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第28章反比例函数-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，,则的长是(
)
A．
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义，cosB=代入各数值可得BC的值.
【详解】
解：在Rt△ABC中,cosB=
则BC
=
ABcosB
=
8cos30=8=.
故选D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.
2．计算tan45°+cos60°的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解.
【详解】
解:tan45+cos60=1+=.
所以C选项是正确的.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
3．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过C作CE⊥AB，已知ABC=150°，即已知∠CBE=30°，根据三角函数就可以求解．
【详解】
过C作CE⊥AB于E点，如图所示：
在Rt△CBE中，由三角函数的定义可知
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查三角函数的应用，熟练掌握，即可解题.
5．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米
B．6米
C．6米
D．24米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】
解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，
∴，
∴BC＝6，
∴AB＝＝＝6（米）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
6．某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是（
）
A．
B．1：3
C．
D．1：2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，利用勾股定理可先求出某人走的水平距离，再求出这个斜坡的坡度即可．
【详解】
解：根据题意，某人走的水平距离为：，
∴坡度；
故选：A.
【点睛】
此题主要考查学生对坡度的理解，在熟悉了坡度的定义后利用勾股定理求得水平距离是解决此题的关键．
7．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得AQ＝QD，AP＝PD，由勾股定理可求AQ的长，由锐角三角函数分别求出AP，HQ的长，即可求解．
【详解】
解：过点D作DN⊥AC于N，
∵点D是BC中点，
∴BD＝3，
∵将△ABC折叠，
∴AQ＝QD，AP＝PD，
∵AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，
∴AC＝，
∵sin∠C＝＝，
∴DN＝，
∵cos∠C＝，
∴CN＝，
∴AN＝，
∵PD2＝PN2+DN2，
∴AP2＝（﹣AP）2+，
∴AP＝，
∵QD2＝DB2+QB2，
∴AQ2＝（9﹣AQ）2+9，
∴AQ＝5，
∵sin∠A＝＝，
∴HQ＝＝
∵∴△PQD的面积＝△APQ的面积＝××＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数，求出HQ的长是本题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
垂直平分，
，
，
四边形BEDF是菱形，
∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO，
∴AE=FC．又EF=AE+FC，
∴EF=2AE=2CF，
又EF=2OE=2OF，AE=OE，
∴△ABE≌OBE，
∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE=
＝，
∴BF=BE=，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=，
故选B
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．
9．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（ ）
A．7.5
B．9
C．10
D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先设DE＝x，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DE∥AB可知，进而可求出x的值和BE的长．
【详解】
解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∵cosB＝＝，
∴BE＝（18﹣2x），
∵DE∥AB，
∴，
∴
∴x＝6，
∴BE＝（18﹣12）＝10，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键．
10．在△ABC中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．
【详解】
解：由（2cosA-）2+|1-tanB|=0，得
2cosA=，1-tanB=0．
解得∠A=45°，∠B=45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．在中，，，，则边长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据特殊角的三角函数值求得的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得和的长后即可求得线段的长．
【详解】
解：∵，
∴，
当为钝角三角形时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴；
当为锐角三角形时，如图，
，
故选．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．
12．如图，点在线段上，在的同侧作角的直角三角形和角的直角三角形，与，分别交于点，，连接.对于下列结论：
①；②；③图中有5对相似三角形；④．其中结论正确的个数是( )
A．1个
B．2个
C．4个
D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，设AC与PB的交点为N，根据直角三角形的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到△BAE∽△CAD，故①正确；根据相似三角形的性质得到∠BEA＝∠CDA，推出△PME∽△AMD，根据相似三角形的性质得到MP?MD＝MA?ME，故②正确；由相似三角形的性质得到∠APM＝∠DEM＝90，根据垂直的定义得到AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，于是得到图中相似三角形有6对，故③不正确．
【详解】
如图，设AC与PB的交点为N，
∵∠ABC＝∠AED＝90，∠BAC＝∠DAE＝30，
∴，∠BAE＝30＋∠CAE，∠CAD＝30＋∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，故①正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴，
