初中数学华师大版九年级上第24章图形的相似全章导学案
文档属性
| 名称 | 初中数学华师大版九年级上第24章图形的相似全章导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 7.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-10-25 10:17:06 | ||
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文档简介
第24章 图形的相似
24.1 相似的图形
学习目标：
1、理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。
2、制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。
学习准备：
1、观察下图你会发现右边的照片是由左边的照片________的．尽管它们______不同，但_______相同．
图24.1.1
2、图24．1．2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形_______得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其_____（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．
图24.1.2
新知自学：
日常生活中我们会碰到很多这种______________________的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为___________。如，同一张底片扩充出来的照片，请同学们举出你身边或者生活中的相似形。_______________________
如图所示的一些相似的图形。他们都是相似形吗？
3、想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗 ________________
反思：为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢 这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。
课堂练习：
1试一试
如图24．1．5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．
图24.1.5
2、你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
巩固练习：
1．试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．
（第1题）
2．观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？
（第2题）
小结：
______________________________________称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。通过本课的学习，同学们在说说我们身边还有那些相似形？
２４.２ 相似图形的性质
第一课时 成比例线段
学习目标 ：
1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
学习准备：
试一试：
由下面的格点图可知，＝_________，＝________，这样与之间有关系_______________．
图24.2.1
新知自学：
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做_______________，简称比例线段，此时也称这四条线段____________。
模仿自学：
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝． 解（2）：
解 （1） ∵ ，，
∴ ，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
+对于成比例线段我们有下面的结论：
如果__________，那么____________ 。 如果__________（a、b、c、d都不等于0），那么____________。以上结论称为比例的基本性质．如果＝那么b叫做a、c的，也可以写成b2＝ac。
例2 证明：（1）如果，那么；
（2） 如果，那么．
证明（1） （2）
课堂练习：
1．判断下列线段是否是成比例线段：
（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；（2）a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
2．已知： 线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
3、如果，那么等于 （ ）
A 3：2 B 2：3 C 3：5 D 5：3
4．已知，那么、各等于多少？
巩固练习：1、若则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。
3、线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求： 与，这四条线段会成比例吗
3、如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且＝，求AC的长
5、已知：，求的值．
课堂延伸：
将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0．618…．这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．
第二课时 相似图形的性质
学习目标：
1、知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。
2、识别两个多边形是否相似的方法。
新旧知识衔接回顾:
1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗
新知自学 ： 下图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有什么关系呢？对应角之间又有什么关系？
答：_________________________________________________________________
图24.2.3
再看看图24．2．4中两个相似的五边形，是否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？答：__________
图24.2.4
概括
由此可以得到两个相似多边形的性质：_____________________________________
实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法：如果_____________________
________________________,那么这两个________________________。
例1、在图24．2．5所示的相似四边形中，求未知边x的长度和角度α的大小．
图24.2.5
分析
利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角．
解:
思考
两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个直角三角形呢？两个等边三角形呢？
课堂练习：
1．（1）根据图示求线段比：，，；（2）试指出图中成比例的线段．
2．等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？
3．下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示．
（第3题）
4．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．
（第4题）
5．如图，正方形的边长a＝10，菱形的边长b＝5，它们相似吗？请说明理由．
（第5题）
巩固练习：
1．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
2．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？
3、矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0. 8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗 为什么
4、矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′ C′D′的面积为57cm2，这两个矩形相似吗 为什么
5．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。
小结：
1．两个多边形是否相似的两个标准是什么
﹝1﹞________________________________________，﹝2﹞____________________________________。
2．相似多边形具有什么特征
_______________________________________________________________________________________。
24.3相似三角形的性质
1．相似三角形
学习目标：
1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
新旧知识衔接：
1、_____________________________________是相似图形。
2、衡量相似形的两个标准时：（1）________________________，(2)____________________________。
新知自学：
1、在相似多边形中，最为简单的就是________________________。相似用符号“___________”来表示，读作“___________．如图24．3．1所示的两个三角形中，∠__＝∠__，∠__＝∠___，∠___＝∠____，．即△ABC与△A′B′C′相似，记作__________________，读作____________________________。
2、如果记＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的____________________________。
模仿自学：做一做
如图24．3．2，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．我们知道，根据两直线平行________相等，则∠___＝∠_____，∠_____＝∠______，而∠_____＝∠______。通过度量，还可以发现它们的对应边__________，所以△_______∽△_________．如果取点D为边AB的中点，那么上题中△ADE和△ABC的相似比就为k=_____________．当k＝1时，两个相似三角形不仅_________相同，而且_______也相同，即为___________．全等三角形是相似三角形的特例．
图24.3.1
图24.3.2
变式训练：全等的两个三角形一定相似吗 相似的两个三角形会全等吗 全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别
答：
课堂练习：
正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．
（第1题）
2、如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长边是39，那么较大三角形的周长是多少 较小三角形与较大三角形的周长的比是多少
分析：这两个三角形相似，则对应边是__________的，相似比=_______，从而可以利用相似比算出另一个三角的其他两边长，即可算出周长和周长比。
解：
判断下列两个三角形是否相似 简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例。
解： 解：
巩固练习：
1、如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ）
A、都扩大为原来的5倍 B、都扩大为原来的10倍
C、都扩大为原来的25倍 D、都与原来相等
2、全等三角形是相似比为__________的相似三角形．
3、2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
4、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
小结： 1、______________________的三角形叫做相似三角形。2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形是_____________________。
24.3. 2．相似三角形的判定
第一课时 相似三角形的判定(一)
学习目标：
1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。
2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。
新旧知识衔接回顾：
1．两个矩形一定会相似吗 为什么
2．如何判断两个三角形是否相似 （定义）
3、是否存在识别两个三角形相似的简便方法 本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
新知自学：
试一试
如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？
图24.3.3
我们可以发现，它们的对应边__________，即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．
于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______，简单地说：___________________________.
