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第26章反比例函数章节复习
2020年秋人教版九年级数学下册
第十六章反比例函数
1.
反比例函数的概念
定义：形如________
(k为常数，k≠0)
的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．
三种表达式方法：
或
xy＝kx
或y＝kx－1
(k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
知识整理
2.
反比例函数的图象和性质
(1)
反比例函数的图象：反比例函数
(k≠0)的图象是
，它既是轴对称图形又是中心对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线
和
；对称中心是：
.
双曲线
原点
y
=
x
y=－x
知识整理
(2)
反比例函数的性质
图象
所在象限
性质
(k≠0)
k＞0
一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y
随
x
的增大而减小
k＜0
二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y
随
x
的增大而增大
x
y
o
x
y
o
(3)
反比例函数比例系数
k
的几何意义
k
的几何意义：反比例函数图象上的点
(x，y)
具有两坐标之积
(xy＝k)
为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数
|k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
．
S矩形OAPB=|k|
3.
反比例函数的应用
?利用待定系数法确定反比例函数：
①
根据两变量之间的反比例关系，设
；
②
代入图象上一个点的坐标，即
x、y
的一对对应值，求出
k
的值；
③
写出解析式.
?反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线
y＝k1x＋b
(k1≠0)
和双曲线
(k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.
?利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点一
反比例函数的概念
【例1】下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
①
y
=
3x－1
②
y
=
2x2
⑤
y
=
3x
③
④
⑥
⑦
⑧
?
考点分析
考点一
反比例函数的概念
?
?
解：∵y＝(m－1)xm2?2是反比例函数，
∴m-1≠0，且m2?2=?1
解得m=－1．
－1
1.
已知点
P(1，－3)
在反比例函数
的图象上，则
k
的值是
(
)
A.
3 B.
－3
C.
D.
B
2.
若
是反比例函数，则
a
的值为
(
)
A.
1
B.
－1
C.
±1
D.
任意实数
A
3.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为____（无需确定x的取值范围）
?
针对训练
?
A
考点二
反比例函数的图象和性质
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限，y随x的增大而增大．
C
考点分析
【例4】如图所示是三个反比例函数
，
，
的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是______________．（用“＜”连接）
解：根据图象可知|k|越大，开口越大，
则k1＜0，k2＞k3＞0，
所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．
k1＜k3＜k2
考点二
反比例函数的图象和性质
【点睛】此类题主要考察当多个反比例函数图像在同一坐标系内时，K的大小与图像位置有关，|k|越大，图象越靠上．
【例5】
已知点
A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)
都在反比例函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
(
)
A.
y3＜y1＜y2
B.
y1＜y2＜y3
C.
y2＜y1＜y3
D.
y3＜y2＜y1
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
D
考点二
反比例函数的图象和性质
【点睛】比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
y1
＞0＞y2
3.已知点
A
(x1，y1)，B
(x2，y2)
(x1＜0＜x2)都在反比例函数
(k<0)
的图象上，则
y1
与
y2
的大小关系
(从大到小)
为
.
?
?
B
k＞1
针对训练
【例6】
如图，两个反比例函数
和
在第一象限内的图象分别是
C1
和
C2，设点
P
在
C1
上，PA
⊥
x
轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为______.
1
考点三
反比例函数“k”
的几何意义
?
考点分析
1.
如图，在平面直角坐标系中，点
M
为
x
轴正半轴
上
一点，过点
M
的直线
l∥
y
轴，且直线
l
分别与反比例函数
(x＞0)和
(x＞0)
的图象交于P，Q
两点，若
S△POQ=14，则
k
的值为______.
20
4
10
针对训练
2.
如图，已知点
A，B
在双曲线
上，AC⊥x
轴于点C，BD⊥y
轴于点
D，AC
与
BD
交于点
P，P
是
AC
的中点，若△ABP
的面积为6，则
k
=
.
24
E
F
S△ABP=
S四边形BFCP，
=
(S四边形BDOF－S四边形OCPD)
=
(S四边形BDOF－
S四边形AEOC)
=
(k－
k)=
k
=
6.
∴
k
=24.
考点四
反比例函数与一次函数综合
【例7】
如图，已知
A
(－4，
)，B
(－1，2)
是一次函数y
=kx+b
与反比例函数
(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x
轴于点
C，BD⊥y
轴于点
D．
(1)
根据图象直接回答：在第二象限内，当
x
取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
O
B
A
x
y
C
D
解：当－4＜
x
＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值.
