微专题七 等腰三角形的判定与性质中的计算与证明(含答案)
文档属性
| 名称 | 微专题七 等腰三角形的判定与性质中的计算与证明(含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 283.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-16 09:28:42 | ||
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文档简介
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沪科版数学八年级上册微专题训练
微专题七 等腰三角形的判定与性质中的计算与证明
类型一 等腰三角形的判定
1. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥BC，交AB边于E，DF⊥AC于点F，BE＝CD，BD＝CF．
(1)△ABC是等腰三角形吗?请说明理由．
(2)连接EF，当∠A为多少时，△DEF是等边三角形．
2. 如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由.
3. 如图，P是长方形ABCD(长方形对边平行且相等，四个角都是直角)下方一点，将△PCD绕P点转动60°(即∠DPA＝60°)后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形?
并予以证明．
4. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．
(1)过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．证明：AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
类型二 利用等腰的性质与判定进行证明或计算
5. 如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
(1)求证：∠FMC＝∠FCM；
(2)AD与MC垂直吗?并说明理由．
6. 如图①，点D是△ABC内角∠ABC，∠ACB的平行线的交点，过D作BC的平行线，交AB，AC于点E，F．
(1)试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．
(2)当把∠ACB改为外角∠ACG时，如图②，(1)中的结论是否还成立．若成立予以证明；若不成立，请推断出新的结论．
图① 图②
7. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝5，求线段DE的长．
8. 如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
参考答案
1. 解：(1)△ABC是等腰三角形，理由：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDF＝90°，∠DFC＝90°．在Rt△BDE和Rt△CFD中， ∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知Rt△BDE≌△Rt△CFD，∴DE＝DF，当∠EDF＝60°，△DEF是等边三角形，∴∠CDF＝90°－∠EDF＝30°，∴∠C＝90°－∠CDF＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°，即当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形．
2. 解：△AFC为等腰三角形．在△BAD和△BCE中， ∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴△AFC是等腰三角形.
3. 证明：△ABE是等边三角形，理由如下：由题意得△PAE≌△PDC，∴CD＝AE，PD＝PA，∠CDP＝∠EAP．∵∠DPA＝60°，∴△PDA是等边三角形，∴∠PDA＝∠PAD＝60°．由长方形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠CDP＝∠EAP＝∠DAE＝30°，∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝90°－30°＝60°，∴△ABE为等边三角形.
4. (1)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF＝90°，∴∠BFD＝45°＝∠BDE，∴BF＝DB．又∵D为BC的中点，∴CD＝DB，即BF＝CD．在Rt△CBF和Rt△ACD中， ∴Rt△CBF≌Rt△ACD，∴∠BCF＝∠CAD．又∵∠BCF＋∠GCA＝90°，∴∠CAD＋∠GCA＝90°，即AD⊥CF；
(2)△ACF是等腰三角形，理由如下：由(1)知：CF＝AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF是平分线．∴BE垂直平分DF，即AF＝AD，∴CF＝AF．∴△ACF是等腰三角形．
5. (1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF．又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余；∴∠DCF＝∠AMF，在△DFC和△AFM中，∠DCF＝∠AMF，∠CFD＝∠MFA，DF＝AF，∴△DFC≌△AFM(AAS)，∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM．
(2)解：AD⊥MC，理由：由(1)知，∠MFC＝90°，FD＝EF，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM．∵AD⊥DE，∴AD⊥MC．
6. 解：(1)EF＝BE＋FC，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证DF＝FC，∵EF＝ED＋DF，∴EF＝BE＋FC.
(2)不成立．由(1)的方法推断BE＝ED，CF＝FD．∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－FC．
7. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°．∵∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE．∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5.