思考:能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
模仿自学：
如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。
例2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗
课堂练习：
1．找出图中所有的相似三角形．
（第1题）
2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．
（第2题）
3、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。
巩固练习：
1、△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。
2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样
3、观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似．此时=__________．
小结：本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：___________________________________。
第二课时 相似三角形的判定(二)
学习目标：
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2．能依据条件，灵活运用识别方法，正确判断两个三角形相似。
新旧知识衔接回顾：
1．现在要判断两个三角形相似有哪两种方法
（1）对应边_________，____________相等的两个三角形______________。
(2) 如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______。
新知自学:
如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，
那么△ADE与△ABC相似吗 你用的是哪一种方法 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量_____________或_______________后可以判断它们能否相似。同学们通过量角或量线段计算之后，得出：______∽______。从已知条件看，△ADE与△ABC有一对应角相等，即∠__＝∠__(是公共角)，而一个条件是AD＝__AB，AE＝__AC，即是＝__，＝__；因此__＝___。△ADE的两条边 ____、______与△ABC的两条边____、____会对应成比例，它们的夹角又相等。于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
如果一个三角形的________与另一个三角形的__________，并且夹_______，那么这两个三角形______。简单地说；___________________________，两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的______，如果不是夹角，它们不一定会________。
模仿运用：
1、证明图24．3．7中△AEB和△FEC相似．
图24.3.7
2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似？
解： 因为AB=______，AD=______，AC=______，CE=_______
所以 ＝_____，=____ 所以___＝_______。
∠A＝∠A，( )
所以_____∽_______。（ ）
课堂练习：
1、、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（ ）
A．8：3 B．3：8 C．8：5 D．5：8
3、若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）
A、△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B、△ABC与△A1B1C1不一定相似
C、△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2 D、△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
4、下列命题正确的是（ ）
A、有一个角相等的两个等腰三角形相似B、面积相等的两个等腰三角形相似
C、有一个角相等，两边对应成比例的两个直角三角形相似
D、有一个锐角相等的两个直角三角形相似
5（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
巩固练习：
1在△ABC和△中，∠C=∠=90°，AC=12，BC=15，=8，则当=____________时，△ABC∽△．
2如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是____________ （只需填上你认为正确的）种情况即可）.
3、两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边长5 cm，另一个多边形的最短边长为__________________.
4、 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC的关系是________，若相似，相似比是________.
第三时 相似三角形的判定(三)
学习目标：
理解运用相似三角形的简单识别方法如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
新旧知识衔接回顾：
回忆前面我们学过那些判定两三角形相似的方法：
1、____________________________________________________________（定义）
2、____________________________________________________________（两角）
3、_______________________________________________________（两边及夹角）
新知自学：
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似 看课本５８页“做一做”。
通过实验得出：如果一个三角形的_______与另一个三角形的________________，
那么这两个三角形_________，简单的说：_________________________________。
实例分析：
例:△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。
课堂练习：
1．依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似．
（1） AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12．8cm，A′C′＝25．6cm；
（2） ∠A＝∠80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；
（3） ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30．
2．在第1题小题（3）中，若BC＝a，∠B＝α，试求出B′C′的长与∠B′、∠C′的大小．
巩固练习：
1、(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或 ___________=____________时，△ AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽
2、，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，因此△ABC∽_________∽_____________．
3、，点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；
(2)若∠2=∠B，则__________∽___________．
4、已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
5、如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC. 证明：.
24.3．3相似三角形的性质
学习目标：
理解运用相似三角形的性质对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
新旧知识衔接：
1．判定两个三角形相似的简便方法有哪些 简单口述出来。
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗 说明理由。如果相似，它们的相似比是多少
解：
新知自学：
1、两个三角形是___________的，它们对应边的比就是___________，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝______。相似的两个三角形，它们的_______相等，______成比例，除此之外，还会得出什么结果呢
一个三角形内有三条主要线段；_____、_____、______。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢 ？我们能用说理的方法来说明这个结论呢
相似三角形对应高的比等于_________，相似三角形对应中线的比等于______；相似三角形对应角平分线的比等于_______。两个相似三角形的周长比等于______,
2、相似三角形的面积之间有什么关系呢
看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：
(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )，
(3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( )
(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于_____________________。
课堂练习：
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？
2．相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
3、ABC∽△A′B′C′，相似比为3:2，则对应中线的比等于( )。
4、三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( )
巩固练习：
1、C∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么 △ABC的面积为( )。
2．如果两个相似三角形的相似比是3：5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为 cm。
3、（2009年四川宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4、3、□ABCD与□中，AB=3，BC=5，∠B=40°，A′B′=6，要使□ABCD与□相似，则B′C′=_______，∠B′=_______.
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE∶EB.
分析：若两个图形相似，则它们的对应边___，根据已知条件和就可以求出EF的长，再根据对应边成比例就可以求出AE∶EB.
解：梯形AEFD∽梯形EBCF,
∴________=_______=_________
,又∵AD=_____，BC=______。
∴EF2=____._____=__________=_________∵EF＞0
∴EF=____∴.
点评：解题时注意是对应边成比例，不要把对应位置写错.