考点分析
(2)
求一次函数解析式及
m
的值；
解：把A(－4，
)，B(－1，2)代入
y
=
kx
+
b中，得
－4k
+
b
=
，
－k
+
b
=2，
解得
k
=
，
b
=
，
所以一次函数的解析式为
y
=
x
+
.
把
B
(－1，2)代入
中，得
m
=－1×2=－2.
O
B
A
x
y
C
D
(3)
P
是线段
AB
上的一点，连接
PC，PD，若△PCA和
△PDB
面积相等，求点
P
坐标.
O
B
A
x
y
C
D
P
∵
△PCA面积和△PDB面积相等，
∴
AC·[t－(－4)]=
BD·[2－[
2－(
t+
)]，
解得：t
=
.
∴
点
P
的坐标为
(
，
)．
解：设点
P
的坐标为
(
t，
t
+
)，P点到直线
AC
的距离为
t－(－4)，P
点到直线
BD
的距离为2－
(
t+
)．
【点睛】此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路.
在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
如图，设反比例函数的解析式为
(k＞0)．
(1)
若该反比例函数与正比例函数
y
=2x
的图象有一个交点
P
的纵坐标为
2，求
k
的值；
O
y
x
解：由题意知点
P
在正比例函数y
=2x
上，
把
P
的纵坐标
2
带入该解析式，得P
(1，2)，
把
P
(1，2)
代入
，
得到
P
2
针对训练
(2)
若该反比例函数与过点
M
(－2，0)
的直线
l：y=kx
+b
的图象交于
A，B
两点，如图所示，当
△ABO
的面积为
时，求直线
l
的解析式；
解：把
M
(－2，0)
代入
y
=
kx
+
b，
得
b=
2k，∴y
=
kx+2k，
O
A
y
B
x
M
l
N
解得
x
=－3
或
1.
y＝kx+2k，
∴
∴
B
(－3，－k)，A
(1，3k).
∵
△ABO的面积为
∴
2·3k·
+
2·k·
=
解得
∴
直线
l
的解析式为
y
=
x
+
．
O
y
x
M
l
N
A
(1，3k)
B
(－3，－k)
(3)
在第(2)题的条件下，当
x
取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
O
y
x
M
l
N
A
(1，3k)
B
(－3，－k)
解：当
x
＜－3或
0＜x＜1
时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【例8】病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后
2
小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为
4
毫克.
已知服药后，2
小时前每毫升血液中的含药量
y
(单位：毫克)与时间
x
(单位：小时)
成正比例；2
小时后
y
与
x
成反比例
(如图).
根据以上信息解答下列问题：
(1)
求当
0
≤
x
≤2
时，y
与
x
的函数解析式；
解：当
0
≤
x
≤2
时，y
与
x
成正比例函数关系．
设
y
＝kx，由于点
(2，4)
在线段上，
所以
4＝2k，k＝2，即
y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
考点五
反比例函数的实际应用
考点分析
(2)
求当
x
>
2
时，y
与
x
的函数解析式；
解：当
x
>
2时，y
与
x
成反比例函数关系，
设
解得
k
＝8.
由于点
(2，4)
在反比例函数的图象上，
所以
即
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3)
若每毫升血液中的含药量不低于
2
毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当
0≤x≤2
时，含药量不低于
2
毫克，即
2x≥2，
解得x≥1，∴1≤x≤2；
当
x>2
时，含药量不低于
2
毫克，
即
≥
2，解得
x
≤
4.
∴2<
x
≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3
(小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间
x
成反比例函数关系，已知第
12
分钟时，材料温度是14℃．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
针对训练
(1)
分别求出该材料加热和停止加热过程中
y
与
x
的函数关系式（写出x的取值范围）；
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
解：
y
=
4x
+
4
(0
≤
x
≤
6)，
(x＞6).
(2)
根据该食品制作要求，在材料温度不低于
12℃
的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
解：当y
=12时，y
=4x+4，解得
x=2．
由
，解得x
=14.
