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人教版
初中数学
第二十三章
旋
转
复习课件
旋转的概念
旋转中心
旋转方向
旋转角度
旋转的三要素
基本
性质
①旋转前后的图形全等
②对应点到旋转中心的距离相等
旋
转
图形的旋转
③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
旋转
作图
定
找
旋
连
中心对称
中心对称
定义
旋转180
°
性质
对称中心是对称点连线段的中点（即两个对称点与对称中心三点共线
中心对称图形
性质
经过对称中心的直线把原图形面积平分
知识框架
一、旋转的特征
1．旋转过程中，图形上______________________
按
旋转
．
2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是
________，对应点到旋转中心的距离都________．
3．旋转前后对应线段、对应角分别____，图形的大小、形状_________．
每一点都绕旋转中心
同一旋转方向
同样大小的角度
旋转角
相等
相等
不变
要点梳理
1．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
180°
二、中心对称
2．中心对称的特征
中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过
，并且被对称中心________．
3.中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
对称中心
平分
考点一
旋转的概念及性质的应用
例1
（1）如图a，将三角形AOB绕点O按逆时针方
向旋转60
°后得到三角形COD，若∠AOB=15
°,
则∠AOD的度数是（
）
A.
15
°
B.
60
°
C.
45
°
D.
75
°
A
B
O
D
C
图a
C
【解析】关键找出旋转角∠BOD=60
°;
考点讲练
(2)
如图b，4
×4的正方形网格中，
三角形MNP绕某
点旋转一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋转中
心是（
）
A.
点A
B.
点B
C.
点C
D.
点D
N1
M1
N
M
P1
D
P
A
B
图b
C
B
【解析】作线段MM1与PP1
的垂直平分线，交点便是旋转中心.
1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形AOB绕点O逆时针旋转90°得到三角形COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为________．
针对训练
2.如图，在正方形网格中，三角形ABC的顶点都在格点(小正方形的顶点)上，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB1C1.请你作出三角形AB1C1.
解析：作∠CAC′＝90°，且AC＝AC′，得到C的对应点C′，由同样的方法得到其余各点的对应点．
解：如图所示：
(1)画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；
(2)旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向(顺时针或逆时针)．
方法总结
考点二
旋转变换
例2
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
解析：（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；
（2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
F
解：（1）补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得，DC=FC，∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF=180°，
∴∠EFC=90°，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC=∠EFC=90°．
针对训练
3.如图，在等腰Rt△ABC中，点O是AB的中点，AC=4,
将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与AC相交，交点为D,另一条直角边与BC相交，交点为E,则等腰直角三角形ABC的边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE长度之和等于
.
A
B
C
D
E
O
4
例3
如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2)
、B(1,3).
x
y
O
A
B
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90
°后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2,B2的坐标.
x
y
O
A
B
A1
B1
A2
B2
解析
(1)因为旋转角90
°，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的位置；（2）先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次连结得到所要画的图形.
易错提示
作旋转图形不要搞错方向.
解：(1)如图所示；
（2）如图所示，点A2的坐标为(-3，-2)，B2的坐标为(-1，-3).
例4
如图，有一张不规则纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你用无刻度的直尺画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由.
A
B
C
F
E
D
解：
矩形FABE是中心对称图形，矩形
BCDE也是中心对称图形，所以经过它们中心的直线把图形分成全等的两部分，面积相等.如图直线l既经过矩形FABE的中心，又经过菱形BCDE的中心，所以它
把纸片分成面积相等的两部分.
l
4.如图，从前一个农民有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘.财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也平分.财主的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？
解析
先找到平行四边形对角线的交点A，过点A、B两点作一条直线可以了.
A
B
针对训练
考点三
中心对称
例5
下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A
B
C D
D
【解析】
图A.图B都是轴对称图形，图C是中心对称图形，图D既是中心对称图形也是轴对称图形.
中心对称图形和轴对称图形的主要区别在于一个是绕一点旋转，另一个是沿一条直线对折.这是易错点，也是辨别它们不同的关键.
方法总结
5.下列说法不正确的是（
）
A.任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形
B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条.