小结：
相似三角形（ ）相等，（ ）成比例，相似比等于___________、
_______________、_______________、________________.面积比等于_______________。
相似三角形中的“基本图形”习题课
学习目标：回顾“基本图形”，能在较复杂的图形中指出“基本图形”。
学习重点：熟悉“基本图形”
学习难点：“共点型”基本图形条件的寻找。
学习准备：
回顾旧知识：
①相似多边形的性质有哪些？
②判定三角形相似的条件有：
合作学习：（你帮我，我帮你，我们一定能行！）
充分利用图中条件，分别回答当增加什么条件时，图中某两个三角形相似，指出对应的顶点。
（1）“平行线”型 ：①“A”型 ②“X”型
（2）“相交线”型：①“共角”型 ②“蝴蝶”型
“同边共角”型 “同边等角”型
与三角形、梯形有关的比例线段（1）
学习目标：探究与三角形、梯形有关的比例线段
学习重点：寻找平行线截得对应比例线段。
学习难点：寻找平行线截得对应比例线段。
引导学习：
1、如图，△ABC中，DE∥BC且分别是BA、CA延长线交于D、E、
（1）请指出图中的对应线段。
（2）试说明图中的对应线段成比例。
图1 图2
【归纳】平行于三角形一边的直线，截三角形其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例。
数学推理：如图1，∵DE∥BC，∴，
如图2，∵DE∥BC，∴，
2、如图3，梯形ABCD中，AD∥EF∥BC
（1）请指出EF在两腰上截得的对应线段：
与 ， 与 ，
与 ，___________与_________________。
图3
【归纳】平行于梯形两底的直线截两腰（或两腰延长线）所得的对应线段成比例。
数学推理：如图3，∵AD∥EF∥BC，∴，
（3）引申：如图4，若AD∥EF∥GH∥BC
∴AE:EG:GB=
合作学习
4、如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点。
求证：四边形EGHF是平行四边形。
5、如图，AD∥EF∥BC，若AE=8,EB=12,CD=15。求FC的长。
※归纳总结
1、平行于三角形的一边，截三角形其它两边或两边的延长线，
2、平行于梯形两底的直线截两腰或两腰的延长线，
与三角形、梯形有关的比例线段（2）
学习目标：灵活运用两个定理进行相关计算或推理
学习重点：找对应比例线段进行计算或证明
学习难点：找“中间比”进行比例的转化
学习准备：
1、平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
2、平行于梯形两底的直线截其两腰（或两腰的延长线）所得的对应线段成比例。
模仿学习
3、【例】如图，梯形ABCD中AD∥EF∥BC，求证：EG=FH。
解：∵AD∥EG，∴
∵AD∥FH，∴
∵AD∥EF∥BC，∴
∴，∴EG=FH
4、如图，ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，AB=3，BC=4，DF=1。
求DE的长。
5、已知：如图8，边长为2的等边三角形ABC,DE∥BC, ，求EC的长。
※归纳总结
以前我们证明两条线段相等常用的方法有：
今天我们又学习了用 来证明线段相等。
24、3、4相似三角形的运用
学习目标：
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度，进行相关的计算。
旧知识回顾：
1、相似三角形有哪些性质 相似三角形（ ）相等，（ ）成比例，相似比等于___________、_______________、_______________、________________.面积比等于_______________。
自学准备：
1．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF， △DEF与△ABC相似吗 为什么
例题讲解
例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图24．3．12所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB．
解 ∵ 太阳光是平行光线，
∴ _______＝________．
∵ ______＝______＝90°，
∴ ________∽△O′A′B′（________________________________________）
∴ OB∶O′B′＝_______∶________，
∴ （米），
即该金字塔高为137米．
例7 如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
课堂练习：
1、 如图24．3．14，已知： D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证： AD·AB＝AE·AC．
图24.3.14
2．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．
（第2题）
3．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
巩固练习：
1． 已知在等腰△ABC和△A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） ∠A＝∠A′．（2） ∠B＝∠B′（或∠C＝∠C′）．
2、 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．
（第6题）
24.4中位线
第一课时 三角形的中位线
学习目标：
１、经历三角形中位线的性质定理的形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
新旧知识衔接回顾：
1、我们曾解决过如下的问题：如下图△ABC中，DE∥BC，则_____∽______，
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是_______的中点。现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么就可以推出_____∥_____,
DE=_______BC，是否这个结论成立，我们来研究研究。
新知自学探讨：
1、猜想：从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．
2、证明：如上图△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ ．
∵ ∠A＝______，（__________）
∴ _______∽_________（ ）
∴ ∠_____＝_______，（ ），
∴ _____∥______且
3、概括
我们把连结三角形两边中点的线段叫做______________，并且有三角形的中位线_________________________________。
三角形的中位线与中线有什么区别？中线是______________________________，中位线是________________________________________。
模仿应用：
例1 ：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。
求证： AE、DF互相平分。
证明 连结 ____、_____，因为____＝_____，____＝______
所以_____∥_____（ ）
同理_____∥________，所以四边形ADEF是________________
因此______、_______互相平分（ ）
例1
例2
图24.4.5
图24.4.5
例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
求证：
证明 ：
拓展：如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的。
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的_________，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____。
巩固练习：
1、三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。
3． 如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大小．
4． 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
（第4题）
第二课时 梯形的中位线
学习目标：
1、了解梯形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
旧知识回顾：
我们把一组对边_______，另一组对边__________的四边形叫梯形。把平行的两边叫________，不平行的两边叫____________。
梯形的面积公式：_______________________________________。
3、把_____________的梯形叫等腰梯形，等腰梯形两腰___________，两条对角线___________，同一底上__________________。
新知自学：
1、梯形的中位线的概念：连接梯形___________的连线叫梯形的____________。
2、梯形的中位线定理
已知： 如下图在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．
分析： 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线。于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．
例题分析：
求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．
已知：
求证：
证明：
拓展：
如图，根据梯形的面积公式为：____________________。其中、分别为梯形的___________，h为梯形的_____．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化_________________________。
巩固练习：
形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之和_________。
梯形下底与上底之差__________________。
2如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
（第2）
3． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证： 四边形EGFH是矩形．
(第3题)
24．5 画相似图形
学习目标：
1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形。
新旧知识衔接回顾：
1、如图＝＝，那么＝___________。
2、相似与______、________、________一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形_____或_____，保持______不变．
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步
1． 任取一点O；
2． 以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；
3． 分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；
4． 连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
模仿自学 ：
1、用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？_________
你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？
2、位似得有关概念：上图中的两个多边形不仅_____，而且对应顶点的连线相交于____，像这样的相似叫做_______，点O叫做________．放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种_______关系．利用位似的方法，可以把一个多边形_____或_____．
3、画五边形 的相似形（用画位似图形的方法），以点O为位似中心，相似比为2：1，（1）使两个图形在点O同侧；（2）使两个图形在点O的两侧．
注意：如下图实际上，位似中心可以取在多边形内，也可以再多边形外，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。也可以把一个多边形放大或缩小。
课堂练习：按下列相似比画出一个三角形的位似图形．
（1） 相似比为； （2） 相似比为3：1
巩固练习
1、任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．（选两个不同的点做位似中心画）
