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26.1.4
反比例函数与一次函数的
图象交点问题
2020年秋人教版九年级数学下册
第十六章反比例函数
能够解决反比例函数与一次函数的交点问题.
体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
学习目标
2.反比例函数
的图象一定经过点(－2，___
).
3.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线
上，则y1、y2的大小关系是________.
4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，若矩形APOQ的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________.
4
3
y1>y2
1.若反比例函数
与一次函数y＝3x＋b都经过点(1，4)，则kb＝____.
新课导入
在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为
.
y=-x+3
y=3x-5
x
y
o
M
(2,1)
联立解方程组
新课导入
y
x
o
A
B
思考:你会求反比例函数y=
与一次函数y=x-1的图象的交点坐标吗？
(2,1)，(-1,-2)
一、利用交点求函数解析式
例1：如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=
的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
典例分析
二、利用交点求图形面积
(2)求△AOB的面积.
分割法：
S△AOB
=S△AOC
+
S△BOC
D
E
典例分析
如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数
的图象上.
（1）求m，k的值；（2）求△AOB的面积.
x
y
C
D
转化法：
S△AOB
=S直角梯形ACDB
?
?
针对练习
O
y
x
A
B
O
y
x
A
B
O
y
x
A
B
C
O
y
x
A
B
C
O
y
x
A
B
C
x
O
y
B
A
D
C
O
y
x
A
C
B
D
反比例函数与一次函数交点与面积有关的基本图形
分割法
转化法
总结提升
三、利用交点求值或确定取值范围
例2：如图，是一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=
的图象，则关于x的方程kx+b=
的解为(
)
A．x1=1，x2=
2
B．x1=
-2，x2=
-1
C．x1=1，x2=
-2
D．x1=2，x2=
-1
A
典例分析
例3：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（
）
A．x＜－1
B．x＞2
C．－1＜x＜0，或x＞2
D．x＜－1，或0＜x＜2
－3
x
A
B
O
y
2
1
2
3
－1
－2
1
3
－3
－1
－2
①
②
③
④
c
三、利用交点求值或确定取值范围
典例分析
如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数
的图象相交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，直线AB与x轴交于点M.
求一次函数的解析式；
求△AOB的面积;
(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比
例函数的值的x的取值范围.
B
M
O
A
y
x
-2
-2
4
4
（2，0）
y=-x+2
S△AOB=6
x<-2或0针对练习
两个反比例函数在第一象限的图像如图所示，点P在
的图像上，PC⊥x轴于点C，交
的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交
的图像于点B，当点P在
的图像上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点。其中一定正确的有：
_________.
P
A
B
C
O
D
x
y
①②④
能力提升
例4：函数
y=kx－k
与
的图象大致是
(
)
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0
x
【点睛】由于两个函数解析式都含有相同的系数
k，可对
k
的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
四、一次函数与反比例函数图像共存
典例分析
在同一直角坐标系中，函数
与
y
=
ax+1
(a≠0)
的图象可能是
(
)
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
针对练习
1.反比例函数
的图象与正比例函数
y
=
3x
的图象的交点坐标为
__________________．
(2，6)，(－2，－6)
2.
反比例函数
的图象与一次函数
y
=
2x
+1
的图象的一个交点是
(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．
课堂练习
3.如图是一次函数
y1=kx+b
和反比例函数
的图象，观察图象，当
y1﹥y2
时，x
的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2<
x
<0
或
x
>3
解析：y1﹥y2
即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.
观察右图，可知－2<
x
<0
或
x
>3.
4.如图，一次函数
y1=
k1x
+
b
(k1≠0)
的图象与反比例函数
的图象交于
A，B
两点，观察图象，当y1＞y2时，x
的取值范围是
．
－1
2
y
x
0
A
B
－1<
x
<0
或
x
>2
5.如图，直线
y=k1x
+
b
与反比例函数
(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x
+b
＞
的解集是___________．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
6.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点
P
(－3，4).试求出它们的解析式.
由于这两个函数的图象交于点
P
(－3，4)，则点
P
(－3，4)
是这两个函数图象上的点，
即点
P
的坐标分别满足这两个解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为
y=k1x
和
.
所以
，
.
解得
，
.
7.已知
A(－4，
)，B(－1，2)是一次函数
y=
kx+b与反比例函数
图象的两个交点，求一次函数解析式及
m
的值.