B
针对训练
例6：如图所示的图案是一个轴对称图形(不考虑颜色)，直线m是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r，求你能借助轴对称的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法.
m
考点四
图形变换的简单应用
解：以直线m为对称轴，把m左边绿色部分反射到m的右边，那么它们的像恰好填补了右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是
.
m
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第23章旋转-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．2020年是我国完成第一个100年奋斗目标的关键之年，到2021年我国全面建成小康社会．人民生活水平越来越高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（??????）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为(
)
A．
B．
C．
D．
5．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2，下面四个结论：①BF=；②∠CBF=45°；③△BEC的面积=△FBC的面积；④△ECD的面积为，其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，将长为，宽为的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．若点关于原点对称的点是点，点关于轴对称的点是点，则点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是(
)
A．
B．
C．或
D．或
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，则下列选项中错误的是（
）
A．∠BAD＝∠CAE
B．∠CDE＝90°
C．∠ABC＝45°
D．∠ACB＝120°
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（
）
A．3
B．2.5
C．4
D．2
11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点E在BC上，CE＝2，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到EF，连接DF，然后把△DEF沿着DE翻折得到△DEF′，连接AF′，BF′，取AF′的中点G，连接DG，则DG的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．
二、填空题
13．图形之间的变换关系包括平移、______、轴对称以及它们的组合变换．
14．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距__________公里．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
16．如图，正方形ABCD的顶点B，C的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，0），将正方形ABCD沿x轴正半轴方向翻滚，翻滚90°为一次变换，如果这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点A的坐标为_____．
三、解答题
17．已知点
与点关于轴对称，点与点关
于原点对称．
（1）求点、、、的坐标；
（2）顺次联结点
、、、，求所得图形的面积．
18．如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC=90?，将三角形ABC绕着点B逆时针旋转一定角度得到三角形BEF，EF交BC于点G．
（1）若，当∠ABE等于多少度时，；
（2）若，，，当时，
①求BG的长；
②连接AF交BE于点O，连接AE（如图2），设三角形EOF的面积为m，求三角形AEO的面积（用含m的代数式表示）
19．如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
20．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是
，位置关系是
；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
21．如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．
（1）当时，则旋转角的大小为________；
（2）当在OC与OB之间时，求的值；
（3）在旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数．
22．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α
（0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；
（3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值．
23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
24．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转中心是点
，旋转角度是 度；
（2）若连结EF，则△AEF是
三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．
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第23章旋转-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，即可分析求解．
【详解】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，
∴AB＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是关键．
2．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（
）
A．
B．C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
考点：旋转对称图形．
3．2020年是我国完成第一个100年奋斗目标的关键之年，到2021年我国全面建成小康社会．人民生活水平越来越高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（??????）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A是中心对称图形，C、D是轴对称图形，B既不是中心对称图形也不是轴对称图形
故选A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．
4．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，，
∴AB=
=4，
∴BD=
，
C′D=2，
∴BC′=BD-C′D=．
故选B．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键．
5．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2，下面四个结论：①BF=；②∠CBF=45°；③△BEC的面积=△FBC的面积；④△ECD的面积为，其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得到△BCF为等腰直角三角形，故可判断①②，根据三角形的面积公式即可判断③，根据直线DF垂直平分AB可得EH是△ABC的中位线，各科求出EH的长，再根据三角形的面积公式求出△ECD的面积即可判断④.
【详解】
∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CB=FC，∠BCF=90°，∴△BCF为等腰直角三角形，故∠CBF=45°，②正确；
∵BC=2，∴FC=2，∴BF==，①正确；
过点E作EH⊥BD，
∵△BEC和△FBC的底都为BC，高分别为EH和FC，且EH≠FC，
∴△BEC的面积≠△FBC的面积，③错误；
∵直线DF垂直平分AB，
∴AF=BF=，∴CD=AC=2+
∵直线DF垂直平分AB，
则E为AB中点，又AC⊥BC，EH⊥BC，∴EH是△ABC的中位线，
∴EH=AC=1+，
△ECD的面积为×CD×EH=，故④正确，
故选C.
【点睛】
此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知全等三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形中位线的判定与性质.