小结：用位似法画相似的多边形，关键在于要确定______，可以取在多边形_____，也可以在多边形_____，或多边形的______、或_____，位似中心的不同的，可以把图形____或缩小。
24.6 图形与坐标
第1课时 用坐标来确定位置
学习目标：
1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置。
新旧知识衔接回顾：
1、确定物体的位置用 。平面上画______________的数轴，就组成了_____________________；坐标平面上的点用____________来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的_________________。
3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；
坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。
A:_______________B:________________
C:________________D:________________
新课导学
1.用坐标确定位置
夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： A（1， 2）、B（－3， 5）、C（4， 5）、D（0， 3）．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出A、B、C、D和目的地的位置．
2、如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用： 如用_____和_____来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用________来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等。
典型例题运用：
1、小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；
“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．
根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：
分析： 以小明现在的位置为____，东西方向线是_______的，南北方向线一般画______方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置C。
看来，用一个_______和_______也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用
课堂练习：
已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
（第1题）
小结 : 建立直角坐标系后，平面上的点可以用________来描述，在平面上由于建立的________不同，____________不同，所以同一个点描述的_____也可能不同。平面上的点也可以用一个________和__________来描述其位置。
第2课时．图形的运动与坐标
学习目标：
1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、相似的变换之后，点的坐标相应发生变化。
2．探索图形在平移、轴对称、相似的变换，它们点的坐标的变化规律。
教学过程
新旧知识衔接回顾：
1、我们知道，图形变换包括：__________、_________、_________、_________ 。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BC为对称轴的三角形。
新课导学 ：
在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？
1、如图，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个顶点的坐标有什么变化呢？
1题
2题
2题
解：△AOB的三个顶点的坐标是：A（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ）．
平移之后的△A′O′B′对应的顶点是：A′（ ， ）、O′（ ， ）、B′（ ， ）．
沿x轴向右平移之后，三个顶点的_______都没有改变，而________都增加了____．
在上图中，（1）△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB．对应顶点的坐标有什么变化？
分析： 关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其_____不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的________相同，_________是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：____________________________________________________________。
解：△AOB的三个顶点的坐标是：A（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ），△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB的三个顶点坐标是：A′（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ）．沿x轴翻折后，____点和_________的_____________都没有改变，而____点________变化了。
(2) △AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
分析： 关于y轴对称，由于O在对称轴上，其_____不变，那么点 A与对称点A′B和B′
关于y轴对称，它们的________相同，_________是互为相反数，这就得出关于y轴,对称的对称点的坐标的特点是：_______________________________________ 。
解：△AOB的三个顶点的坐标是：A（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ），△AOB关于y轴的轴对称图形是△A′O B′的三个顶点坐标是：A′（ ， ）、O（ ， ）、B′（ ， ）．沿y轴翻折后，O点的______不变，A′和B′的_________不变，_______变了。
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的_______相同，________互为相反数。
关于y轴对称的对称点的_______相同，________互为相反数。
课堂练习：
1、请在下图的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化．
巩固练习：
1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．
小结：在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴对称、放大、缩小的变化，其对应顶点的坐标也发生了变化，它们的变化是有规律的，要按照变化的情况，同学观察、总结会得出变化规律(由同学说出变化规律)。
回顾与思考
学习目标：
1．能理清本章的知识及其联系，填出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，让学生体会到数与形之间的关系。
知识结构梳理：
讲解例题巩固知识
1、如图所示的两个矩形会相似吗？请说明理由。
目的：复习多边形相似的定义，理解平常说的相像与数学中的相似还是有一点区别的，必须是对应的角相等，对应的边成比例的两个多边形才是相似的。
2．判断下列各组中的两个三角形是否相似，并口述理由：
(1)△ABC中，∠A＝28°，∠C是直角，△A′B′C′中，∠B′＝62°，∠C是直角。（ ）
(2)△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，△A′B′C′中，A′B′=16。B′C′=14，A′C′＝10。（ ）
(3)△ABC中，AB＝4.5，AC＝6，∠B＝50°，△A′B′C′中，A′B′＝6，A′C′＝9，∠B′＝50°。
(4)如图DB，EC交于A，AB＝3，AC＝4.5，AD＝2，AE＝3 。（ ）
目的：复习识别三角形相似的三种方法，
特别是方法(2)：两边对应成比例，相等的角要看看是否它们的夹角。
3．小黄同学在公路上测得一条高为6米的电线杆的影子长为8米，此时路旁有一棵树的影子长为12米，那么这棵树有多高
4．在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及EC的长。
5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD。
目的：这三题都是复习相似三角形的识别方法及其性质应用，用对应边成比例计算某一边长时，要注意对应边的位置。(4)中所求的是EC，并不是三角形的边，因此由比例式先求出AC的长，再计算AC－AE。
6．在直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标为：A(3，0)，B(－ 1，2)，C(4，5)。
(1)把△ABC沿x轴向右平移3个单位得△A′B′C′，求各顶点的坐标。
(2)如果△A′B′C′的顶点坐标为A′(3，0)，B′(－2，4)，C′(8，l0)，那么△A′B′ C′是△ABC如何变换以后得到的。
单元达标检测题
1． 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1∶1000000，那么两地间的实际距离是____________米．
2． 已知：，则___________．
3． 如果在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么△DEF的周长＝__________，面积＝__________．
4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．
5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
6．如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？
7． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；在△A′B′C′中，∠B′是直角，∠C′＝60°．
（2） △ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；△A′B′C′中，A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10．
8.如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求的值，以及AC、EC的长度．
B组
9． 已知：（x、y、z均不为零），则__________．
10． 平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，已知AB＝5，对应边，平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形A′B′C′D′的面积．
11． 如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
12． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证： 四边形ADEF是菱形．
A
B
O
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
B
C
D
A
A
B
C
D
A
D
E2图22图
C
B
A
C
B
D
E
A
C
D
G
B
E
F
A
B
C
D
E
F
G
H
如图4
A
D
E
F
G
H
C
B
A
C
D
G
B
E
F
A
D
C
B
E
F
H
G
A
D
C
B
E
F
A
B
C
D
E
相似多边形的对应边成比例，对应角相等；对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形
相似三角形的判定方法和性质
相似三角形
相似多边形
相似图形
坐标表示物体的位置
坐标与图形的运动
三角形重心
三角形中位线
梯形中位线
24.1 相似的图形
学习目标：
1、理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。
2、制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。
学习准备：
1、观察下图你会发现右边的照片是由左边的照片________的．尽管它们______不同，但_______相同．
图24.1.1