解：把A(－4，
)，B(－1，2)代入
y
=
kx
+
b中，得
－4k
+
b
=
，
－k
+
b
=2，
k
=
，
解得
b
=
，
所以一次函数的解析式为
y
=
x
+
.
把
B
(－1，2)代入
中，得
m
=－1×2=－2.
x
y
O
B
A
8.
如图，直线
y=ax
+
b
与双曲线
交于两点A(1，2)，B(m，4)两点，
(1)
求直线与双曲线的解析式；
所以一次函数的解析式为
y
=
4x－2.
把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a
=4，b
=－2.
解：把
B(1，2)代入双曲线解析式中，
得
k
=
2，故其解析式为
.
当y
=－4时，m=
.
(2)
求不等式
ax
+
b＞
的解集.
x
y
O
B
A
解：根据图象可知，若
ax
+
b＞
，
则
x＞1或
＜x＜0.
9.
如图，反比例函数
与一次函数
y
=－x
+
2
的图象交于
A，B
两点.
(1)
求
A，B
两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：
y=－x
+
2
，
解得
x
=
4，
y
=－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x
=
－2，
y
=
4.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2)
求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M
(2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
一、利用交点求函数解析式
二、利用交点求图形面积
三、利用交点求值或确定取值范围
反比例函数与一次函数的图象交点问题
四、一次函数与反比例函数图像共存
课堂小结
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人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案
[26.1.4
反比例函数与一次函数的图象交点问题]
学习目标
1．能够解决反比例函数与一次函数的交点问题.
(重点)
2．体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
(难点)
新课导入
1.若反比例函数与一次函数y＝3x＋b都经过点(1，4)，则kb＝____.
2.反比例函数的图象一定经过点(－2，___
).
3.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线上，则y1、y2的大小关系是________.
4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，若矩形APOQ的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________.
5.在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为
.
思考:你会求反比例函数y=与一次函数y=x-1的图象的交点坐标吗？
典例分析
一、利用交点求函数解析式
二、利用交点求图形面积
【例1】如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积.
【针对练习】
如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数的图象上.
（1）求m，k的值；（2）求△AOB的面积.
【总结提升】反比例函数与一次函数交点与面积有关的基本图形
三、利用交点求值或确定取值范围
【例2】如图，是一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为(
)
A．x1=1，x2=
2
B．x1=
-2，x2=
-1
C．x1=1，x2=
-2
D．x1=2，x2=
-1
【例3】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（
）
A．x＜－1
B．x＞2
C．－1＜x＜0，或x＞2
D．x＜－1，或0＜x＜2
【针对练习】
如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，直线AB与x轴交于点M.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积;
(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
【能力提升】
两个反比例函数在第一象限的图像如图所示，点P在的图像上，PC⊥x轴于点C，交
的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交的图像于点B，当点P在的图像上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点。其中一定正确的有：
_________.
四、一次函数与反比例函数图像共存
【例4】函数y=kx－k
与的图象大致是
(
)
.
【点睛】由于两个函数解析式都含有相同的系数
k，可对
k
的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案
【针对练习】
在同一直角坐标系中，函数与
y
=
ax+1
(a≠0)
的图象可能是
(
)
课堂练习
1.反比例函数的图象与正比例函数y
=
3x的图象的交点坐标为_____________．
2.反比例函数的图象与一次函数
y
=
2x
+1
的图象的一个交点是
(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．
3.如图是一次函数
y1=kx+b
和反比例函数的图象，观察图象，当
y1﹥y2
时，x
的取值范围为
.
4.如图，一次函数
y1=
k1x
+
b
(k1≠0)
的图象与反比例函数的图象交于
A，B
两点，观察图象，当y1＞y2时，x
的取值范围是
．
5.如图，直线
y=k1x
+
b
与反比例函数
(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x
+b
＞的解集是___________．
6.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点
P
(－3，4).试求出它们的解析式.
7.已知
A(－4，
)，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数图象的两个交点，求一次函数解析式及
m
的值.
8.
如图，直线
y=ax
+
b
与双曲线交于两点A(1，2)，B(m，4)两点，
(1)
求直线与双曲线的解析式；
(2)
求不等式ax
+
b＞的解集.
9.
如图，反比例函数与一次函数y
=－x
+
2的图象交于
A，B
两点.
(1)
求
A，B
两点的坐标；
(2)
求△AOB的面积.
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