所以对该材料进行特殊处理所用的时间为
14－2=12
(分钟)．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
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人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案
[第26章反比例函数章节复习]
考点一：反比例函数的概念
考点分析
【例1】下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
【点睛】此类题考察反比例函数的概念.抓住反比例函数的三种表达式：y=或xy＝k或y＝kx－1
(k≠0)来判断．
【例2】若函数y＝(m－1)xm?2
是反比例函数，则m的值为_______.
【点睛】此类题考察反比例函数的概念.抓住反比例函数的三种表达式：y=或xy＝k或y＝kx－1
(k≠0)来进行计算求值．
针对训练
1.
已知点
P(1，－3)
在反比例函数的图象上，则
k
的值是
(
)
A.
3 B.
－3
C.
D.
-
2.
若是反比例函数，则
a
的值为
(
)
A.
1
B.
－1
C.
±1
D.
任意实数
3.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为____（无需确定x的取值范围）
考点二
反比例函数的图象和性质
考点分析
【例3】1.已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（
）
A.k＞2
B.k≥2
C.k≤2
D.k＜2
2.若函数y=的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m＞3
B.m＞-3
C.m＜-3
D.m＜3
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限，y随x的增大而增大．
【例4】如图所示是三个反比例函数，，的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是_________．（用“＜”连接）
【点睛】此类题主要考察当多个反比例函数图像在同一坐标系内时，K的大小与图像位置有关，|k|越大，图象越靠上．
【例5】
已知点
A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)
都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
(
)
A.
y3＜y1＜y2
B.
y1＜y2＜y3
C.
y2＜y1＜y3
D.
y3＜y2＜y1
【点睛】比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
针对训练
1.若反比例函数y=
的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为_________．
2.已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）是反比例函数y=-的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A.y1＜0＜y2
B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0
D.y2＜y1＜0
3.已知点
A
(x1，y1)，B
(x2，y2)
(x1＜0＜x2)都在反比例函数
(k<0)
的图象上，则
y1
与
y2
的大小关系
(从大到小)
为
.
考点三
反比例函数“k”
的几何意义
考点分析
【例6】
如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是
C1
和
C2，设点
P
在
C1
上，PA
⊥
x
轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为______.
【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义
针对训练
1.
如图，在平面直角坐标系中，点
M
为
x
轴正半轴
上
一点，过点
M
的直线
l∥
y
轴，且直线
l
分别与反比例函数
(x＞0)和
(x＞0)
的图象交于P，Q
两点，若
S△POQ=14，则
k
的值为______.
2.
如图，已知点
A，B
在双曲线上，AC⊥x
轴于点C，BD⊥y
轴于点
D，AC
与
BD
交于点
P，P
是
AC
的中点，若△ABP
的面积为6，则
k
=
.
考点四
反比例函数与一次函数综合
考点分析
【例7】
如图，已知
A
(－4，)，B
(－1，2)
是一次函数y
=kx+b
与反比例函数
(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x
轴于点
C，BD⊥y
轴于点
D．
根据图象直接回答：在第二象限内，当
x
取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(2)
求一次函数解析式及
m
的值；
(3)
P
是线段
AB
上的一点，连接
PC，PD，若△PCA和
△PDB
面积相等，求点
P
坐标.
针对训练
如图，设反比例函数的解析式为
(k＞0)．
若该反比例函数与正比例函数
y
=2x
的图象有一个交点
P
的纵坐标为
2，求
k
的值；
若该反比例函数与过点
M
(－2，0)
的直线
l：y=kx
+b
的图象交于
A，B
两点，如图所示，当
△ABO
的面积为时，求直线
l
的解析式；
(3)
在第(2)题的条件下，当
x
取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
考点五
反比例函数的实际应用
考点分析
【例8】病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后
2
小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为
4
毫克.
已知服药后，2
小时前每毫升血液中的含药量
y
(单位：毫克)与时间
x
(单位：小时)
成正比例；2
小时后
y
与
x
成反比例
(如图).
根据以上信息解答下列问题：
求当
0
≤
x
≤2
时，y
与
x
的函数解析式；
求当
x
>
2
时，y
与
x
的函数解析式；
若每毫升血液中的含药量不低于
2
毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
针对训练
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间
x
成反比例函数关系，已知第
12
分钟时，材料温度是14℃．
(1)
分别求出该材料加热和停止加热过程中
y
与
x
的函数关系式（写出x的取值范围）；
(2)
根据该食品制作要求，在材料温度不低于
12℃
的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
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