2、图24．1．2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形_______得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其_____（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．
图24.1.2
新知自学：
日常生活中我们会碰到很多这种______________________的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为___________。如，同一张底片扩充出来的照片，请同学们举出你身边或者生活中的相似形。_______________________
如图所示的一些相似的图形。他们都是相似形吗？
3、想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗 ________________
反思：为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢 这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。
课堂练习：
1试一试
如图24．1．5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好．
图24.1.5
2、你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
巩固练习：
1．试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大．
（第1题）
2．观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？
（第2题）
小结：
______________________________________称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。通过本课的学习，同学们在说说我们身边还有那些相似形？
２４.２ 相似图形的性质
第一课时 成比例线段
学习目标 ：
1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。
学习准备：
试一试：
由下面的格点图可知，＝_________，＝________，这样与之间有关系_______________．
图24.2.1
新知自学：
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做_______________，简称比例线段，此时也称这四条线段____________。
模仿自学：
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝． 解（2）：
解 （1） ∵ ，，
∴ ，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
+对于成比例线段我们有下面的结论：
如果__________，那么____________ 。 如果__________（a、b、c、d都不等于0），那么____________。以上结论称为比例的基本性质．如果＝那么b叫做a、c的，也可以写成b2＝ac。
例2 证明：（1）如果，那么；
（2） 如果，那么．
证明（1） （2）
课堂练习：
1．判断下列线段是否是成比例线段：
（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；（2）a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
2．已知： 线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
3、如果，那么等于 （ ）
A 3：2 B 2：3 C 3：5 D 5：3
4．已知，那么、各等于多少？
巩固练习：1、若则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。
3、线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求： 与，这四条线段会成比例吗
3、如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且＝，求AC的长
5、已知：，求的值．
课堂延伸：
将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0．618…．这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．
第二课时 相似图形的性质
学习目标：
1、知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。
2、识别两个多边形是否相似的方法。
新旧知识衔接回顾:
1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗
新知自学 ： 下图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有什么关系呢？对应角之间又有什么关系？
答：_________________________________________________________________
图24.2.3
再看看图24．2．4中两个相似的五边形，是否与你观察图24．2．3所得到的结果一样？答：__________
图24.2.4
概括
由此可以得到两个相似多边形的性质：_____________________________________
实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法：如果_____________________
________________________,那么这两个________________________。
例1、在图24．2．5所示的相似四边形中，求未知边x的长度和角度α的大小．
图24.2.5
分析
利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角．
解:
思考
两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个直角三角形呢？两个等边三角形呢？
课堂练习：
1．（1）根据图示求线段比：，，；（2）试指出图中成比例的线段．
2．等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？
3．下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示．
（第3题）
4．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．
（第4题）
5．如图，正方形的边长a＝10，菱形的边长b＝5，它们相似吗？请说明理由．
（第5题）
巩固练习：
1．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
2．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？
3、矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0. 8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗 为什么
4、矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′ C′D′的面积为57cm2，这两个矩形相似吗 为什么
5．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。
小结：
1．两个多边形是否相似的两个标准是什么
﹝1﹞________________________________________，﹝2﹞____________________________________。
2．相似多边形具有什么特征
_______________________________________________________________________________________。
24.3相似三角形的性质
1．相似三角形
学习目标：
1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
新旧知识衔接：
1、_____________________________________是相似图形。
2、衡量相似形的两个标准时：（1）________________________，(2)____________________________。
新知自学：
1、在相似多边形中，最为简单的就是________________________。相似用符号“___________”来表示，读作“___________．如图24．3．1所示的两个三角形中，∠__＝∠__，∠__＝∠___，∠___＝∠____，．即△ABC与△A′B′C′相似，记作__________________，读作____________________________。
2、如果记＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的____________________________。
模仿自学：做一做
如图24．3．2，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．我们知道，根据两直线平行________相等，则∠___＝∠_____，∠_____＝∠______，而∠_____＝∠______。通过度量，还可以发现它们的对应边__________，所以△_______∽△_________．如果取点D为边AB的中点，那么上题中△ADE和△ABC的相似比就为k=_____________．当k＝1时，两个相似三角形不仅_________相同，而且_______也相同，即为___________．全等三角形是相似三角形的特例．
图24.3.1
图24.3.2
变式训练：全等的两个三角形一定相似吗 相似的两个三角形会全等吗 全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别
答：
课堂练习：
正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．
（第1题）
2、如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长边是39，那么较大三角形的周长是多少 较小三角形与较大三角形的周长的比是多少
分析：这两个三角形相似，则对应边是__________的，相似比=_______，从而可以利用相似比算出另一个三角的其他两边长，即可算出周长和周长比。
解：
判断下列两个三角形是否相似 简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例。
解： 解：
巩固练习：
1、如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ）
A、都扩大为原来的5倍 B、都扩大为原来的10倍
C、都扩大为原来的25倍 D、都与原来相等
2、全等三角形是相似比为__________的相似三角形．
3、2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
4、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
小结： 1、______________________的三角形叫做相似三角形。2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形是_____________________。
24.3. 2．相似三角形的判定
第一课时 相似三角形的判定(一)
学习目标：
1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。
2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。
新旧知识衔接回顾：
1．两个矩形一定会相似吗 为什么
2．如何判断两个三角形是否相似 （定义）
3、是否存在识别两个三角形相似的简便方法 本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
新知自学：
试一试
如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？
图24.3.3
我们可以发现，它们的对应边__________，即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．
于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______，简单地说：___________________________.
