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第15章分式-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若分式方程无解，则的值为（
）
A．0
B．6
C．0或6
D．0或
2．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12
B．14
C．
D．9
3．已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．解分式方程，去分母得（
）
A．
B．
C．
D．
6．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍
B．扩大9倍
C．不变
D．扩大3倍
7．使分式的值为零的x的值是（ ）
A．x=2
B．x=±2
C．x=﹣2
D．x=﹣2或x=﹣1
8．若数使关于的分式方程的解为正数，则的取值正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．计算，则x的值是
A．3
B．1
C．0
D．3或0
10．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A．
B．且
C．
D．且
12．把分式中的，都扩大2倍，则分式的值（
）．
A．不变
B．扩大2倍
C．扩大4倍
D．缩小2倍
二、填空题
13．化简=_______．
14．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．
15．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_____．
16．若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为____．
三、解答题
17．先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
18．为了加快城镇化建设，某镇对一条道路进行改造，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作施工y天，完成此项工程，试用含a的代数式表示y；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
19．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
20．节日里，兄弟两人在60米的跑道上进行短距离比赛，两人从出发点同时起跑，哥哥到达终点时，弟弟离终点还差12米．
(1)若哥哥的速度为10米/秒，
①求弟弟的速度；
②如果两人重新开始比赛，哥哥从起点向后退10米，兄弟同时起跑，两人能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
(2)若哥哥的速度为m米/秒，
①弟弟的速度为________米/秒(用含m的代数式表示)；
②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退多少米？
21．先化简：﹣÷，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中选一个合适的值代入求值．
22．某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
23．列方程解应用题：为满足居民住房需求，某市政府计划购买180套小户型二手住房，重新装修后作为廉租住房提供给住房困难的家庭．现有甲、乙两家公司都具备装修能力，政府派出相关人员分别到这两家公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独完成这批装修任务比乙公司单独完成这批装修任务多15天；信息二：乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两家公司单独完成这批装修任务分别需要多少天？
24．某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有，两种机器人可供选择，已知型机器人比型机器人每小时多搬运30吨型，机器人搬运900吨所用的时间与型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
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人教版
初中数学
第十五章
分
式
复习课件
分式
分式
分式的定义及有意义的条件等
分式方程
分式方程的应用
步骤
一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根
类型
行程问题、工程问题、销售问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法
知识框架
要点梳理
一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式
：
当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
B≠0
B=0
3.分式值为零的条件：
当___________时，分式
的值为零.
A=0且
B≠0
4.分式的基本性质：
5.分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
2.分式的乘方法则：
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根（包括两方面
:?是否是分式方程的根；
?是否符合题意）；
写:答案.
考点一
分式的有关概念
例1
如果分式
的值为0，那么x的值为
.
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0,
解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1
≠0.
【答案】1
考点讲练
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
归纳总结
针对训练
2.如果分式
的值为零，则a的值为
.
2
1.若分式
无意义，则a的值
.
-3
考点二
分式的性质及有关计算
B
例2
如果把分式 中的x和y的值都扩大为原来
的3倍，则分式的值（ ）
A.扩大为原来的3倍
B.不变
C.缩小为原来的
D.缩小为原来的
针对训练
C
3.下列变形正确的是(
)
例3
已知x=
,y=
，求
值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
把x=
，y=
代入得
解：原式=
原式=
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
4.有一道题：“先化简，再求值:
，其中
”.小玲做题时把
错抄成
，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?
针对训练
解:
所以结果与x的符号无关
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将
的分子、分母颠倒过来，即求
的值，再利用公式变形求值就简单多了．
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
归纳总结
5.已知x2-5x+1=0，求出
的值.
解：因为x2-5x+1=0，得
即
所以
针对训练
考点三
分式方程的解法
例5
解下列分式方程：???????
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
归纳总结
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2），
去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
考点四
分式方程的应用
例6
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．
答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
D
8.
某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的
倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
解得
x=4.
经检验，故x=4原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五
本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：
，求
的值.
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可得
，代入约分即可求值.
