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第22章二次函数-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若A(﹣4，y1)，B(﹣1，y2)，C(0，y3)为二次函数y＝﹣(x+2)2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＝y3
B．y3＝y1＜y2
C．y3＜y1＜y2
D．y1＝y2＜y3
2．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．ac＜0
B．2a+b=0
C．4a+2b+c＞0
D．对于任意x均有
3．如图，抛物线经过点，且对称轴为直线.有四个结论：①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值.其中正确的结论是（
）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
4．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM、ON、MN.下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2＋CM2＝MN2；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是.其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：??①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
6．如图，已知二次函数的部分图象，由图象可估计关于的一元二次方程的两个根分别是，
A．-1.6
B．3.2
C．4.4
D．5.2
7．将下面的某一点向下平移1个单位后，它在函数y＝x2+2x﹣3的图象上，这个点是( )
A．(1，1)
B．(2，﹣3)
C．(1，﹣3)
D．(2，﹣1)
8．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（
）．
A．
B．或
C．
D．
10．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2
B．4＜x＜5
C．x＜-1或x＞5
D．x＜-1或x＞4
11．如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（
）
A．3
B．?3
C．?4
D．?5
12．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流如图，水流喷出的高度米与水平距离米之间的关系式是，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
14．将抛物线向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_____．
15．小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+…+x20＝2019，当代数式（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x20）2取得最小值时，x的值为___________.
16．已知二次函数y＝2x2+2018，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取2x1+2x2时，函数值为_______．
三、解答题
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值．
18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏．
（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
19．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
20．二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与y轴交点的坐标．
21．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
22．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度/℃
……
－4
－2
0
2
4
4.5
……
植物每天高度增长量/mm
……
41
49
49
41
25
19.75
……
这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
23．某蛋糕房推出一种新品蛋糕，每个成本为50元经过一段时间的售卖发现，当单价定为90元的时候，可卖100个，而单价每降低1元，就会多卖出10个
（1）写出销售量
(个)与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）若设销售这种蛋糕的利润为（元），请写出与销售单价
（元）之间的函数关系式，并计算当销售单价定为多少元时该蛋糕房可获得最大利润(不需要计算最大利润)；
（3）若想尽可能地降低成本，并使该蛋糕房获利6000元，应将销售单价定为多少元?
24．某种蔬菜的售价（元）与销售月份之间的关系如图所示，成本（元）与销售月份之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价成本）
（2）设每千克该蔬菜销售利润为，请列出与之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
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第22章二次函数-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若A(﹣4，y1)，B(﹣1，y2)，C(0，y3)为二次函数y＝﹣(x+2)2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＝y3
B．y3＝y1＜y2
C．y3＜y1＜y2
D．y1＝y2＜y3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征,将A（-4,y1）,B（-1,y2）,C（0,y3）分别代入二次函数的关系式,分别求得y1,y2,y3的值,最后比较它们的大小即可．
【详解】
解：∵A（-4,y1）,B（-1,y2）,C（0,y3）为二次函数y=-（x+2）2+3的图象上的三点,∴y1=-4+3=-1,即y1=-1,
y2=-1+3=2,即y2=2,
y3=-4+3=-1,即y3=-1,
∴y3=y1＜y2,
故选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.
2．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．ac＜0
B．2a+b=0
C．4a+2b+c＞0
D．对于任意x均有
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线开口向上得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则ac＜0；由于抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-=1，所以2a+b=0；由于x=2时，y＜0，则4a+2b+c＜0；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质得当x=1时，y的最小值为a+b+c，所以ax2+bx+c≥a+b+c，即ax2+bx≥a+b．
【详解】
A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以ac＜0，所以A选项的说法正确；
B、∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x==1，所以2a+b=0，所以B选项的说法正确；
C、∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以C选项的说法错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y的最小值为a+b+c，∴对于任意x均有ax2+bx+c≥a+b+c，即ax2+bx≥a+b，所以D选项的说法正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
3．如图，抛物线经过点，且对称轴为直线.有四个结论：①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值.其中正确的结论是（
）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
【答案】D
【解析】
【分析】
利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点有两个对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对③进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对④进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（3，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-m的点的对称点的横坐标为1+m，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x=1-m时的函数值小于x=1+n时的函数值，故④正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM、ON、MN.下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2＋CM2＝MN2；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是.其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
①由正方形的性质得出CD=BC，∠BCD=90°，证出∠BCN=∠CDM，由ASA即可得出结论；
②由①得CM=BN，根据∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB证明△OCM≌△OBN得OM=ON，∠COM=∠BON，进而证明∠DOM=∠CON，再根据DO=CO可证△CON≌△DOM（SAS）；
③根据AB=BC，CM=BN得BM=AN，在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，从而AN2+CM2=MN2；
④先证明四边形BMON的面积是定值1，根据△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，得△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，求出△MNB的面积最大值，从而得出结论.