思考:能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
模仿自学：
如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。
例2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗
课堂练习：
1．找出图中所有的相似三角形．
（第1题）
2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．
（第2题）
3、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。
巩固练习：
1、△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。
2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样
3、观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似．此时=__________．
小结：本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：___________________________________。
第二课时 相似三角形的判定(二)
学习目标：
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2．能依据条件，灵活运用识别方法，正确判断两个三角形相似。
新旧知识衔接回顾：
1．现在要判断两个三角形相似有哪两种方法
（1）对应边_________，____________相等的两个三角形______________。
(2) 如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______。
新知自学:
如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，
那么△ADE与△ABC相似吗 你用的是哪一种方法 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量_____________或_______________后可以判断它们能否相似。同学们通过量角或量线段计算之后，得出：______∽______。从已知条件看，△ADE与△ABC有一对应角相等，即∠__＝∠__(是公共角)，而一个条件是AD＝__AB，AE＝__AC，即是＝__，＝__；因此__＝___。△ADE的两条边 ____、______与△ABC的两条边____、____会对应成比例，它们的夹角又相等。于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
如果一个三角形的________与另一个三角形的__________，并且夹_______，那么这两个三角形______。简单地说；___________________________，两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的______，如果不是夹角，它们不一定会________。
模仿运用：
1、证明图24．3．7中△AEB和△FEC相似．
图24.3.7
2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似？
解： 因为AB=______，AD=______，AC=______，CE=_______
所以 ＝_____，=____ 所以___＝_______。
∠A＝∠A，( )
所以_____∽_______。（ ）
课堂练习：
1、、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（ ）
A．8：3 B．3：8 C．8：5 D．5：8
3、若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ）
A、△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B、△ABC与△A1B1C1不一定相似
C、△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2 D、△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
4、下列命题正确的是（ ）
A、有一个角相等的两个等腰三角形相似B、面积相等的两个等腰三角形相似
C、有一个角相等，两边对应成比例的两个直角三角形相似
D、有一个锐角相等的两个直角三角形相似
5（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
巩固练习：
1在△ABC和△中，∠C=∠=90°，AC=12，BC=15，=8，则当=____________时，△ABC∽△．
2如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是____________ （只需填上你认为正确的）种情况即可）.
3、两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边长5 cm，另一个多边形的最短边长为__________________.
4、 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC的关系是________，若相似，相似比是________.
第三时 相似三角形的判定(三)
学习目标：
理解运用相似三角形的简单识别方法如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
新旧知识衔接回顾：
回忆前面我们学过那些判定两三角形相似的方法：
1、____________________________________________________________（定义）
2、____________________________________________________________（两角）
3、_______________________________________________________（两边及夹角）
新知自学：
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似 看课本５８页“做一做”。
通过实验得出：如果一个三角形的_______与另一个三角形的________________，
那么这两个三角形_________，简单的说：_________________________________。
实例分析：
例:△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。
课堂练习：
1．依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似．
（1） AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12．8cm，A′C′＝25．6cm；
（2） ∠A＝∠80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；
（3） ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30．
2．在第1题小题（3）中，若BC＝a，∠B＝α，试求出B′C′的长与∠B′、∠C′的大小．
巩固练习：
1、(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或 ___________=____________时，△ AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽
2、，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，因此△ABC∽_________∽_____________．
3、，点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；
(2)若∠2=∠B，则__________∽___________．
4、已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
5、如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC. 证明：.
24.3．3相似三角形的性质
学习目标：
理解运用相似三角形的性质对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
新旧知识衔接：
1．判定两个三角形相似的简便方法有哪些 简单口述出来。
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗 说明理由。如果相似，它们的相似比是多少
解：
新知自学：
1、两个三角形是___________的，它们对应边的比就是___________，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝______。相似的两个三角形，它们的_______相等，______成比例，除此之外，还会得出什么结果呢
一个三角形内有三条主要线段；_____、_____、______。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢 ？我们能用说理的方法来说明这个结论呢
相似三角形对应高的比等于_________，相似三角形对应中线的比等于______；相似三角形对应角平分线的比等于_______。两个相似三角形的周长比等于______,
2、相似三角形的面积之间有什么关系呢
看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：
(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )，
(3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( )
(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于_____________________。
课堂练习：
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？
2．相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
3、ABC∽△A′B′C′，相似比为3:2，则对应中线的比等于( )。
4、三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( )
巩固练习：
1、C∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么 △ABC的面积为( )。
2．如果两个相似三角形的相似比是3：5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为 cm。
3、（2009年四川宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4、3、□ABCD与□中，AB=3，BC=5，∠B=40°，A′B′=6，要使□ABCD与□相似，则B′C′=_______，∠B′=_______.
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE∶EB.
分析：若两个图形相似，则它们的对应边___，根据已知条件和就可以求出EF的长，再根据对应边成比例就可以求出AE∶EB.
解：梯形AEFD∽梯形EBCF,
∴________=_______=_________
,又∵AD=_____，BC=______。
∴EF2=____._____=__________=_________∵EF＞0
∴EF=____∴.
点评：解题时注意是对应边成比例，不要把对应位置写错.