∴MP?MD＝MA?ME，故②正确；
∴，
∵∠PMA＝∠EMD，
∴△APM∽△DEM，
∴∠APM＝∠DEM＝90，
∴AP⊥CD，故④正确；
同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
∵△ABC∽△AED，
∴图中相似三角形有6对，故③不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则cos∠A＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出斜边长，根据余弦的定义计算即可．
【详解】
由勾股定理得：AB10，则cos∠A=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，……依次进行下去，则点A2020的横坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【详解】
解：∵OB1＝1，∠ODB1＝60°，
∴OD＝，B1（1，0），∠OB1D＝30°，
∴D（0，），
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝OB1＝，
即A1的横坐标为＝，
由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝A1B2＝1，
即A2的横坐标为+1＝＝，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝A2B3＝2，
即A3的横坐标为+1+2＝＝，
同理可得，A4的横坐标为+1+2+4＝＝，
由此可得，An的横坐标为，
∴点A2020的横坐标是，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律及特殊三角函数值，关键是根据题意及三角函数值得到点的坐标规律即可．
15．在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且满足在△EFG中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，EF＝10，当EF经过线段BG的中点时，BG的长为_____________．
【答案】10或
【解析】
【分析】
①当点F不与点C重合时，设EF的中点为O，连接OB、OG，设EF与BG交于H，由直角三角形斜边上的中线性质得OB＝OE＝OF＝EF＝5，OG＝OE＝OF＝5，由等腰三角形的性质得∠OEG＝∠OGE＝30°，GH＝BH＝BG，OH⊥BG，由三角形外角性质得∠GOH＝∠OEG＋∠OGE＝60°，在Rt△GOH中，sin∠GOH＝，求出GH，即可得出结果；②当点F与点C重合时，则四边形BCGE是矩形，BG＝EF＝10．
【详解】
解：①当点F不与点C重合时，
设EF的中点为O，连接OB、OG，设EF与BG交于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵O为EF的中点，
∴OB＝OE＝OF＝EF＝5，
∵∠EGF＝90°，O为EF的中点，
∴OG＝OE＝OF＝5，
∴∠OEG＝∠OGE＝30°，OB＝OG，
∵H为BG的中点，
∴GH＝BH＝BG，OH⊥BG，
∵∠GOH＝∠OEG＋∠OGE＝30°＋30°＝60°，
在Rt△GOH中，sin∠GOH＝，
∴GH＝OG?sin∠GOH＝5×sin60°＝5×＝，
∴BG＝2GH＝2×=；
②当点F与点C重合时，如图2所示：
则四边形BCGE是矩形，EF与BG相互平分，
BG＝EF＝10；
综上所述，BG的长为10或；
故答案为：10或．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，CM⊥AB，
∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，
∴CM==，
∴×AB×＝，
解得：AB＝2，（负值舍去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
三、解答题
17．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？结果保留根号
【答案】该楼的高度CD米.
【解析】
【分析】
由题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用锐角三角函数，求得答案．
【详解】
根据题意得：，，，
，
，
，
(米)，
该楼的高度CD米.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键，.
18．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连结BG交CE于点H，连结BE.
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）取BC中点P，连结PH，求证：PH∥CG；
（3）若，求BG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得到CB=CE，求得∠EBC=∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC=∠BEA，于是得到结论；
（2）过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得到AB=BQ，求得CG=BQ，根据全等三角形的性质得到BH=GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（3）过点G作BC的垂线GM，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG
∴
∴∠EBC∠BEC
又∵AD∥BC
∴∠EBC∠BEA
∴∠BEA∠BEC
∴BE平分∠AEC
（2）过点B作CE的垂线BQ
∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE
∴
∴
易证
∴
即点H是BG中点
又∵点P是BC中点
∴PH∥CG
（3）过点G作BC的垂线GM
∵
∴
∴∠BCQ
∵∠ECG
∴∠GCM
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线．
19．在锐角△ABC中，AD与CE分别是边BC与AB的高，AB＝12，BC＝16，S△ABC＝48，
求：(1)角B的度数；
(2)tanC的值．
【答案】(1)∠B＝30°；(2)tanC＝.
【解析】
【分析】
（1）根据S△ABC＝48以及BC＝6,可求出AD的长度,然后由勾股定理可求出BD的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出角B的度数,
（2）由于BC＝16,BD＝6,从而可知CD的长度,在Rt△ACD中,根据AD与CD的长度比即可求出tanc的值．
【详解】
(1)由题意可知：S△ABC＝BC?AD＝48,BC＝16,
∴AD＝6,
在Rt△ABD中,
AB＝12,
∴BD＝6,sinB＝＝,
∴∠B＝30°,
(2)∵BC＝16,BD＝6,
∴CD＝16﹣6,
在Rt△ACD中,
CD＝16﹣6,AD＝6,
∴tanC＝＝.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形,勾股定理,三角形面积公式,锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法.
