7.5.1
三角形内角和定理（1）
教学设计
课题
三角形的内角和定理（1）
章节
第7章
学科
数学
年级
八
学生知识状况分析
学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验。
教学任务分析
上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。
学习目标
知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用.过程与方法：通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式,培养理性说理能力.情感态度与价值观：培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值.
重点
理解三角形内角和定理及其简单的应用.
难点
三角形内角和定理的证明方法.
课前准备
3个三角形纸板、直尺、三角尺、量角器等学习工具.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复
习
导
入
三角形内角和等于多少度?我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?(一)任意画一个三角形,利用量角器测量三个内角.
(二)将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.(三)利用几何画板验证三角形内角和180.但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.
让学生回忆思考小学学过的知识点及验证方法.
对比过去撕纸等探索过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.
自
主
探
究
自
主
探
究
合
作
交
流
认真研读课本177—178页;2、求证：三角形三个内角的和等于180°.
思考：将准备好的三角形纸片的一个顶角下，并放置在如图∠1的位置，你能说明“三角形内角和定理”结论吗？（提示：利用平行可证明）已知：如右下图，△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°证法一:证明：延长BC到D,过C作CE平行BA，则∠A=∠
（两直线平行，内错角相等）∠B=∠2
（
）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（
）
∴∠
+∠
+∠ACB=180°（
）三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°你还有不同的证明方法吗?试一试吧.证法二：思考:2、你还能用其他添加辅助线的方法验证三角形内角和定理吗？请你试一试。
教师巡视学生自主完成情况,个别学困生适当给予指导.(一)、"自主探究”部分三角形内角和定理的不同证明方法;(二)、1、直角三角形的两锐角之和是多少度?请证明你的结论.
2、等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
3、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。定理:直角三角形两锐角互余正三角形的三个内角都相等，并且都等于60°四边形的内角和等于360°
1、认真研读课本177—178页;动手操作:通过撕三角形纸板并拼凑成一个平角,体会三角形内角和定理,并利用平行的性质达到转移角的功能,适当添加辅助线,补全证明过程.2、开动脑筋,通过添加不同的辅助线,探索不同证明方法,并尝试独立完成证明过程.2、发散思维,探索在不同的位置”凑”平角或构造”同旁内角”的方法验证三角形内角和定理.小组合作交流导学案上
“自主探究”部分疑惑,交流各自发现的验证三角形内角和定理的方法,总结归纳添加辅助线的方法和作用.问题二是三角形内角和定理的简单应用,证明过程比较简单,学生可以直接叙述证明过程,并明确这三个也是定理,以后可以直接应用.
充分发挥学生自主学习、独立思考的能力.第一种证明方法给出辅助线的做法,及以补全证明过程的形式完成,循序渐进,符合学生的认知水平.在第一种证明方法的基础上,鼓励学生独立完成第二种方法的证明过程,学生可能会有不同添加辅助线的方法,只要方法正确给予表扬.第二个思考题鼓励学有余力的同学进一步探索不同的证明方法,体会一题多变、一题多解的数学思维和转化思想.通过学生的探索活动,学生进初步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理.添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过小组合作,规范证明过程,交流辅助线的添加方法和作用,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能力.学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范学生的证明过程,培养了学生良好的学习数学的习惯.
激情展示
展示”三角形内角和定理”的两种基本证明方法.这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.证法2::过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).老师点评:强调辅助线的做法和叙述,规范证明过程.(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.展示不同的验证方法老师点评:添加辅助线基本思路:1、构造平角:"凑”到三角形一个顶点处、"凑"到三角形边上的一点处、"凑"到三角形内部一点处或三角形外部一点处;小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.2、构造同旁内角.展示以下三个问题的分析过程.1、直角三角形的两锐角之和是多少度?2、等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.3、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。
鼓励学生积极展示,大胆质疑、答疑.学生展示时,可能语言不准确,教师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角或同旁内角.
添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能力.激情展示这个环节充分体现学生的主体性.充分调动学生学习积极性,激发学生学习数学的兴趣.