【详解】
∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故③正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x=，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1-=，故④正确；
综上所述，正确结论的个数是4个，
故选D．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．
5．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：??①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】D
【解析】
【分析】
直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．
【详解】
解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；
对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；
对于③，，当x=0时，，③错误；
对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．
故选D．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题．
6．如图，已知二次函数的部分图象，由图象可估计关于的一元二次方程的两个根分别是，
A．-1.6
B．3.2
C．4.4
D．5.2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．
【详解】
由抛物线图象可知其对称轴为x=3，
又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，
那么两根满足2×3=x1+x2，
而x1=1.6，
∴x2=4.4．
故选C．
【点睛】
此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．
7．将下面的某一点向下平移1个单位后，它在函数y＝x2+2x﹣3的图象上，这个点是( )
A．(1，1)
B．(2，﹣3)
C．(1，﹣3)
D．(2，﹣1)
【答案】A
【解析】
【分析】
将A,B,C,D四个选项中点的纵坐标减去1,得到新的点的坐标,再代入二次函数解析式中,能够使等式成立的即为所求点.
【详解】
A选项中点
(1,1)向下平移1个单位后为(1,0),将(1,0)代入y＝x2+2x﹣3得:0=1+2-3,等式成立,因此A选项正确,
B
选项中点(2,﹣3)向下平移1个单位后为(2,-4),将(2,-4)代入y＝x2+2x﹣3得:-4=4+8-3,等式不成立,因此B选项不正确,
C
选项中点(1,﹣3)向下平移1个单位后为(1,-4),将(1,-4)代入y＝x2+2x﹣3得:-4=1+2-3,等式不成立,因此C选项不正确,
D选项中点.
(2,﹣2)向下平移1个单位后为(2,-2),将(1,0)代入y＝x2+2x﹣3得:-2=4+8-3,等式不成立,因此D选项不正确,
故选A.
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象上点的特征.
8．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
9．已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（
）．
A．
B．或
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b无解．
【详解】
解：∵二次函数的图象不经过第三象限，
∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意，
∴，
解得：，
当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，
∴，
解得：，
当x=0时，，
解得：b＞1或b＜-1，
对称轴，
解得：b＞2，
∴b无解，
综上，，
故选A.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
10．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2
B．4＜x＜5
C．x＜-1或x＞5
D．x＜-1或x＞4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【详解】
∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
11．如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（
）
A．3
B．?3
C．?4
D．?5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系可得：x1+x2=4，x1?x2=-k，所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4k，AB的长度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到k的值．
【详解】
设方程0=-x2-4x+c的两个根为x1和x2，
∴x1+x2=4，x1?x2=-c，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4c，
∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即：，
又∵AB=2
∴=2，
解得，k=-3.
故选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
12．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
A．B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数图象和二次函数图象性质,再根据每一选项中a、b的符号是否相符,逐一判断．
【详解】
解：A选项,由抛物线可知,a＜0,b＜0,由直线可知,a＜0,b＜0,故本选项正确,
B选项,由抛物线可知a＜0,由直线可知a＞0,相矛盾,故本选项错误,
C选项,由抛物线可知,a＞0,b＜0,由直线可知,a＞0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,
D选项,由抛物线可知,a＞0，b＞0,由直线可知,a＜0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数,二次函数的图象与系数的关系．
二、填空题
13．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流如图，水流喷出的高度米与水平距离米之间的关系式是，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数解析式中y=0时x的值，结合x＞0可得最终的x的值，从而得出OB的长．
【详解】
解：在
中，当y=0时，
，
解得
，
，
，
，即
，
圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义．
14．将抛物线向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先确定抛物线y＝x2﹣2的二次项系数a=
1，顶点坐标为（0，﹣2），向上平移一个单位后（0，﹣1），翻折后二次项系数a=
-1，顶点坐标变为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．
【详解】
抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（0，1），
因为新抛物线的开口向下，
所以新抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．
故答案为：y＝﹣x2+1．
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折口开口方向改变，但是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键．
15．小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+…+x20＝2019，当代数式（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x20）2取得最小值时，x的值为___________.