小结：
相似三角形（ ）相等，（ ）成比例，相似比等于___________、
_______________、_______________、________________.面积比等于_______________。
相似三角形中的“基本图形”习题课
学习目标：回顾“基本图形”，能在较复杂的图形中指出“基本图形”。
学习重点：熟悉“基本图形”
学习难点：“共点型”基本图形条件的寻找。
学习准备：
回顾旧知识：
①相似多边形的性质有哪些？
②判定三角形相似的条件有：
合作学习：（你帮我，我帮你，我们一定能行！）
充分利用图中条件，分别回答当增加什么条件时，图中某两个三角形相似，指出对应的顶点。
（1）“平行线”型 ：①“A”型 ②“X”型
（2）“相交线”型：①“共角”型 ②“蝴蝶”型
“同边共角”型 “同边等角”型
与三角形、梯形有关的比例线段（1）
学习目标：探究与三角形、梯形有关的比例线段
学习重点：寻找平行线截得对应比例线段。
学习难点：寻找平行线截得对应比例线段。
引导学习：
1、如图，△ABC中，DE∥BC且分别是BA、CA延长线交于D、E、
（1）请指出图中的对应线段。
（2）试说明图中的对应线段成比例。
图1 图2
【归纳】平行于三角形一边的直线，截三角形其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例。
数学推理：如图1，∵DE∥BC，∴，
如图2，∵DE∥BC，∴，
2、如图3，梯形ABCD中，AD∥EF∥BC
（1）请指出EF在两腰上截得的对应线段：
与 ， 与 ，
与 ，___________与_________________。
图3
【归纳】平行于梯形两底的直线截两腰（或两腰延长线）所得的对应线段成比例。
数学推理：如图3，∵AD∥EF∥BC，∴，
（3）引申：如图4，若AD∥EF∥GH∥BC
∴AE:EG:GB=
合作学习
4、如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点。
求证：四边形EGHF是平行四边形。
5、如图，AD∥EF∥BC，若AE=8,EB=12,CD=15。求FC的长。
※归纳总结
1、平行于三角形的一边，截三角形其它两边或两边的延长线，
2、平行于梯形两底的直线截两腰或两腰的延长线，
与三角形、梯形有关的比例线段（2）
学习目标：灵活运用两个定理进行相关计算或推理
学习重点：找对应比例线段进行计算或证明
学习难点：找“中间比”进行比例的转化
学习准备：
1、平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
2、平行于梯形两底的直线截其两腰（或两腰的延长线）所得的对应线段成比例。
模仿学习
3、【例】如图，梯形ABCD中AD∥EF∥BC，求证：EG=FH。
解：∵AD∥EG，∴
∵AD∥FH，∴
∵AD∥EF∥BC，∴
∴，∴EG=FH
4、如图，ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，AB=3，BC=4，DF=1。
求DE的长。
5、已知：如图8，边长为2的等边三角形ABC,DE∥BC, ，求EC的长。
※归纳总结
以前我们证明两条线段相等常用的方法有：
今天我们又学习了用 来证明线段相等。
24、3、4相似三角形的运用
学习目标：
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度，进行相关的计算。
旧知识回顾：
1、相似三角形有哪些性质 相似三角形（ ）相等，（ ）成比例，相似比等于___________、_______________、_______________、________________.面积比等于_______________。
自学准备：
1．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF， △DEF与△ABC相似吗 为什么
例题讲解
例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图24．3．12所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB．
解 ∵ 太阳光是平行光线，
∴ _______＝________．
∵ ______＝______＝90°，
∴ ________∽△O′A′B′（________________________________________）
∴ OB∶O′B′＝_______∶________，
∴ （米），
即该金字塔高为137米．
例7 如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
课堂练习：
1、 如图24．3．14，已知： D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证： AD·AB＝AE·AC．
图24.3.14
2．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．
（第2题）
3．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
巩固练习：
1． 已知在等腰△ABC和△A′B′C′中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） ∠A＝∠A′．（2） ∠B＝∠B′（或∠C＝∠C′）．
2、 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．
（第6题）
24.4中位线
第一课时 三角形的中位线
学习目标：
１、经历三角形中位线的性质定理的形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
新旧知识衔接回顾：
1、我们曾解决过如下的问题：如下图△ABC中，DE∥BC，则_____∽______，
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是_______的中点。现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么就可以推出_____∥_____,
DE=_______BC，是否这个结论成立，我们来研究研究。
新知自学探讨：
1、猜想：从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．
2、证明：如上图△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ ．
∵ ∠A＝______，（__________）
∴ _______∽_________（ ）
∴ ∠_____＝_______，（ ），
∴ _____∥______且
3、概括
我们把连结三角形两边中点的线段叫做______________，并且有三角形的中位线_________________________________。
三角形的中位线与中线有什么区别？中线是______________________________，中位线是________________________________________。
模仿应用：
例1 ：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。
求证： AE、DF互相平分。
证明 连结 ____、_____，因为____＝_____，____＝______
所以_____∥_____（ ）
同理_____∥________，所以四边形ADEF是________________
因此______、_______互相平分（ ）
例1
例2
图24.4.5
图24.4.5
例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
求证：
证明 ：
拓展：如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的。
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的_________，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____。
巩固练习：
1、三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。
3． 如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大小．
4． 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
（第4题）
第二课时 梯形的中位线
学习目标：
1、了解梯形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
旧知识回顾：
我们把一组对边_______，另一组对边__________的四边形叫梯形。把平行的两边叫________，不平行的两边叫____________。
梯形的面积公式：_______________________________________。
3、把_____________的梯形叫等腰梯形，等腰梯形两腰___________，两条对角线___________，同一底上__________________。
新知自学：
1、梯形的中位线的概念：连接梯形___________的连线叫梯形的____________。
2、梯形的中位线定理
已知： 如下图在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．
分析： 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线。于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．
例题分析：
求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．
已知：
求证：
证明：
拓展：
如图，根据梯形的面积公式为：____________________。其中、分别为梯形的___________，h为梯形的_____．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化_________________________。
巩固练习：
形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之和_________。
梯形下底与上底之差__________________。
2如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
（第2）
3． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证： 四边形EGFH是矩形．
(第3题)
24．5 画相似图形
学习目标：
1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形。
新旧知识衔接回顾：
1、如图＝＝，那么＝___________。
2、相似与______、________、________一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形_____或_____，保持______不变．
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1．5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列步
1． 任取一点O；
2． 以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；
3． 分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；
4． 连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
模仿自学 ：
1、用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？_________
你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？
2、位似得有关概念：上图中的两个多边形不仅_____，而且对应顶点的连线相交于____，像这样的相似叫做_______，点O叫做________．放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种_______关系．利用位似的方法，可以把一个多边形_____或_____．
3、画五边形 的相似形（用画位似图形的方法），以点O为位似中心，相似比为2：1，（1）使两个图形在点O同侧；（2）使两个图形在点O的两侧．
注意：如下图实际上，位似中心可以取在多边形内，也可以再多边形外，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。也可以把一个多边形放大或缩小。