解：∵
，
∴
.
∴
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
归纳总结
解：由
，得
，
把
代入可得原式=
9.已知
，求
的值.
本题还可以由已知条件设x=2m,y=3m.
针对训练
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第15章分式-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若分式方程无解，则的值为（
）
A．0
B．6
C．0或6
D．0或
【答案】C
【解析】
【分析】
存在两种情况会无解：
（1）分式方程无解，则得到的解为方程的增根；
（2）分式方程转化为一元一次方程后，方程无解
【详解】
情况一：解是方程的增根
分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18
移项并合并同类项得：(6－m)x=18
解得：
∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根
要想是分式方程的增根，则x=3或x=0
显然不可能为0，则
解得：m=0
情况二：转化的一元一次方程无解
由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18
要使上述一元一次方程无解，则6－m=0
解得：m=6
故选：C
【点睛】
本题考查分式无解的情况：（1）解分式方程的过程中，最常见的错误是遗漏检验增根，这一点需要额外注意；（2）一元一次方程ax+b=0中，当a=0，b≠0时，方程无解．
2．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12
B．14
C．
D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】
解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出．
3．已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①，可知，，若时，，正确；
对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.
【详解】
对于①，可知，，若时，，正确；
对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.
【点睛】
本题关键在于掌握方法，学会分式的运算.
4．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设读前一半时，平均每天读x页，等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间=14，据此列方程即可．
【详解】
解：设读前一半时，平均每天读x页，则读前一半用的时间为：，读后一半用的时间为：．
由题意得，+＝14，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
5．解分式方程，去分母得（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
方程两边同乘以即可得．
【详解】
两边同乘以得：
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的去分母法则，掌握去分母法则是解题关键．
6．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍
B．扩大9倍
C．不变
D．扩大3倍
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】
解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝
＝9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7．使分式的值为零的x的值是（ ）
A．x=2
B．x=±2
C．x=﹣2
D．x=﹣2或x=﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组,求出x的值即可.
【详解】
解：的值为零，可得:
且,
解得x=
2.
故选A.
【点睛】
本题是对分式值为零的条件的考查.分式值为零的条件是分式的分子为零,
分母不等于零.
8．若数使关于的分式方程的解为正数，则的取值正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．
【详解】
解：分式方程整理得：，
去分母得：2?a＝4x?4，
解得：x＝，
由分式方程的解为正数，得到>0，且≠1，
解得：a<6且a≠2．
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
9．计算，则x的值是
A．3
B．1
C．0
D．3或0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据实数的性质分类讨论即可求解．
【详解】
当x=0,x-2≠0时，
即x=0;
当x-2=1时，
即x=3
故选D．
【点睛】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．
10．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子,分母分解因式,观察互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而约分.
【详解】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：A、是最简分式，不符合题意;
B、不是最简分式，符合题意;
C、是最简分式，不符合题意;
D、是最简分式，不符合题意;
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分式化简中最简分式的判断.
11．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A．
B．且
C．
D．且
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先解方程求出x=m-3,方程的解是一个非正数，则m-3≤0,且当x+1=0时即m-2=0方程无解，因此得解．
【详解】
解：去分母得：m-2=x+1,
移项得：x=m-3
由方程的解是非正数得：
m-3≤0且m-3+1≠0
解得：m≤3且≠2
【点睛】
本题考查的是利用分式方程的解来解决其中的字母的取值范围问题，一定要考虑到分式方程必须有意义．
12．把分式中的，都扩大2倍，则分式的值（
）．
A．不变
B．扩大2倍
C．扩大4倍
D．缩小2倍
【答案】A
【解析】
【分析】
把分式中的x，y都扩大2倍，约分再与原式比较．
【详解】
解:
故选A．
【点睛】
解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
二、填空题
13．化简=_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
将的分母提出一个负号，变为，然后计算即可．
【详解】
原式====-1
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了分式的加减法，本题的关键是对第二项提出一个负号，做题过程中要注意符号变号问题．
14．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．
【答案】﹣2或﹣3
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,
由分式方程无解确定出x的值,
代入整式方程计算即可求出m的值.