【答案】100.95
【解析】
【分析】
先设出y=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2，然后进行整理得出y=20x2-2（x1+x2+x3+…+x20）x+（x12+x22+x32+…+x202），再求出二次函数的最小值即可．
【详解】
解：设y=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2
=x2-2xx1+x12+x2-2xx2+x22+x2-2xx3+x32+…+x2-2xx20+x202
=20x2-2（x1+x2+x3+…+x20）x+（x12+x22+x32+…+x202），
=20x2-2×2019x+（x12+x22+x32+…+x202），
则当x=时，（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2取得最小值，
即当x=100.95时，（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2取得最小值．
故答案为100.95．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，关键是设y=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2，整理出一个二次函数．
16．已知二次函数y＝2x2+2018，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取2x1+2x2时，函数值为_______．
【答案】2018
【解析】
【分析】
先判断出二次函数y＝2x2+2018的对称轴为y轴,然后根据二次函数的对称性确定出x1+x2＝0,然后代入函数解析式计算即可得解．
【详解】
解：∵二次函数y＝2x2+2018的对称轴为y轴,x分别取x1,x2时函数值相等,
∴x1+x2＝0,
∴当x取2x1+2x2时,函数值y＝2018,
故答案为:2018．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式和熟记性质并求出x1+x2＝0．
三、解答题
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值．
【答案】（1）；（2）①点P的坐标为（，1）；②
【解析】
【分析】
（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的倍，建立方程求解即可；
②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：（1）在中，
令x=0，得y=1；令y=0，得x=2，
∴A（2，0），，B（0，1）．
∵抛物线经过A、B两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）①设点P的坐标为（，），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E．
∴
∵
∴
∴，
∵点P在第一象限，所以
∴点P的坐标为（，1）
②设抛物线与x轴的另一交点为C，则点C的坐标为（，）
连接PC交对称轴一点，即Q点，则PC的长就是QP+QA的最小值，
所以QP+QA的最小值就是．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，对称性，解本题的关键是求抛物线解析式．
18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏．
（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）20m；
（2）当a≥24时，
S最大值为288平方米；当0＜a＜24时，
S最大值为.
【解析】
【分析】
（1）设AD为x,则AB为，根据面积公式列出一元二次方程即可求解；
（2）设S=AD×AB，根据二次函数及自变量的取值范围即可求解.
【详解】
解：（1）设AD为x,则AB为，
依题意得=280，
解得x=20，x=28＞a，故舍去，
∴AD的长为20m；
（2）设矩形菜园ABCD面积S=AD×AB=
当a≥24时，则当x=24时，S最大值为288平方米；
当0＜a＜24时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，
所以，当x=a时，S最大值为.
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
19．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
【答案】水管长为2.25m．
【解析】
【分析】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
20．二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与y轴交点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（0，3）．
【解析】
【分析】
（1）将已知A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）令x=0，即可求得．
【详解】
（1）∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过（-1，0）（3，0）两点．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3；
（2）令x=0，则y=3，
∴该二次函数图象与y轴交点的坐标为（0，3）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【答案】（1）y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【解析】
【分析】
（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】
（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30）．
又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣30）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣4860．
∵x﹣30≥0，∴x≥30．
又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴30≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
22．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度/℃
……
－4
－2
0
2
4
4.5
……
植物每天高度增长量/mm
……
41
49
49
41
25
19.75
……
这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
【答案】（1）；（2）－1℃；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据表中数据可知应选择二次函数，再根据待定系数法求解即可；
（2）先把（1）中求得的函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据“实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm”可得“植物每天高度增长量超过25mm”，再根据表中数据的特征即可作出判断.
（1）选择二次函数，设，
得，解得
∴关于的函数关系式是．
不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数；
（2）由（1），得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3）．
考点：二次函数的应用
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
23．某蛋糕房推出一种新品蛋糕，每个成本为50元经过一段时间的售卖发现，当单价定为90元的时候，可卖100个，而单价每降低1元，就会多卖出10个
（1）写出销售量
(个)与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）若设销售这种蛋糕的利润为（元），请写出与销售单价
（元）之间的函数关系式，并计算当销售单价定为多少元时该蛋糕房可获得最大利润(不需要计算最大利润)；
（3）若想尽可能地降低成本，并使该蛋糕房获利6000元，应将销售单价定为多少元?
