等腰三角形第一课时

(共34张PPT)
新户镇中学：李玉翠
人民教育出版社八年级数学上册
A
C
B
如图，把一张长方形的纸按图中虚线
对折，并剪去阴影部分，在把它展开，
得到的是什么样的三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
A
C
B
△ABC有什么特点
看一看
你发现了什么
探索:
1、等腰三角形是轴对称图形。
2、等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
　　 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗
大胆猜想
动画演示
1、等腰三角形的两个底角相等
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
＝ 90°
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？（同学们交流一下）
猜想
A
B
C
D
方法一
方法三
方法二
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？
性质1
(等边对等角)
A
B
C
D
猜想
性质1的应用格式：
∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C（等边对等角）
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
性质1
(等边对等角)
A
B
C
D
议一议：
为什么在添加辅助时，作顶角平分线、底边上的中线、底边上的高都能使分成的两个三角形全等？
性质2
(等腰三角形三线合一)
是真是假
A
B
C
D
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
应用格式：∵AB＝AC ∠BAC＝∠CAD（已知）
∴BD＝DC AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC BD＝DC （已知）
∴AD⊥BC ∠BAC＝∠CAD （等腰三角形三线合一）
3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC AD⊥BC （已知）
∴BD＝DC ∠BAC＝∠CAD（等腰三角形三线合一）
性质2可分解成下面三个方面来理解：
　　　　1、等腰直角三角形每一个锐角的度数是________。
　　2、如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的
顶角的度数是________________。
　3、如果等腰三角形的顶角是40°，那么它的
底角的度数是______________。
反馈练习，形成能力
45°、45°
70°、70°
100°
总结方法：
　　　2底角+顶角=180°
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x °,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x °,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x °,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180，
解得x=36，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
答：∠A=36°∠ABC=∠C=72°
分析
（1）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角
分别为 。
（2）已知等腰三角形的一个角为110°，它的另外两个角 为 。
（3）如图，△ABC中，AB＝AD=DC,
∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。
X
2X
X
2X
70° 、70°
或 40° 、100°
35° 、35°
A
D
B
C
谈谈你的收获！
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
1、本节主要教学知识是等腰三角形的两个性质。
等腰三角形的性质
内容
应用格式
性质1
A
B
C
性质2
A
B
C
等腰三角形的
两个底角相等
等腰三角形的顶角
平分线、底边上的
中线底边上的高
互相重合。
∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C （等边对等角）
①∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）
∴BD＝DC，AD⊥BC（三线合一）
② ∵AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴ ∠1＝∠2， AD⊥BC（三线合一）
③∵ AB＝AC， AD⊥BC （已知）
∴ ∠1＝∠2， BD＝DC（三线合一）
D
1
2
2、本节课学习了数学思想及方法:分类讨论和一题多解。
3、等腰三角形常用的辅助线作法
（作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线）
1、复习课中P49－51
2、预习课本P52－53
3、书面作业P56面、1、2、3
下课了!
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
A
B
C
D
E
F
课后思考
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
图中有___ 个等腰三角形，
它们分别为_________________。
分析：
3
△ABC、△ADB、△DBC
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
腰
腰
底角
A
B
C
则有∠1＝∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有 BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明: 作△ABC 的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明: 作△ABC 的高线AD
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）