【详解】
解：去分母得:,
解得:(3+m)x=2,
由分式方程无解,得到3+m=0,即m=-3
或，方程无解，解得：m=-2，
综上,m的值为-3或-2.
故答案为:
-3或-2.
【点睛】
本题主要考查分式方程的解，注意其无解的条件.
15．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了20分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间－乘车同学所用时间=小时．
【详解】
学生骑车速度为千米/时，根据题意，得：
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解答本题的关键．
16．若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为____．
【答案】0．
【解析】
【分析】
首先解分式方程，然后根据方程的解为正数，可得x＞0，据此求出满足条件的非负整数K的值为多少即可．
【详解】
∵，
∴．
∵x＞0，
∴，
∴，
∴满足条件的非负整数的值为0、1，
时，解得：x=2，符合题意；
时，解得：x=1，不符合题意；
∴满足条件的非负整数的值为0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
三、解答题
17．先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】（1）原式=，值为-1；（2）原式=，值为-5．
【解析】
【分析】
（1）括号内先通分进行分式加减运算，然后在与括号外的分式进行除法运算，化简后把数值代入即可求解；
（2）括号内先通分进行分式加减运算，然后在与括号外的分式进行除法运算，化简后根据使分式有意义的原则在所给的数中，选择一个合适的数值代入即可求解．
【详解】
（1）原式=
，
当，时，
原式=，
故原式=，值为-1；
（2）原式=
，
若使原式有意义，则，，即
所以x应取3，即当时，
原式=
故原式=，值为-5．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键，在代值进行计算时，切记所代入的数值要使原分式有意义．
18．为了加快城镇化建设，某镇对一条道路进行改造，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作施工y天，完成此项工程，试用含a的代数式表示y；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
【答案】（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天；（2）y＝20－；（3）甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程.
【解析】
【分析】
(1)设乙工程队单独完成此项工程需要x天,则甲工程队单独完成此项工程需要(x+30)天,20天甲的工作量加乙的工作量等于工作总量1列方程得:
20(＋)＝1,解得x1＝30，x2＝－20,然后进行检验确定满足题意的x,再计算x+30;
(2)设工作总量为1,则可得到甲、乙两工程队的工作效率分別为,,用剩余的工作量除以
甲、
乙两工程队的工作效率的和得到y;
(3)设甲工程队单独施工a天后,再由甲、
乙两工程队合作施工完成剩下的工程,利用(2)的结论得到1×a＋(1＋2.5)(20－)≤64,然后解不等式确定a的最小值.
【详解】
解：(1)设乙独做x天完成此项工程，则甲独做(x＋30)天完成此项工程．
由题意得：20(＋)＝1，
整理得：x2－10x－600＝0，
解得：x1＝30，x2＝－20，
经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意舍去，
x＋30＝60
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．
(2)由题意得：，
整理得：y＝20－.
(3)设甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，施工费不超过64万元．
由题意得：1×a＋(1＋2.5)(20－)≤64.
解得：a≥36.
答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用:列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:
如设和答叙述要完整,要写出单位等.要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.也考查了一元一次不等式的应用.
