江西省南昌第二高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案解析

南昌二中2020—2021学年度上学期期中考试
高二数学(理)试卷
命题人： 审题人：
一、选择题(每小题5分,共12小题,共60分)
1．经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )
A． B． C． D．
2．两条平行直线与间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
3. 已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6. 设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）．
A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上
8. 若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有
( )条数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 直角坐标系中，双曲线的左焦点为，，是右支上的动点，则的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
10. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．10
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则（ ）
A．当时，的面积为1 B．不存在使为直角三角形
C．存在使四边形面积最大 D．存在，使的周长最大
12. 在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分)
13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____.
14. 设双曲线的左右焦点分别为,若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____.
15. 已知圆的方程为，直线：与圆交于，两点，则当面积最大时，直线的斜率=______.
16. 直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为____.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(本小题10分) 已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
18. (本小题12分) 已知圆，直线.
（1）判断直线与圆位置关系；
（2）求直线被圆截得线段的最短长度及此时的方程.
19. (本小题12分)已知双曲线的焦点，渐近线方程为，直线过点且与双曲线有且只有一个公共点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求直线的方程.
20. (本小题12分)已知椭圆的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，，若，问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21. (本小题12分)设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.
（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；
（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.
22. (本小题12分)已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线
于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.
高二数学(理)期中考试参考答案
命题人： 审题人：
1．经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C【解析】所求直线过点，故可设为， ，令，得，即，即所求直线的方程为.故选C.
2．两条平行直线与间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】直线方程可化为：，
由平行直线间距离公式可知所求距离.故选：.
3. 已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D【解析】方程表示圆，
则有,即k2﹣k﹣6＞0，即（k﹣3）（k+2）＞0可化为或，解得k＞3或k＜﹣2，故选D．
4. 若直线平分圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A【解析】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，所以，解得．
5．已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为实轴长，所以，，
由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，点到渐近线的距离，所以，
所以C的方程为，故选：C.
6. 设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】①时，上存在点满足，
设为椭圆短轴端点，当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点满足则，，
，解得；
②当椭圆的焦点在轴上时，，同理可得；范围是.
7. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）．
A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上
【答案】C【解析】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为3．
依题意得，则，
所以点的轨迹是双曲线的一支（除（1,0））．故选C．
8. 若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有
( )条数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
9. 直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点为F，A（1，4），P是右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B【解析】a＝2，b，c＝4，则F（-4,0），设右焦点G（4,0）.
由双曲线的定义可知位于右支的点P有|PF|﹣|PG|＝4，
∴|PF|+|PA|＝4+|PG|+|PA|≥4+|AG|＝44+5＝9.故选：B
10. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A【解析】由抛物线方程为：，可得，，可得焦点，
设,由以为直径的圆过点，可得,
可得,同时由，可得，同时由，，可得B点坐标,可得，
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于点、，则（ ）
A．当时，的面积为1 B．不存在使为直角三角形
C．存在使四边形面积最大 D．存在，使的周长最大
【答案】C【解析】如图：
对于A选项，经计算显然错误.
对于B选项，时，可以得出，当时，
，根据对称性，存在使为直角三角形.故B错误.
对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确.
对于D选项，的周长=；
；，当过点时取等号；
；即直线过椭圆的右焦点时的周长最大；此时直线；但，所以不存在，
使的周长最大，故D错误.故选：C
12. 在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
点的坐标满足方程，在圆上，
满足方程在圆上，
则作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为与，
由图可知，设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，得，，化为，，
即，，
的取值范围，故选B.
13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____
【答案】【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得.
14. 设双曲线的左右焦点分别为,若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____
【答案】【解析】，又，
所以，另外，因为双曲线离心率，所以.
15. 已知圆的方程为，直线：与圆交于，两点，则当面积最大时，直线的斜率=______
【答案】1或-7【解析】圆的标准方程为,
直线可变形为,则圆心为,半径为2,直线过定点,
由面积公式可得,
所以当,即圆心到直线的距离为时,的面积取得最大值,
所以,解得或
16. 直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为____
【答案】【解析】设，，，因为，，三点的横坐标依次成等差数列，所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，因为，在抛物线上，
所以有，两式作差可得,
所以,所以直线的方程为，
即，由得：，
所以，所以，
故
17. 已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
【答案】（1）；（2），证明见解析.
【解析】（1）与平行，则，解得；
（2）联立，解得，，所以点，
，即.
因此，点在直线上.
18．已知圆，直线.
（1）判断直线与圆位置关系；
（2）求直线被圆截得线段的最短长度及此时的方程.
【答案】（2）弦长的最小值为，此时直线的方程为.
【解析】（1）将直线的方程变形为，
可得，解得，所以，直线恒过定点，
，则点在圆内，不论取何值，直线与圆总相交；
（2）设圆心到直线的距离为，设直线截圆所得弦长为，如下图所示：
当直线与直线不垂直时，；当时，.
所以，，即当时，取得最大值，.
直线的斜率为，由于，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即.
直线截圆所得弦长的最小值为.
19. 已知双曲线的焦点，渐近线方程为，直线过点且与双曲线有且只有一个公共点.
（1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程.
【答案】（1）；（2），或
【解析】（1）双曲线的焦点在轴上，设其方程为
又.故双曲线的标准方程为
（2）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足题意.
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为.
由得.
当时，即.若，方程无解；
若，由方程得.此时直线方程为即.
当时，由，得.此时直线方程为.综上，所求直线的方程为，或.
20. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的
两点，，若，问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，直线过定点．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由，即
∴，有，又椭圆过点∴，
解得∴椭圆的标准方程为
（2）设直线的方程为，
由，消去，整理可得，
设，则
由题意，可得，有
∴，且（直线不过(1,0)点），即，
得，解得故直线过定点

21.设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.
（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；
（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由可得，可得，解得；
（2）是点，关于顶点的对称点，可得，，
设过的直线为，，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切可得△，
解得，可取，可得切线的倾斜角为，
由抛物线的定义可得，而的最小值为，
的最大值为；
（3）由，可得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线，可得，
即有，，由两直线垂直的条件，可将换为，可得，，点满足，
可得，，，
即为①， ②，
联立①②式消元可得，则的轨迹方程为
22. 已知为抛物线的焦点，为圆上
任意点，且最大值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线
于、(A、B异于点M），求中点的纵坐标的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，
所以，，，解得，
因此，抛物线的方程为
设点、，
设过点的圆的切线方程为，则，
整理得，
设两切线的斜率分别为、，则、是上述方程的两根，
由韦达定理得，，
将方程代入抛物线的方程得，
整理得，所以，，，
线段中点的纵坐标为，
函数在区间上为增函数，
因此，线段的中点的纵坐标的取值范围是.
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