20．如图所示，将矩形ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点B恰好与DC上的点F重合．
（1）求证：△ADF∽△FCE；
（2）若tan∠CEF＝2，求tan∠AEB的值．
【答案】（1）见解析；（2）tan∠AEB＝．
【解析】
【分析】
（1）因为△AEF是由△AEB翻折得到，推出∠AFB＝∠B＝90°，推出∠AFD+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，推出∠AFD＝∠FEC，由此即可证明．
（2））由tan∠FEC2，推出CF＝2EC，设EC＝a，则FC＝2a，EF＝EBa，由△ADF∽△FCE，得，即，推出DFa，根据tan∠AEB计算即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC，∠D＝∠C＝∠B＝90°．
∵△AEF是由△AEB翻折得到，∴∠AFB＝∠B＝90°，∴∠AFD+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFD＝∠FEC．
∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCE．
（2）∵tan∠FEC2，∴CF＝2EC，设EC＝a，则FC＝2a，EF＝EBa．
∵△ADF∽△FCE，∴，∴，∴DFa，∴AB＝CD＝DF+CFa，∴tan∠AEB．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
【答案】OC＝100米；PB＝米．
【解析】
【分析】
在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAB，利用60°的三角函数值以及坡度，求出OC，再分别表示出CF和PF，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可．
【详解】
解：过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA?tan∠OAC＝100（米），
由坡度＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，
∴x＝，即PB＝米．
【点睛】
本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2，，求的值．
【答案】（1）∠CAE=40°；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意DE垂直平分AB，∠EAB=∠B，从而求出∠CAE的度数；
（2）根据题干可知利用余弦以及勾股定理求出的值．
【详解】
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA
=
EB，
∴∠EAB=∠B=25°．
∴∠CAE=40°．
（2）∵∠C=90°，
∴．
∵CE=2，
∴AE=3．
∴AC=．
∵EA
=
EB=3，
∴BC=5．
∴，
∴．
【点睛】
本题主要应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．
23．为了身体健康，越来越多的人喜欢上了行走健身，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为.求斜坡的长.（结果保留根号）
【答案】斜坡的长是米.
【解析】
【分析】
解直角三角形ABE，求出AE=130，进而求出CE=100，再根据求出CD即可.
【详解】
在中，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
在中，
∵，
∴DE=4CE，
∴CD=CE，
∴（米）
答：斜坡的长是米.
【点睛】
此题考查解直角三角形，确定每条已知边所在的直角三角形，利用三角函数求出其他边长的思考方法是解题的关键.
24．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．
（1）求轮船从处到处的航速．
（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？
【答案】（1）海里/小时．（2）小时．
【解析】
【分析】
（1）过作，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；
（2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可．
【详解】
（1）过作，
由题意得海里，，，
（海里），
（海里），
（海里），
（海里），
速度：（海里/小时）．
（2）如图，
由题意，，点在的东南方向，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴（海里），
（海里），
（小时），
经过小时后到达．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．
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第28章反比例函数-2020-2021学年上学期初中数学期末复习冲刺一本通（人教版）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，,则的长是(
)
A．
B．4
C．
D．
2．计算tan45°+cos60°的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米
B．6米
C．6米
D．24米
6．某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是（
）
A．
B．1：3
C．
D．1：2
7．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（ ）
A．7.5
B．9
C．10
D．5
10．在△ABC中（2cosA-）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
11．在中，，，，则边长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
12．如图，点在线段上，在的同侧作角的直角三角形和角的直角三角形，与，分别交于点，，连接.对于下列结论：
①；②；③图中有5对相似三角形；④．其中结论正确的个数是( )
A．1个
B．2个
C．4个
D．3个
二、填空题
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则cos∠A＝_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，……依次进行下去，则点A2020的横坐标是_____．
15．在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且满足在△EFG中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，EF＝10，当EF经过线段BG的中点时，BG的长为_____________．
16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）．
三、解答题
17．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？结果保留根号
18．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连结BG交CE于点H，连结BE.
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）取BC中点P，连结PH，求证：PH∥CG；
（3）若，求BG的长．
19．在锐角△ABC中，AD与CE分别是边BC与AB的高，AB＝12，BC＝16，S△ABC＝48，
求：(1)角B的度数；
(2)tanC的值．
20．如图所示，将矩形ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点B恰好与DC上的点F重合．
（1）求证：△ADF∽△FCE；
（2）若tan∠CEF＝2，求tan∠AEB的值．
21．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2，，求的值．
23．为了身体健康，越来越多的人喜欢上了行走健身，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为.求斜坡的长.（结果保留根号）
24．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．
（1）求轮船从处到处的航速．
（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？
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人教版
初中数学
第二十八章
锐角三角函数
复习课件
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
知识框架
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
要点梳理
1.
锐角三角函数
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)
∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin
A
=
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2.
特殊角的三角函数
1
(1)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，
∠B，∠C的对边．
三边关系：_______________；
三角关系：
_______________
；
边角关系：sinA＝cosB＝_____
，cosA＝sinB
＝
___
，
tanA＝
________
，tanB＝
_____.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
3.
解直角三角形
(2)
直角三角形可解的条件和解法
?条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
?解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出
另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；
知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股
定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，
再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添
加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
(3)
互余两角的三角函数间的关系
sinα
=
，
cosα
=
_____________，
sin2α
+
cos2α
=
.
tanα
·
tan(90°－α)
=___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越
；
对于cosα，角度越大，函数值越____.