课堂练习：按下列相似比画出一个三角形的位似图形．
（1） 相似比为； （2） 相似比为3：1
巩固练习
1、任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．（选两个不同的点做位似中心画）
小结：用位似法画相似的多边形，关键在于要确定______，可以取在多边形_____，也可以在多边形_____，或多边形的______、或_____，位似中心的不同的，可以把图形____或缩小。
24.6 图形与坐标
第1课时 用坐标来确定位置
学习目标：
1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置。
新旧知识衔接回顾：
1、确定物体的位置用 。平面上画______________的数轴，就组成了_____________________；坐标平面上的点用____________来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的_________________。
3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；
坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。
A:_______________B:________________
C:________________D:________________
新课导学
1.用坐标确定位置
夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： A（1， 2）、B（－3， 5）、C（4， 5）、D（0， 3）．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出A、B、C、D和目的地的位置．
2、如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置．现实生活中我们能看到许多这种方法的应用： 如用_____和_____来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用________来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等。
典型例题运用：
1、小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；
“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．
根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：
分析： 以小明现在的位置为____，东西方向线是_______的，南北方向线一般画______方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置C。
看来，用一个_______和_______也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用
课堂练习：
已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
（第1题）
小结 : 建立直角坐标系后，平面上的点可以用________来描述，在平面上由于建立的________不同，____________不同，所以同一个点描述的_____也可能不同。平面上的点也可以用一个________和__________来描述其位置。
第2课时．图形的运动与坐标
学习目标：
1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、相似的变换之后，点的坐标相应发生变化。
2．探索图形在平移、轴对称、相似的变换，它们点的坐标的变化规律。
教学过程
新旧知识衔接回顾：
1、我们知道，图形变换包括：__________、_________、_________、_________ 。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BC为对称轴的三角形。
新课导学 ：
在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？
1、如图，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个顶点的坐标有什么变化呢？
1题
2题
2题
解：△AOB的三个顶点的坐标是：A（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ）．
平移之后的△A′O′B′对应的顶点是：A′（ ， ）、O′（ ， ）、B′（ ， ）．
沿x轴向右平移之后，三个顶点的_______都没有改变，而________都增加了____．
在上图中，（1）△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB．对应顶点的坐标有什么变化？
分析： 关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其_____不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的________相同，_________是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：____________________________________________________________。
解：△AOB的三个顶点的坐标是：A（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ），△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB的三个顶点坐标是：A′（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ）．沿x轴翻折后，____点和_________的_____________都没有改变，而____点________变化了。
(2) △AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
分析： 关于y轴对称，由于O在对称轴上，其_____不变，那么点 A与对称点A′B和B′
关于y轴对称，它们的________相同，_________是互为相反数，这就得出关于y轴,对称的对称点的坐标的特点是：_______________________________________ 。
解：△AOB的三个顶点的坐标是：A（ ， ）、O（ ， ）、B（ ， ），△AOB关于y轴的轴对称图形是△A′O B′的三个顶点坐标是：A′（ ， ）、O（ ， ）、B′（ ， ）．沿y轴翻折后，O点的______不变，A′和B′的_________不变，_______变了。
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的_______相同，________互为相反数。
关于y轴对称的对称点的_______相同，________互为相反数。
课堂练习：
1、请在下图的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化．
巩固练习：
1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．
小结：在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴对称、放大、缩小的变化，其对应顶点的坐标也发生了变化，它们的变化是有规律的，要按照变化的情况，同学观察、总结会得出变化规律(由同学说出变化规律)。
回顾与思考
学习目标：
1．能理清本章的知识及其联系，填出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，让学生体会到数与形之间的关系。
知识结构梳理：
讲解例题巩固知识
1、如图所示的两个矩形会相似吗？请说明理由。
目的：复习多边形相似的定义，理解平常说的相像与数学中的相似还是有一点区别的，必须是对应的角相等，对应的边成比例的两个多边形才是相似的。
2．判断下列各组中的两个三角形是否相似，并口述理由：
(1)△ABC中，∠A＝28°，∠C是直角，△A′B′C′中，∠B′＝62°，∠C是直角。（ ）
(2)△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，△A′B′C′中，A′B′=16。B′C′=14，A′C′＝10。（ ）
(3)△ABC中，AB＝4.5，AC＝6，∠B＝50°，△A′B′C′中，A′B′＝6，A′C′＝9，∠B′＝50°。
(4)如图DB，EC交于A，AB＝3，AC＝4.5，AD＝2，AE＝3 。（ ）
目的：复习识别三角形相似的三种方法，
特别是方法(2)：两边对应成比例，相等的角要看看是否它们的夹角。
3．小黄同学在公路上测得一条高为6米的电线杆的影子长为8米，此时路旁有一棵树的影子长为12米，那么这棵树有多高
4．在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及EC的长。
5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD。
目的：这三题都是复习相似三角形的识别方法及其性质应用，用对应边成比例计算某一边长时，要注意对应边的位置。(4)中所求的是EC，并不是三角形的边，因此由比例式先求出AC的长，再计算AC－AE。
6．在直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标为：A(3，0)，B(－ 1，2)，C(4，5)。
(1)把△ABC沿x轴向右平移3个单位得△A′B′C′，求各顶点的坐标。
(2)如果△A′B′C′的顶点坐标为A′(3，0)，B′(－2，4)，C′(8，l0)，那么△A′B′ C′是△ABC如何变换以后得到的。
单元达标检测题
1． 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1∶1000000，那么两地间的实际距离是____________米．
2． 已知：，则___________．
3． 如果在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么△DEF的周长＝__________，面积＝__________．
4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．
5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
6．如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？
7． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；在△A′B′C′中，∠B′是直角，∠C′＝60°．
（2） △ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；△A′B′C′中，A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10．
8.如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求的值，以及AC、EC的长度．
B组
9． 已知：（x、y、z均不为零），则__________．
10． 平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，已知AB＝5，对应边，平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形A′B′C′D′的面积．
11． 如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
12． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证： 四边形ADEF是菱形．
A
B
O
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
B
C
D
A
A
B
C
D
A
D
E2图22图
C
B
A
C
B
D
E
A
C
D
G
B
E
F
A
B
C
D
E
F
G
H
如图4
A
D
E
F
G
H
C
B
A
C
D
G
B
E
F
A
D
C
B
E
F
H
G
A
D
C
B
E
F
A
B
C
D
E
相似多边形的对应边成比例，对应角相等；对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形
相似三角形的判定方法和性质
相似三角形
相似多边形
相似图形
坐标表示物体的位置
坐标与图形的运动
三角形重心
三角形中位线
梯形中位线