21.2 解一元二次方程 高频易错题集 （原卷+解析）

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21.2
解一元二次方程
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（　　）
A．8或﹣2
B．﹣2
C．8
D．2或﹣8
2．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13
B．（x+3）2＝13
C．（x﹣6）2＝4
D．（x﹣3）2＝5
3．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6
B．3﹣3
C．3﹣2
D．3﹣
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝16
B．（x+3）2＝16
C．（x﹣3）2＝7
D．（x﹣3）2＝2
5．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1＝0
B．3x2﹣5x+1＝0
C．3x2﹣5x﹣1＝0
D．3x2+5x﹣1＝0
6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．x＝1﹣
B．x＝
C．x＝﹣1+
D．x＝
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11
B．12
C．11或12
D．15
8．已知a+，则的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．2
D．不能确定
9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）
A．7
B．﹣1
C．7或﹣1
D．﹣5或3
10．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4
B．4
C．﹣2
D．2或﹣4
二．填空题（共5小题）
11．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　
　．
12．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0配方后得到方程　
　．
13．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝　
　，x1＝　
　，x2＝　
　．
14．方程x（x﹣3）＝0的解为　
　．
15．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为　
　
三．解答题（共5小题）
16．解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．
17．解方程
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）x2+4x﹣2＝0．
18．（1）计算：
（2）解方程2（x﹣1）2﹣3x+1＝0．
19．解方程：
（1）x2+4x＝﹣3
（2）a2+3a+1＝0（用公式法）
20．选用适当的方法解下列方程：
（1）（3﹣x）2+x2＝9；
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
（4）（x﹣1）2＝（1﹣x）
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（　　）
A．8或﹣2
B．﹣2
C．8
D．2或﹣8
解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得
a2+b2﹣3＝±5，
所以
a2+b2＝3±5，
解得
a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．
故选：C．
2．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13
B．（x+3）2＝13
C．（x﹣6）2＝4
D．（x﹣3）2＝5
解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
3．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6
B．3﹣3
C．3﹣2
D．3﹣
解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
设4a＝6，
则a＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝16
B．（x+3）2＝16
C．（x﹣3）2＝7
D．（x﹣3）2＝2
解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝7，
等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，
x2﹣6x+32＝7+32，
∴（x﹣3）2＝16；
故选：A．
5．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1＝0
B．3x2﹣5x+1＝0
C．3x2﹣5x﹣1＝0
D．3x2+5x﹣1＝0
解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．x＝1﹣
B．x＝
C．x＝﹣1+
D．x＝
解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根，
即x＝．
故选：D．
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11
B．12
C．11或12
D．15
解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
8．已知a+，则的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．2
D．不能确定
解：两边同乘以a，得到：a2+（﹣2b）a﹣2＝0，
解这个关于a的方程得到：a＝2b，或a＝﹣，
∵a+≠0，∴a≠﹣，
故选：C．
9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）
A．7
B．﹣1
C．7或﹣1
D．﹣5或3
解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
10．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4
B．4
C．﹣2
D．2或﹣4
解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　x1＝﹣1，x2＝3　．
解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
12．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0配方后得到方程　（x﹣2）2＝5　．
解：把方程x2﹣4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝1+4
配方得（x﹣2）2＝5．
13．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝　41　，x1＝　　，x2＝　　．
解：2x2﹣7x+1＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：41，，．
14．方程x（x﹣3）＝0的解为　x1＝0，x2＝3　．
解：x（x﹣3）＝0，
可得x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3
15．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为　4　
解：设t＝a2+b2，
则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，
解得t1＝4，t2＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴t＝4，
∴a2+b2＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
16．解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．
解：移项得：by2﹣y2＝2+1，
合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，
当b＝1时，原方程无解；
当b＞1时，原方程的解为y＝±；
当b＜1时，原方程无实数解．
17．解方程
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）x2+4x﹣2＝0．
解：（1）x2﹣6x﹣4＝0
x2﹣6x+9＝4+9
（x﹣3）2＝13
∴x﹣3＝±
解得x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）x2+4x﹣2＝0
x2+4x+4＝2+4
（x+2）2＝6
∴x+2＝±
解得x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
18．（1）计算：
（2）解方程2（x﹣1）2﹣3x+1＝0．
解：（1），
＝+﹣，
＝3+9﹣3，
＝9；
（2）2（x﹣1）2﹣3x+1＝0，
2x2﹣4x+2﹣3x+1＝0，
2x2﹣7x+3＝0，
x＝＝，
x1＝3，x2＝．
19．解方程：
（1）x2+4x＝﹣3
（2）a2+3a+1＝0（用公式法）
解：（1）x2+4x+3＝0，
（x+1）（x+3）＝0，
（x+1）＝0，（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
（2）a2+3a+1＝0，
△＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
20．选用适当的方法解下列方程：
（1）（3﹣x）2+x2＝9；
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
（4）（x﹣1）2＝（1﹣x）
解：（1）（3﹣x）2+x2＝9，
2x2﹣6x＝0，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0，
（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）﹣6＝0，
（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，
x1＝2，x2＝﹣；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
3x﹣1＝±2（x﹣1），
3x﹣1＝2x﹣2，3x﹣1＝﹣2x+2，
x1＝﹣1，x2＝；
（4）（x﹣1）2＝（1﹣x），
（x﹣1）2+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣+1）＝0，
x1＝1，x2＝．
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