6．如图，将长为，宽为的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，求出AB的解析式，得到C、D两点坐标，从而得到CD中点E的坐标，代入正比例函数表达式求出k即可．
【详解】
解：如图，设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，
可知A（2.5，3），B（1，1.5），
设直线AB的解析式为y=k′x+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+0.5，
当x=0，则y=0.5，当x=3，则y=3.5，
∴C（3，3.5），D（0，0.5），
取线段CD的中点E，则E（1.5，2），
∵CF∥OD，
∴∠EDO=∠ECF，
∵∠DEO=∠CEF，CE=DE，
∴△DEO≌△CEF（ASA），
∴S△DEO=S△CEF，
∴直线OE等分所组成的图形的面积，
把E（1.5，2）代入y=kx，解得：k=，
故选D．
【点睛】
此题考查了中心对称图形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式以及矩形的性质，此题难度较大．
7．若点关于原点对称的点是点，点关于轴对称的点是点，则点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】
解：∵在直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，
∴点关于原点对称的点坐标为，
∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴对称的点的坐标为．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是确定点的坐标，掌握点关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标变化规律是解此题的关键．
8．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是(
)
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质求出BD、BC的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．
【详解】
四边形OABC是正方形，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，把逆时针旋转，此时旋转后点B的对应点落在y轴上，旋转后点D的对应点落在第一象限
由旋转的性质得：
点的坐标为
（2）如图，把顺时针旋转，此时旋转后点B的对应点与原点O重合，旋转后点D的对应点落在x轴负半轴上
由旋转的性质得：
点的坐标为
综上，旋转后点D的对应点的坐标为或
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，则下列选项中错误的是（
）
A．∠BAD＝∠CAE
B．∠CDE＝90°
C．∠ABC＝45°
D．∠ACB＝120°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质及等腰三角形的性质逐一判断即可得出答案．
【详解】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，
，
，
∴，
∴A，B，C选项正确．
而∠ACB＝120°推不出来，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（
）
A．3
B．2.5
C．4
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，再通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM=MP+CP=HE+EC=2+2=4，
【点睛】
本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图（见解析），先利用勾股定理、旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后利用勾股定理分别可得，由此即可得出答案．
【详解】
如图，设AC与BE的交点为点O，连接CE，
，
，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，
，
是线段AC的垂直平分线，
，
在中，，
在中，，
则，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点E在BC上，CE＝2，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到EF，连接DF，然后把△DEF沿着DE翻折得到△DEF′，连接AF′，BF′，取AF′的中点G，连接DG，则DG的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图中，作于点，于．根据已知条件得到，，根据三角形的中位线的选择定理得到，得到，根据全等三角形的选择得到，，求得，得到，根据三角形中位线的性质定理即可得到结论．
【详解】
解：如图中，作于点，于．
，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点为的中点，取的中点，
，
；
故选：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题
13．图形之间的变换关系包括平移、______、轴对称以及它们的组合变换．
【答案】旋转
【解析】
【分析】
图形变换的形式包括平移、旋转和轴对称．
【详解】
图形变换的形式，分别为平移、旋转和轴对称
故答案为：旋转．
【点睛】
本题考查了图形变换的几种形式，分别为平移、旋转和轴对称，以及他们的组合变换．
14．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距__________公里．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案．
【详解】
解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，
∴小明、小辉两家到学校距离相等，
∵小明家距学校2公里，
∴他们两家相距：4公里．
故答案为4．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据已知得出小明、小辉两家到学校距离相等是解决问题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）A1（5，3）、B1（1，2）、C1（3，1）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置进而得出答案；
(2)直接利用（1）中所求进而得出答案.
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：A1（5，3）、B1（1，2）、C1（3，1）．
【点睛】本题主要考查图形旋转具有的性质.
16．如图，正方形ABCD的顶点B，C的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，0），将正方形ABCD沿x轴正半轴方向翻滚，翻滚90°为一次变换，如果这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点A的坐标为_____．
【答案】（2016，0）
【解析】
【分析】
由题意A1（0，1），A2（1，0），A3（1，0），A4（2，1），…，四次一个循环，用2019÷4=504…3，推出A2019在x轴上，横坐标=504×4-2+2=2016．
【详解】
由题意A1（0，1），A2（1，0），A3（1，0），A4（2，1），…，四次一个循环，
∵2019÷4=504…3，
∴A2019在x轴上，横坐标=504×4﹣2+2=2016，
∴A2019（2016，0）．
故答案为（2016，0）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题
17．已知点
与点关于轴对称，点与点关
于原点对称．
（1）求点、、、的坐标；
（2）顺次联结点
、、、，求所得图形的面积．
【答案】（1）A（-1，2），B（-1，-2），C（3，-1），D（-3，1）；（2）12
【解析】
【分析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A-D-B-C-A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【详解】
解：（1）∵点A（-1，3a-1）与点B（2b+1，-2）关于x轴对称，
∴2b+1=-1，3a-1=2，
解得a=1，b=-1，
∴点A（-1，2），B（-1，-2），C（3，-1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（-3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积=三角形ABD的面积+三角形ABC的面积=×4×2+×4×4＝12．
【点睛】
本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
18．如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC=90?，将三角形ABC绕着点B逆时针旋转一定角度得到三角形BEF，EF交BC于点G．
（1）若，当∠ABE等于多少度时，；
（2）若，，，当时，
①求BG的长；
②连接AF交BE于点O，连接AE（如图2），设三角形EOF的面积为m，求三角形AEO的面积（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）①；②三角形AOE的面积为.
