北师大版九年级数学上册第四章：相似三角形 培优讲义（Word版 无答案）

模块一
三垂直模型
如图，，，．（1），则．（2）※．（3）当是中点时，则有．
变形：如图，．（1），则．（2）※．（3）当是中点时，则有．
证明：∵，
∴，又是中点，∴,∴,
即,又，∴．
模块二：三平行模型
如图，已知．（1）．（2）．
证明：，
，，，
．
（1）如图1-1，AB//CD，，E为BC上一点，且．若，，，则DE的长为____________．
（2）如图1-2，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若，，，则点E到GF的距离为____________．
图1-1
图1-2
（1）如图2-1，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为____________．
（2）如图2-2，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，则D点坐标为___________．
图2-1
图2-2
（1）如图3-1，在四边形ABCD中，，，，，P为线段OC上一动点，当时，则___________．
（2）如图3-2，设P是等边的边BC上一点，且，连接AP，作AP的垂直平分线交AB、AC于M、N．则的值为___________．
图3-1
图3-2
如图，在等腰△ABC中，，，点P为BC的中点，用含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，将三角板绕P点旋转．
（1）求证：．
（2）设，的面积为S，试用含x的代数式表示S．
如图5-1，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕点E旋转到如图5-2，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q．
（1）求证：．
（2）已知，，求P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．
图5-1
图5-2
如图，中，、的角平分线相交于点O，过O引AO的垂线，与边AB，AC分别相交于D、E．求证：．
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，AE，BF交于点G，于点H，若，，且，设，的面积为S．求S关于t的函数关系式．
已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F．
（1）求证：EF//CD；
（2）若，，求EF的长．
（1）已知：如图1-1，在矩形ABCD中，，，P，Q分别是边BC，CD上的点．若，，则CQ的长为___________．
（2）如图1-2，一个边长分别为3、4、5的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合另两个顶点分别在正方形的两条边AD、CD上，那么这个正方形的面积是________．
图1-1
图1-2
在矩形ABCD中，点P在AD上，，，将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E、F，连接EF（如图2-1）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2-2），求PC的长．
（2）探究：将直尺从图2-2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：的值是否发生变化？请说明理由．
图2-1
图2-2
如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：．
（2）连接FG，如果，，，求FG的长．
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，且EO//BC，已知，，求EO的长．
如图所示，在中，，AD平分交BC于点D．求证：．
第6讲
相似三角形（四）
模块一
三垂直模型
例1
例2
例3
例4
例5
例6
模块二
三平行模型
例7
例8
复
习
巩
固
模块一
三垂直模型
演练1
演练2
演练3
模块二
三平行模型
演练4
演练5