北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质 同步测试（Word版 含答案）

北师大版九年级数学上册第四章
4.7相似三角形的性质
同步测试
一．选择题
1如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(　)
A．1
B．
C．－1
D．＋1
2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：16
3．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　）
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
4．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（　　）
A．17
B．19
C．21
D．24
5．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知△ABC∽△DEF
，
且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（　　）
A．7.5
B．6
C．5或6
D．5或6或7.5
7．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（　　）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
8．一张等腰三角形纸片，底边长15
cm，底边上的高为22.5
cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3
cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．
9．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E．F分别是PB．PC（靠近点P）的三等分点，△PEF．△PDC．△PAB的面积分别为S1．S2．S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（　　）
A．
B．
C．
D．4
10．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE．BE分别交于点G．H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2
个
C．3
个
D．4个　
二．填空题
11.如果两个相似三角形的周长分别为15
cm和25
cm，那么这两个相似三角形对应的角平分线的比为_______．
12.一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为　
　.
13．已知两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56
cm，则这两个三角形的周长分别为______________．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=　
　．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是_________
16．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是　
　．
17．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.
18．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．
三．解答题
19．如图，M是□ABCD的AB边的中点，CM与BD相交于点E，连接DM．设□ABCD的面积为1，求图中阴影部分的面积．
20．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN
，
矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
21．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高多少米？
22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
24．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC．CD在同一条直线上，点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，连接AE．BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP．BD分别交于点G．H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
答案提示
1.C　2．C．
3．C
4．D
5．D．
6．D
7．C
8．6
9．A．10．D．
11.
3：5
12.1∶3　
13．24
cm和80cm
14．4．
15．
16．7．
17．5和20
18．．
19．
20．（1）解：由已知得MN=AB
，
MD=
AD=
BC
，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴
，
∵MN=AB
，
DM=
AD
，
BC=AD
，
∴
，
∴由AB=4得，AD=
；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
．
21．1米
22．（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
23．解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴=，设BD=x，
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴==，
∴CD=×2=﹣．
　
24．解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，
∴PM=BD，PM∥BD；
PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．
∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，
∴PM=BD，PN=AE．
∴PM=kPN．