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质解决问题即可．
（2）①首先证明BG⊥EF，利用勾股定理求出EF，再利用面积法求出BG即可．
②证明△AEF和△BEF的面积相等，即可解决问题．
【详解】
解：（1）（已知），
∴（两直线平行内错角相等）.
又（旋转的性质），
（等量代换）；
（2）①（已知），
（两直线平行同旁内角互补）.
又∵（已知），
∴，
∵三角形BEF是由三角形ABC旋转得到的，
∴，，，，
三角形BEF的面积，
即，
求得.
②（已知），
（同底等高的两个三角形面积相等），
∴当三角形OEF的面积为m时，三角形AOE的面积为.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
【答案】（1）六角星，八角星；（2）是；（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【解析】
【分析】
（1）根据中心对称图形的定义即可得到答案；
（2）根据题意，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合的图形就是中心对称图形，比如六角星，八角星，十角星，角的个数为偶数时就是中心对称图形，得到答案；
（3）根据如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，当角的个数为偶数时就是中心对称图形，可得答案．
【详解】
解：（1）图中是中心对称图形的有六角星，八角星；
（2）由（1）知六角星，八角星，十角星，都是中心对称图形，由此可知，当角的个数为偶数个时，它是中心对称图形，因此36角星也是中心对称图形；
（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；
当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
20．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是
，位置关系是
；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【解析】
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
21．如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．
（1）当时，则旋转角的大小为________；
（2）当在OC与OB之间时，求的值；
（3）在旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】（1）20°；（2）；（3）6°或70°
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质，求出旋转角的度数，即可得到答案；
（2）由旋转的性质可知，，由（1）知，根据角的和差关系，即可得到∠AOD∠COE的值；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①OD在OA与OC之间时；②OD在OC与OB之间时；设∠COE为x，根据角的和差关系列出等式，分别求出答案即可．
【详解】
解：（1）由图1可知，∠AOD=，
如图2，当∠AOD=80°时，有：
∠COE=80°60°=20°，
故答案为：20°.
（2）如图：由（1）知，，
由旋转的性质，可知，
∴；
（3）根据题意，设∠COE为x，则
①如图，当OD在OA与OC之间时，
∴∠AOE=90°+x，∠COD=30°，
∵∠AOE=4∠COD，
∴，
解得：；
②如图，当OD在OC与OB之间时，
∴∠AOE=90°+x，∠COD=，
∵∠AOE=4∠COD，
∴，
解得：；
∴旋转角∠COE的大小为：6°或70°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，以及角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键，注意利用分类讨论的思想进行解题，题目比较好，难度不大．
22．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α
（0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；
（3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值．
【答案】（1）BG＝AE，BG⊥AE，见解析；（2）结论成立，BG＝AE，BG⊥AE，见解析；（3）当α为270°时，AE最大，AF＝
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论．
（2）如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论．
（3）由（2）可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【详解】
解：（1）结论：BG＝AE，BG⊥AE．
理由：如图1，延长EA交BG于K．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，
∵∠GAK＝∠DAE，
∴∠AKG＝∠ADE＝90°，
∴EA⊥BG．
（2）结论成立，BG＝AE，BG⊥AE．
理由：如图2，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O．
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，
∵∠GOK＝∠DOE，
∴∠OKG＝∠ODE＝90°，
∴EA⊥BG．
（3）∵BG＝AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE．
∵BC＝DE＝4，
∴BG＝2+4＝6．
∴AE＝6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF＝＝，
∴AF＝．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】（1）∠ADE＝15°；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等边对等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝AC，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB＝AC，从而得出
BF＝AB，然后证出△ACD和△BCE为等边三角形，再利用HL证出△CFD≌△ABC，证出DF＝BE，即可证出结论．
【详解】
（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；
（2）证明：如图2，连接AD
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AF=CF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF=CF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CFD和Rt△ABC中
∴Rt△CFD≌Rt△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】
此题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．
24．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转中心是点
，旋转角度是 度；
（2）若连结EF，则△AEF是
三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．
【答案】（1）A、90；（2）等腰直角；（3）AE=.
【解析】
【分析】
（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题；
（2）根据旋转变换的定义，即可解决问题；
（3）根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF，进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的长度，即可解决问题.．
【详解】
解：（1）如图，由题意得：旋转中心是点A，旋转角度是90度，
故答案为A、90；
（2）由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角；
（3）由题意得：△ADE≌△ABF，
∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25，
∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，
∴AE=
．
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精品试卷·第
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