课堂检测
1、在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°，则∠
C=
.
2、在△ABC中，∠A
:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
.
3、在△ABC中，
∠A=
∠B+10°,
∠C=
∠A
+
10°,
则
∠A=
，
∠
B=
，∠
C=
.4、如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠A=60°，求∠BPC的度数．
【变式题】若∠A=a°你能直接写出∠BPC与∠A
之间的数量关系吗？
学生认真做课堂检测,通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
课堂检测以基础题为主,通过练习巩固新知,变式练习在第4题的基础上归纳一般规律,体会从特殊到一般的数学思维.
课堂小结
这节课你学到了什么？
1、用多种方法证明了三角形内角和定理.
2、辅助线的作法技巧：添加辅助线的实质是通
过平行线来移动角——构造平行线间的内错角、
同位角、同旁内角.
3、三角形内角和定理的简单应用.
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。并数学方法和数学思想.
作业布置
限时训练
学生限时独立完成
对本节新知巩固训练.提高解题能力,锻炼数学思维.
板书设计
A
B
C
E
D
1
2
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
弘德梦，我的梦(共16张PPT)
北师大版八年级上册
第七章第五节
三角形的内角和定理（一）
学习目标：
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.
2.会运用三角形内角和定理解决简单的问题.
3.通过一题多解、一题多变，
体会思维的多向性和转化思想.
锐角三角形
测量
480
720
600
600＋480＋720＝1800
复习导入(导)
A
B
C
3
4
1
2
D
E
实验法得出：
三角形三个内角的和等于180°。
剪拼
几何画板验证:
三角形的内角和是180°
自主探究（思）
1.自学课本178—179页；
2.认真独立完成导学案“自主探究”部分。
要求:
独立完成,认真+专注.
合作交流（议）
1.“自主探究”部分“三角形内角和定理”的不同证明方法；
2.添加辅助线的基本思路是什么？有何作用？
3.“合作交流”部分的三个问题.
要求：
1、
积极
+
认真
+
专注
2、不说笑、发呆、钻牛角尖
3、掌握好时间，小组成员都不会的留在下个环节寻找答案
1、求证：三角形三个内角的和等于180°.
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B
+∠C=180°
A
B
C
D
E
辅助线
虚线
1
2
激情展示（展+评）
证明：
延长BC至D，过点
C作CE∥BA.
∴∠A=
∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=
∠2
两直线平行，同位角相等
(
)
∵∠1+∠2+
∠ACB=180°
平角的定义
(
)
∴
+
+∠ACB=180°
∠A
∠
B
(等量代换)
辅助线有什么作用呢？
小小辅助线,作时画虚线,
写清其来源,隐藏条件见.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
1
2
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
(
平角的定义
)
(等量代换)
一、添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
A
B
C
E
图5
E
A
B
C
D
F
图2
A
N
B
C
T
S
图3
P
Q
R
M
A
N
B
C
T
S
图4
P
Q
R
M
（
A
B
C
E
D
F
（
（
1
2
3
4
（
图6
）
A
E
）
1
2
B
C
D
图1
…
…
…
…
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
1、直角三角形的两锐角之和是多少度?
2、等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
3、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
连接四边形的对角线是常用的辅助线.
直角三角形两锐角互余
正三角形的三个内角都相等，并且都等于60°
四边形的内角和等于360°
定理：
2、在△ABC中，∠A
:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
.
当堂检测
1、在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°，则∠
C=
.
3、在△ABC中，
∠A=
∠B+10°,
∠C=
∠A
+
10°,
则
∠A=
，
∠
B=
，∠
C=
.
4、如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠A=60°，求∠BPC的度数．
【变式题】若∠A=a°你能直接写出∠BPC与∠A
之间的数量关系吗？
课堂小结
1、用多种方法证明了三角形内角和定理.
2、辅助线的作法技巧：添加辅助线的实质是通
过平行线来移动角——构造平角、平行线间的同旁内角.
3、三角形内角和定理的简单应用.
作业布置
《三角形内角和定理(一)》限时训练