大
小
(4)
锐角三角函数的增减性
(1)
利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(不同计算器操作可能不同)
第一步：按计算器
键，
sin
tan
cos
4.
借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2)
利用计算器求锐角的度数
还可以利用
键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值
屏幕显示答案
(按实际需要进行精确)
方法①：
°＇″
2nd
F
第一步：按计算器
键，
2nd
F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案
(按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器
键，
°＇″
2nd
F
(1)
仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5.
三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角.
如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2)
方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
i
=
tan
α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作i，即i
=
.
(3)
坡度，坡角
(4)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
①
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
②
根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③
得到数学问题的答案；
④
得到实际问题的答案．
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l
·
tanα+a.
α
(1)
测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6.
利用三角函数测高
(2)
测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角
∠MDE=β；
β
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离
AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
考点一
求三角函数的值
考点讲练
例1
在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
，则tanB的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
解析：根据sinA＝
，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
B
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
1.
在△ABC中，
∠A、
∠B都是锐角，且sinA=cosB，
那么△ABC一定是______三角形．
直角
2.
如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，
C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
针对训练
例2
矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得
tan∠BCF
的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
10
8
解：由折叠的性质可得，CF=CD，
∠EFC=∠EDC=90°.
∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，
∴∠AFE+∠BFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
由勾股定理易得BF=6.
∴tan∠BCF
=
.
∴tan∠AFE=tan∠BCF=
.
10
8
针对训练
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD
=
∴BD
=
AD·tan∠BAD=12×
=9，
∴CD=BC－BD=14－9=5，
∴
∴sinC
=
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，
AD＝12，tan∠BAD＝
，求sinC的值．
考点二
特殊角的三角函数值
例3
计算：
解：原式＝
(1)
tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2)
tan30°·
tan60°＋
cos230°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
考点三
解直角三角形
例4
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC
=
，求：
(1)
DC的长；
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
A
B
C
D
又
BC－CD＝BD，
解得x
=6，∴CD=6.
A
B
C
D
解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC
=
，
(2)
sinB的值．
A
B
C
D
解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABC中，
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
.
点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.
求△ABC的周长
(结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC
解：连接OC.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OCA＋∠BCA＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＋∠BCA＝90°，
∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，
∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP.
例5
已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P.
(1)
求证：BP＝BC；
解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，
∵sin∠PAO＝
，设OP＝x，AP＝3x，
∴AO＝
x.
∵AO＝OE，∴OE＝
x，
∴AE＝
x.
∵sin∠PAO＝
，
∴在Rt△ACE中
，∴
，解得x＝3，
∴AO＝
x＝
，即⊙O的半径为
.
(2)
若sin∠PAO＝
，且PC＝7，求⊙O的半径．
E
如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点
B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C
=
，DF=3，
求⊙O的半径．
针对训练
解：连接BD．
在⊙O中，∠C=∠A，
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
设AB=4x，则AF=5x，
由勾股定理得，BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴cosA=cosC=
∴△ABF∽△BDF，
∴⊙O的半径为
考点四
三角函数的应用
例6
如图，防洪大堤的横截面是梯形
ABCD，其中AD∥
BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF
=∠α=60°，
则AF=AB·sin60°=
(m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则
(m).
故改造后的坡长
AE
为
m.
F
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤
(横断面为梯形ABCD)
急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽
2米，加固后背水坡EF的坡比i
=1:
．求加固后坝底增加的宽度AF.
(结果保留根号)
针对训练
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.
(米)，
(米).
又∵AG=DG=10米，
∴
(米).
故加固后坝底增加的宽度AF为
米.
例7
如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据:(sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，
≈1.73）
解：如图，过点
D
作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，
∴∠DAH=∠FAE=30°，
在Rt△AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=
，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，
G
H
在Rt△BDG中，∵
BG=DG
·
tan30°，
解得：x
≈13，
∴大树的高度为：13米.
∴
∴
G
H
针对训练
如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C
之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1)
求点B到AD的距离；
答案：点B到AD的距离为20m.
E
(2)
求塔高CD（结果用根号表示）．
E
解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB=
(m)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为
m.
∴
(m).
例8
如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
解：设B处距离码头O
x
km，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∴CO=AO
·
tan∠CAO=（45×0.1+x）·
tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∴DO=BO
·
tan∠DBO=x
·
tan58°，
∵DC=DO－CO，
∴36×0.1=x
·
tan58°－（4.5+x），
因此，B处距离码头O大约13.5km.
∴
∵tan∠CAO=
,
∵tan∠DBO=
,
某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l
(如图).
救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海
岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝
40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙
的游泳速度都是
2
米/秒，则谁先到达
B
处？请说明理由
(参考数据：sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
针对训练
分析：
在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴BD＝CD
·
tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
BC＝
＝
≈70.2(米)．
∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)，
t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)．
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