8. 解：MN＝NC＋BM．证明：延长AC至E使CE＝BM，连接DE．∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．∵△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝90°，∴△BDM≌△CDE，∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∵∠BDM＋∠CDN＝120°－60°＝60°，∴∠CDE＋∠CDN＝60°，即∠NDE＝60°＝∠MDN．∵DN＝DN，∴△MND≌△END，∴MN＝NE＝NC＋CE，∴MN＝NC＋BM．
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沪科版数学八年级上册微专题训练
微专题七 等腰三角形的判定与性质中的计算与证明
类型一 等腰三角形的判定
1. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥BC，交AB边于E，DF⊥AC于点F，BE＝CD，BD＝CF．
(1)△ABC是等腰三角形吗?请说明理由．
(2)连接EF，当∠A为多少时，△DEF是等边三角形．
2. 如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由.
3. 如图，P是长方形ABCD(长方形对边平行且相等，四个角都是直角)下方一点，将△PCD绕P点转动60°(即∠DPA＝60°)后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形?
并予以证明．
4. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．
(1)过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．证明：AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
类型二 利用等腰的性质与判定进行证明或计算
5. 如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
(1)求证：∠FMC＝∠FCM；
(2)AD与MC垂直吗?并说明理由．
6. 如图①，点D是△ABC内角∠ABC，∠ACB的平行线的交点，过D作BC的平行线，交AB，AC于点E，F．
(1)试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．
(2)当把∠ACB改为外角∠ACG时，如图②，(1)中的结论是否还成立．若成立予以证明；若不成立，请推断出新的结论．
图① 图②
7. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝5，求线段DE的长．
8. 如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
参考答案
1. 解：(1)△ABC是等腰三角形，理由：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDF＝90°，∠DFC＝90°．在Rt△BDE和Rt△CFD中， ∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知Rt△BDE≌△Rt△CFD，∴DE＝DF，当∠EDF＝60°，△DEF是等边三角形，∴∠CDF＝90°－∠EDF＝30°，∴∠C＝90°－∠CDF＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°，即当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形．
2. 解：△AFC为等腰三角形．在△BAD和△BCE中， ∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴△AFC是等腰三角形.
3. 证明：△ABE是等边三角形，理由如下：由题意得△PAE≌△PDC，∴CD＝AE，PD＝PA，∠CDP＝∠EAP．∵∠DPA＝60°，∴△PDA是等边三角形，∴∠PDA＝∠PAD＝60°．由长方形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠CDP＝∠EAP＝∠DAE＝30°，∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝90°－30°＝60°，∴△ABE为等边三角形.
4. (1)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF＝90°，∴∠BFD＝45°＝∠BDE，∴BF＝DB．又∵D为BC的中点，∴CD＝DB，即BF＝CD．在Rt△CBF和Rt△ACD中， ∴Rt△CBF≌Rt△ACD，∴∠BCF＝∠CAD．又∵∠BCF＋∠GCA＝90°，∴∠CAD＋∠GCA＝90°，即AD⊥CF；
(2)△ACF是等腰三角形，理由如下：由(1)知：CF＝AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF是平分线．∴BE垂直平分DF，即AF＝AD，∴CF＝AF．∴△ACF是等腰三角形．
5. (1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF．又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余；∴∠DCF＝∠AMF，在△DFC和△AFM中，∠DCF＝∠AMF，∠CFD＝∠MFA，DF＝AF，∴△DFC≌△AFM(AAS)，∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM．
(2)解：AD⊥MC，理由：由(1)知，∠MFC＝90°，FD＝EF，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM．∵AD⊥DE，∴AD⊥MC．
6. 解：(1)EF＝BE＋FC，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证DF＝FC，∵EF＝ED＋DF，∴EF＝BE＋FC.
(2)不成立．由(1)的方法推断BE＝ED，CF＝FD．∵EF＝DE－DF，∴EF＝BE－FC．
7. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°．∵∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE．∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5.
8. 解：MN＝NC＋BM．证明：延长AC至E使CE＝BM，连接DE．∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．∵△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝90°，∴△BDM≌△CDE，∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∵∠BDM＋∠CDN＝120°－60°＝60°，∴∠CDE＋∠CDN＝60°，即∠NDE＝60°＝∠MDN．∵DN＝DN，∴△MND≌△END，∴MN＝NE＝NC＋CE，∴MN＝NC＋BM．
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