【答案】（1）；（2），当销售单价定为75元时该蛋糕房可获得最大利润；（3）应将销售单价定为80元
【解析】
【分析】
（1）单价每降低1元，就会多卖出10个，售价为元时，售价降低元，则多卖，据此可得关系式；
（2）利用每个蛋糕利润乘以销售量即可得出w与x之间的关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润时的售价；
（3）w=6000时，解一元二次方程得出售价，再根据成本的函数关系式，确定成本最低时的售价．
【详解】
解：（1）
（2）由题意，得
当时，
取得最大值，
即当销售单价定为75元时该蛋糕房可获得最大利润．
（3）当时，有，
解得．
当销售量为时，设总成本为，则
．
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值．
∴应将销售单价定为80元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握销售问题中的等量关系，建立二次函数模型是解题的关键．
24．某种蔬菜的售价（元）与销售月份之间的关系如图所示，成本（元）与销售月份之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价成本）
（2）设每千克该蔬菜销售利润为，请列出与之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）P=，5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大为元；（3）4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克．
【解析】
【分析】
（1）找出x=6时，y1、y2的值，根据利润=售价-成本进行计算即可；
（2）利用待定系数法分别求出y1、y2关于x的函数关系式，然后根据P=y1-y2得到关于x的函数关系式，然后利用二次根式的性质进行求解即可；
（3）求出当x=4时，P的值，设4月份的销售量为t千克，则5月份的销售是为（t+20000）千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
（1）当x=6时，y1=3，y2=1，
∵y1-y2=3-1=2，
∴6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；
（2）设y1=mx+n，y2=a(x-6)2+1，
将（3，5）、（6，3）分别代入y1=mx+n，得
，
解得：，
∴；
将（3，4）代入y2=a(x-6)2+1，得，
4=a（3-6）2+1，
解得：a=，
∴，
∴P==，
∵，
∴当x=5时，P取最大值，最大值为，
即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大值为元；
（3）当x=4时，P==2，
设4月份的销售量为t千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克，
根据题意得：，
解得：t=40000，
∴t+20000=600000，
答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，综合性较强，弄清题意，读懂图象，灵活运用相关知识是解题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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人教版
初中数学
第二十二章
二次函数
复习课件
二次函数
二次函数的概念
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数的图象与性质
知识框架
不共线三点确定二次函数的表达式
二次函数的应用
要点梳理
一般地，形如
(a，b，c是常数，
)的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a
≠0
[注意]
(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
1.二次函数的概念
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口
方向
对称轴
顶点坐标
最值
a＞0
a＜0
增减性
a＞0
a＜0
2.二次函数的图象与性质：
a＞0
开口向上
a
＜
0
开口向下
x=h
(h
,
k)
y最小=k
y最大=k
在对称轴左边,x↗
y↘;在对称轴右边,
x↗
y↗
在对称轴左边,x↗
y↗;在对称轴右边,
x↗
y↘
y最小=
y最大=
3.二次函数图像的平移
y＝ax2
左、右平移
左加右减
上、下平移
上加下减
y＝-ax2
写成一般形式
沿x轴翻折
4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c
(a≠
0)
2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：有两个交点，有两个重合的交点，没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的根
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0根的判别式（b2-4ac）
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac
>
0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
6.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
考点一
求抛物线的顶点、对称轴、最值
考点讲练
例1
抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
，
，
则顶点坐标为(1,2)．
(1,2)
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
C
针对训练
考点二
二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
例2
二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1A.
y1≤y2
B．y1C．y1≥y2
D．y1>y2
【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵x1.
故选B.
B
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（
）
A.
y=
B.y=x-1
C.
D.y=-3x2
D
针对训练
考点三
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与
系数a，b，c的关系
例3
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图像上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故选D.
方法总结
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
针对训练
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即b≤1，故选择D
.
考点四
抛物线的几何变换
例4
将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移
2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝
(x－4)2－2.故选B.
3.若抛物线
y=－7(x+4)2－1平移得到
y=－7x2，则可能（
）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
B
针对训练
考点五
二次函数表达式的确定
例5
已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c,
由题意得：
解得,
a=2,b=－3,c=5.
∴
所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
相同?
a=1或－1
又?顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5，
?
顶点为(1,5)或(1,－5)
所以其表达式为:
(1)
y=(x－1)2+5
(2)
y=(x－1)2－5
(3)
y=－(x－1)2+5
(4)
y=－(x－1)2－5
针对训练
例6
若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）
A．x1=0，x2=6
B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7
D．x1=﹣1，x2=7
解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴
=3，解得m=－6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．
故选D．
考点六
二次函数与一元二次方程
例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
考点七
二次函数的应用
解：(1)根据题意，得
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
针对训练
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，由图象的点的含义，得
解得a=-1，b=14.
故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x.
(2)
y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）
(3)
没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.
例8 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.
∴BF=2x-30.
（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
所以S△DEF-S△GBF=
DE2-
BF2=
x2-
(2x-30)2=
x2+60x-450.
（3）S=
x2+60x-450=
(x-20)2+150.
∵a=
＜0,15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，
最大值为150.
12.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
25m
针对训练
解：（1）由题意，得羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm，则与墙相对的一边长为(40-2x)m，羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，(0＜x＜20).
因为0＜10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200.
故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.
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