人教版数学八年级上册 14.3因式分解 专项能力提升训练（Word版 含解析）

【14.3因式分解】专项能力提升训练
一．选择题
1．因式分解（x+y）2﹣2（x2﹣y2）+（x﹣y）2的结果为（　　）
A．4（x﹣y）2
B．4x2
C．4（x+y）2
D．4y2
2．多项式6ab2+18a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　）
A．6ab2c
B．ab2
C．6ab2
D．6a3b2c
3．将（x+2y）2﹣（x﹣2y）2分解因式的结果是（　　）
A．﹣8x2
B．﹣8x（x﹣2y）
C．16（x+y）
D．8xy
4．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（　　）
A．﹣x2+16
B．x2+9
C．﹣x2﹣4
D．x2﹣2y
5．二次三项式x2﹣mx﹣12（m是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m的所有可能值有（　　）个．
A．4
B．5
C．6
D．8
6．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017的值为（　　）
A．2019
B．﹣2019
C．2020
D．﹣2020
7．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2019的值为（　　）
A．﹣2019
B．﹣2020
C．﹣2022
D．﹣2021
8．下列各式中，能用平方差公式分解因式的有（　　）
①x2+y2；
②x2﹣y2；
③﹣x2+y2；
④﹣x2﹣y2；
⑤；
⑥x2﹣4
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
9．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝，例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝，则F（36）的值是（　　）
A．
B．
C．1
D．
10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858
B．6860
C．9260
D．9262
二．填空题
11．因式分解：﹣5a3+10a2﹣15a＝　
　．
12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a﹣b的值为　
　．
13．已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣5），则（2p+q）2020　
　．
14．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝　
　．
15．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　
　．
三．解答题
16．因式分解：
（1）﹣2x2﹣8y2+8xy；
（2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
17．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．
（2）若x2﹣2x﹣5＝0，求2x3﹣8x2﹣2x+2020的值．
18．解答下列问题
（1）一正方形的面积是a2+6ab+9b2（a＞0，b＞0），则表示该正方形的边长的代数式是　
　．
（2）求证：当n为正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2能被8整除．
19．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n，（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果；
（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
20．1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，
则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝0．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．
（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a，b的值．
参考答案
一．选择题
1．解：原式＝[（x+y）﹣（x﹣y）]2，
＝（x+y﹣x+y）2，
＝4y2，
故选：D．
2．解：系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是ab2，
∴公因式为6ab2．
故选：C．
3．解：原式＝[（x+2y）+（x﹣2y）][（x+2y）﹣（x﹣2y）]，
＝2x?4y，
＝8xy，
故选：D．
4．解：﹣x2+16＝（4+x）（4﹣x），
故选：A．
5．解：若x2﹣mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．共有6个．
故选：C．
6．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017
＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017
＝6x﹣3x2﹣2017
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2017
＝﹣3﹣2017
＝﹣2020．
故选：D．
7．解：∵x2﹣2x﹣1＝0
∴x2﹣2x＝1
∴2x3﹣7x2+4x﹣2019
＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2019
＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2019
＝6x﹣3x2﹣2019
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019
＝﹣3﹣2019
＝﹣2022
故选：C．
8．解：①x2+y2不能分解；
②x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），能；
③﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能；
④﹣x2﹣y2不能分解；
⑤1﹣a2b2＝（1+ab）（1﹣ab），能；
⑥x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），能，
故选：B．
9．解：1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36﹣1＞18﹣2＞12﹣3＞9﹣4＞6﹣6
F（36）＝
故选：C．
10．解：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3
＝[（2k+1）﹣（2k﹣1）][（2k+1）2+（2k+1）（2k﹣1）+（2k﹣1）2]
＝2（12k2+1）（其中k为非负整数），
由2（12k2+1）≤2016得，k≤9
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，
它们的和为[13﹣（﹣1）3]+（33﹣13）+（53﹣33）+…+（173﹣153）+（193﹣173）＝193+1＝6860．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：原式＝﹣5a（a2﹣2a+3）．
故答案是：﹣5a（a2﹣2a+3）．
12．解：根据题意得：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，
则a＝﹣1，b＝﹣2，
所以a﹣b＝﹣1﹣（﹣2）＝﹣1+2＝1，
故答案为：1．
13．解：根据题意得：（x﹣3）（x﹣5）＝x2﹣8x+15＝x2+px+q，
∴p＝﹣8，q＝15，
则（2p+q）2020＝（﹣16+15）2020＝1．
14．解：原式＝x2﹣2?x?3y+（3y）2
＝（x﹣3y）2，
故答案为：（x﹣3y）2
15．解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，
∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2020m+2020n
＝2020（m+n）
＝2020×（﹣1）
＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）﹣2x2﹣8y2+8xy
（2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
17．解：（1）（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2
＝mn+3my﹣2ny﹣6y2+n+3y+ny2
＝mn+n+（3m﹣2n+3）y+（n﹣6）y2
∵代数式的值与y无关，
∴，
∴，
①若等腰三角形的三边长分别为6，6，3，则等腰三角形的周长为15．
②若等腰三角形的三边长分别为6，3，3，则不能组成三角形．
∴等腰三角形的周长为15．
（2）∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴2x3﹣8x2﹣2x+2020
＝2x（2x+5）﹣8x2﹣2x+2020
＝4x2+10x﹣8x2﹣2x+2020
＝﹣4x2+8x+2020
＝﹣4（2x+5）+8x+2020
＝﹣8x﹣20+8x+2020
＝2000．
18．（1）解：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2，
∴表示该正方形的边长的代数式是a+3b．
故答案为：a+3b；
（2）证明：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n×2
＝8n，
∴原式能被8整除．
19．解：（1）观察图形，发现代数式
2m2+5mn+2n2
＝（2m+n）（m+2n）
（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2
则mn＝7cm2，2m2+2n2＝100cm2
∴m2+n2＝50
∴（m+n）2＝50+7×2＝64
∴m+n＝8
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝48（cm）
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为48cm．
20．解：（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），
而（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，
∵等式两边x同次幂的系数相等，
即x3+（b+1）x2+（c+b）x+c＝x3+ax+1
∴
解得
∴a的值为0，x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1）
（2）（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2
令3x4+ax3+bx﹣34＝（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d），
而（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d）＝3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d，
∵等式两边x同次幂的系数相等，
即3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d＝3x4+ax3+bx﹣34
∴
解得
答：a、b的值分别为8、﹣39．