断方法的联系:
两种方法不是矛盾的，而是统一的，只有认真观察出对应顶点情况，才能准确、规范地写出全等三角形的表达式。在找出全等三角形的对应边和对应角时，你可以选择你所喜欢的方法
填一填
如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,
其它的对应边有 ：
对应角有：
评价学生回答结果，了解学生使用了哪种方法？
想一想: ∠ 1= ∠ 2吗 为什么
答:相等.理由如下:
∵△ABC≌△ADE(已知)
∴∠ BAC= ∠ DAE(全等三角形对应角相等)
∴∠ BAC - ∠ DAC= ∠ DAE - ∠ DAC(等式性质)
即∠ 1= ∠2
（为学生明确规范的论证步骤）
课内活动：（操作）全等三角形是如何产生的？
（投影出示：本节课中所出现的具有典型位置关系的全等三角形）
引导：在一个平面内对一个三角形对它进行怎样的操作可以产生一对全等三角形呢？
（让学生操作探究）可以通过平移、旋转、翻折三种基本方法
（意图：通过操作体会全等三角形的形成过程）
思考1：下图中一对全等三角形，可以同其中一个三角形进行怎样的操作而产生？
合作探究结果
例如：可以将白色三角形先向右平移，再逆时针旋转；
或将白色三角形先逆时针旋转，再向右平移
思考2、△ABC 全等与△ CED，则△ CED可由△ABC经过怎样的操作得出？
引导学生总结：任何全等三角形都可以看做由一个三角形经历了若干次旋转、平移、和翻折操作而得出，了解全等三角形的形成原因有助于我们更好地发现和寻找各类元素的对应关系
小 结
本节课你印象最深的知识是什么
你体会到数学学习有怎样的特点
你有哪些体验和感悟
作业：P92
1、2、3
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