19．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【解析】
【分析】
设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】
解：
设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
20．节日里，兄弟两人在60米的跑道上进行短距离比赛，两人从出发点同时起跑，哥哥到达终点时，弟弟离终点还差12米．
(1)若哥哥的速度为10米/秒，
①求弟弟的速度；
②如果两人重新开始比赛，哥哥从起点向后退10米，兄弟同时起跑，两人能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
(2)若哥哥的速度为m米/秒，
①弟弟的速度为________米/秒(用含m的代数式表示)；
②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退多少米？
【答案】（1）①弟弟的速度是8米/秒；②不能同时到达，哥哥先到达终点；（2）①0.8m；②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退15米
【解析】
【分析】
(1)①根据时间=路程速度,
及哥哥跑60米的时间=弟弟跑（60-12）米的时间列出方程，求解即可；
②利用时间=路程速度，可分别求出哥哥、弟弟到达终点的时间，比较后即可得出结论;
(2)①根据时间=路程速度,
及哥哥跑60米的时间=弟弟跑（60-12）米的时间;
②设哥哥后退y米，根据时间=路程速度，及哥哥跑（60+y）米的时间=弟弟跑60米的时间列出方程，即可得出关于y的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【详解】
（1）①设弟弟的速度为x米/秒，则
解得：x=8，
经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意
答：弟弟的速度是8米/秒；
②哥哥跑完全程所需要的时间为(60+10)÷10=7
(秒)，
弟弟跑完全程所需要的时间为(秒)>7秒，
∴哥哥先到达终点；
(2)①设弟弟的速度为x米/秒，则
解得：
故答案为：；
②设哥哥后退y米，由题意得：
∴
∴
∴y=15
答：如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退15米．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是:根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出分式方程.
21．先化简：﹣÷，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中选一个合适的值代入求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算化简原式，再代入使原分式有意义的值进行计算．
【详解】
解：原式＝
∵x＝﹣3或±1时，原式无意义，
∴取x＝0时，原式＝2．
【点睛】
此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
22．某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
【答案】（1）甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；（2）应该选择甲工程队承包该项工程．
【解析】
【分析】
（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
【详解】
（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天.
根据题意得：
方程两边同乘以，得
解得：
经检验，是原方程的解.
∴当时，.
答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.
（2）因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：
方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：（万元）；
方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：（万元）；
方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：（万元）.
∵∴应该选择甲工程队承包该项工程.
【点睛】
本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．列方程解应用题：为满足居民住房需求，某市政府计划购买180套小户型二手住房，重新装修后作为廉租住房提供给住房困难的家庭．现有甲、乙两家公司都具备装修能力，政府派出相关人员分别到这两家公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独完成这批装修任务比乙公司单独完成这批装修任务多15天；信息二：乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两家公司单独完成这批装修任务分别需要多少天？
【答案】甲公司单独完成任务需要45天，乙公司单独完成任务需要30天
【解析】
【分析】
设甲公司单独完成这批装修任务需要天，则乙公司单独完成任务需要天，根据乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍建立方程求出其解即可．
【详解】
设甲公司单独完成这批装修任务需要天，则乙公司单独完成任务需要天，根据题意，得
，
解得：．
经检验：是所列方程的解，且符合题意．
乙公司单独完成任务需要的时间为：（天．
答：甲公司单独完成任务需要45天，乙公司单独完成任务需要30天．
【点睛】
本题考查了工程问题的数量关系工作总量工作效率工作时间的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据乙公司平均每天装修的数量是甲公司平均每天装修数量的1.5倍建立方程是关键．
24．某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有，两种机器人可供选择，已知型机器人比型机器人每小时多搬运30吨型，机器人搬运900吨所用的时间与型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
【答案】（1）型机器人每小时搬运90吨化工原料，型机器人每小时搬运60吨化工原料；（2）A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【解析】
【分析】
(1)
设B型机器人每小时搬运x吨化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)吨化工原料，根据A型机器人搬运900吨所用的时间与B型机器人搬运600吨所用的时间相等建立方程求出其解就可以得出结论.
(2)
设A型机器人工作t小时，根据这批化工原料在11小时内全部搬运完毕列出不等式求解．
【详解】
解：（1）设型机器人每小时搬运吨化工原料，则型机器人每小时搬运吨化工原料，
根据题意，得
，解得．
经检验，是所列方程的解．
当时，．
答：型机器人每小时搬运90吨化工原料，型机器人每小时搬运60吨化工原料；
（2）设型机器人工作小时，
根据题意，得，解得．
答:
A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【点睛】
本题考查的是分式方程应用题和列不等式求解问题，找相等关系式是解题关键，（1）根据A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等建立方程，分式方程应用题的解需要双检，一检是否是方程的根，二检是否符合题意；（2）总工作量-A型机器人的工作量≤B型机器人11小时的工作量，列不等式求解．
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精品试卷·第
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