北师大版九年级下册数学 1.4解直角三角形 同步测试（Word版 含解析）

1.4解直角三角形 同步测试
一．选择题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
2．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD＝16，则BC长为（　　）
A．6 B．8 C．8 D．12
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．2
6．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（3，1），则tanα的值是（　　）
A． B． C． D．3
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）
A． B． C． D．4
8．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，cosB＝，点M是AB的中点，则CM的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A．+1 B．﹣1 C． D．
二．填空题
11．如图，△ABC中，sinB＝，tanC＝，AC＝5，则BC＝　 　．
12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝，则BC＝　 　．
13．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝2，∠B＝60°，则△ABC的面积＝　 　．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则AD长度是　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
（1）求线段CD的长度；
（2）求cos∠C的值．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
参考答案
1．解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠A＝40°，
∴BC＝AC?tanA＝3tan40°，
故选：C．
2．解：∵AB＝5，BC＝＝5，AC＝＝，
∴BA＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴cos∠ACB＝cos∠CAB＝＝，
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
4．解：如图，
∵cosA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝30°，
∴DB＝DA＝16，
∴BC＝BD?cos30°＝16×＝8，
故选：C．
5．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
6．解：如图：过点A做x轴的垂线，交x轴于点B
∵A（3，1），
∴OB＝3，AB＝1，
∴tanα＝＝
故选：C．
7．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝，
∴，
故选：C．
8．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴sin∠BAD＝＝＝．
故选：D．
9．解：在Rt△ABC中，
∵cosB＝＝，BC＝4，
∴AB＝6．
∵CM是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CM＝AB＝3．
故选：B．
10．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
11．解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，tanC＝，AC＝5，
∴AD＝3，CD＝4，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AB＝＝＝3，
根据勾股定理得：BD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝10，
故答案为10．
12．解：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝45°，AC＝，∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝AC＝1，
∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AD＝1，
∴BD＝AD＝，
∴BC＝BD+CD＝+1
故答案为+1．
13．解：作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BH＝3，AH＝3，
在Rt△ACH中，
∵AC＝2，
∴CH＝＝＝5，
∴BC＝8，
∴S△ABC＝?BC?AH＝×8×3＝12．
14．解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6．
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10．
故答案为：10．
15．解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴＝＝，
设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，
由＝＝得，DM＝a，
∴4b+b＝a，
即，b＝a，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
16．解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝＝＝9，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴AC＝＝＝13，
cosC＝＝．
17．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB＝，
BF＝BE?cosB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．