22.1.2 二次函数y=ax?的图象和性质 高频易错题集 （原卷+解析）

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22.1.2
二次函数y=ax?的图象和性质
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝x﹣2和y＝x2的图象大致正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c在坐标系中的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
7．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
8．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3
B．m≤3或m≥4
C．2＜m＜3
D．3＜m＜4
9．在下列﹣2，﹣1，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作a，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作b，则使得分式方程有整数解，且使得函数y＝﹣ax2+bx的图象经过第一三四象限的所有a+b的值有（　　）
A．2个
B．4个
C．5个
D．8个
10．从﹣3、﹣1、0、、2、3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的分式方程﹣1＝有整数解，且使二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+3，当x＞时，y随x的增大而增大，那么这六个数中满足所有条件的a的值之和为（　　）
A．﹣
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题）
11．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：
序号
①
②
③
④
⑤
x
0
1
2
3
4
y
3
0
﹣2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据　
　．（只填序号）
12．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是　
　．
13．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　
　．
14．二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，则m　
　．
15．二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是　
　．
三．解答题（共5小题）
16．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
17．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
18．已知一次函数y1＝x﹣1，二次函数y2＝x2﹣mx+4（其中m＞4）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
19．甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f：y＝x2﹣2mx+2m2+2m进行探讨交流时，各得出一个结论．
甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上；
乙同学：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
（1）请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？
（2）乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m变化时，抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f顶点在第四象限时，m的取值范围．
20．若二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x≤1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．故选：C．
2．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；
当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．
故选：C．
3．函数y＝x﹣2和y＝x2的图象大致正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵y＝x﹣2，
∴k＝1＞0，b＝﹣2＜0，
∴图象过一、三、四象限，
∵y＝x2，
∴a＝1＞0，
∴函数图象开口向上，并且过一、二象限，
结合题目的选项可知答案D符合题意，
故选：D．
4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c在坐标系中的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∵函数图象经过原点，
∴c＝0，
∴一次函数y＝bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，
故选：D．
6．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），
∴抛物线的顶点为（5，9），
∵当7＜m＜8时，总有n＜1，
∴a不可能大于0，
则a＜0，
∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，
∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，
∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，
∴，
∴4a+9＝1，
∴a＝﹣2，
故选：D．
7．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
解：∵＝2
∴1+1﹣az＝2（2﹣z）
∴（2﹣a）z＝2
∴z＝
关于z的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣a＞0
∴a＜2
但该分式方程当z＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴a≥﹣4
∴﹣4≤a＜2，且a≠1
符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选：C．
8．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3
B．m≤3或m≥4
C．2＜m＜3
D．3＜m＜4
解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
16a+4b+3＝4，
∴16a+4b＝1，
∴4a+b＝，
∵对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，
∴
∴，
∴||≤1，
∴或a，
把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：
4a+2b+3＝m
2（2a+b）+3＝m
2（2a+﹣4a）+3＝m
﹣4a＝m，
a＝，
∴或，
∴m≤3或m≥4．
故选：B．
9．在下列﹣2，﹣1，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作a，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作b，则使得分式方程有整数解，且使得函数y＝﹣ax2+bx的图象经过第一三四象限的所有a+b的值有（　　）
A．2个
B．4个
C．5个
D．8个
解：∵方程有整数解，
∴x＝﹣，
∵x是整数，
∴a﹣2＝±1，±2，±4，±8；
∴a＝﹣6，﹣2，0，1，3，4，6，10，
∵分式方程有意义，
∴x＝﹣≠2，
∴a≠﹣2，
∴a＝﹣6，0，1，3，4，6，10，
∵﹣2，﹣1，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作a，
∴a＝0，1，3，
∵函数y＝﹣ax2+bx的图象经过第一、三、四象限，
∴﹣a＜0，a、b同号，
∴a＞0，b＞0，
∴a＝1，3，b＝1，2，3，
∴符合条件的a+b的值：①1+1＝2，②1+2＝3，③1+3＝4，④3+1＝3，⑤3+2＝5，⑥3+3＝6，有5个值，
故选：C．
10．从﹣3、﹣1、0、、2、3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的分式方程﹣1＝有整数解，且使二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+3，当x＞时，y随x的增大而增大，那么这六个数中满足所有条件的a的值之和为（　　）
A．﹣
B．
C．
D．
解：（1）解分式方程﹣1＝得：x＝≠1，即：a≠﹣1，
﹣3、﹣1、0、、2、3这六个数中，使x为整数的a为：0、、2、3；
（2）将a上述满足条件的a（0、﹣1、、2、3）逐次代入二次函数表达式，
满足条件的a为：0、、2，其和为：，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：
序号
①
②
③
④
⑤
x
0
1
2
3
4
y
3
0
﹣2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据　③　．（只填序号）
解：由图表数据可知，①、⑤两点关于直线x＝2对称，
②、④两点关于直线x＝2对称，
所以，计算错误的一组数据应该是③，
验证：由①②④数据可得，
解得，
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，
当x＝2时，y＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，
所以③数据计算错误．
故答案为：③．
12．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是　﹣3　．
解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），
∴m2+m﹣6＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
∵抛物线开口向下，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　﹣6、﹣　．
解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
14．二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，则m　＜1　．
解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：＜1．
15．二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是　（1，3）　．
解：∵y＝2（x﹣1）2+3，
∴二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是
（1，3）．
故答案为：（1，3）．
三．解答题（共5小题）
16．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
解：列表：
描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的线连接，如图所示：
17．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
（1）解：当x＝c时，y＝0，即ac2+bc+c＝0，c（ac+b+1）＝0，
又c＞1，所以ac+b+1＝0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x＝c时，y＝0，
于是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴：即b≤﹣2ac
所以b＝﹣ac﹣1≤﹣2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x＝1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为
而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a﹣2ac﹣2+3c＝（1﹣a）（2c﹣1）+（c﹣1）＞0
所以当x＞0时，，
即．
18．已知一次函数y1＝x﹣1，二次函数y2＝x2﹣mx+4（其中m＞4）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵y2＝x2﹣mx+4＝（x﹣）2﹣+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣+4）
（2）①当m＝5时，y1＝x﹣1，y2＝x2﹣5x+4．
如图，当y1＝0时，x﹣1＝0，x＝2，
∵A（2，0），
当y2＝0时，x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或4，
∴B（1，0），C（4，0），
因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．
②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，
∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，
i）当这个整数解是x＝3时，
当x＝3时，y2＝32﹣3m+4≤0，
解得m≥，
当x＝4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，
∴m的取值范围是：≤m＜5；
ii）当这个整数解是x＝4时，
当x＝3时，y2＝32﹣3m+4＞0，
解得m＜，
当x＝4时，y2＝42﹣4m+4≤0，
解得m≥5，
当x＝5时，y2＞0，即25﹣5m+4＞0，
m＜，
此种情况m没有解；
综上，m的取值范围是：≤m＜5．
19．甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f：y＝x2﹣2mx+2m2+2m进行探讨交流时，各得出一个结论．
甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上；
乙同学：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
（1）请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？
（2）乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m变化时，抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f顶点在第四象限时，m的取值范围．
解：（1）抛物线f经过原点时，2m2+2m＝0
则：m1＝0或
m2＝﹣1
∴当m＝﹣1时抛物线f表达式为y＝x2+2x顶点（﹣1，﹣1），
当m＝0时抛物线f表达式为y＝x2，顶点（0，0）
由于顶点（﹣1，﹣1）和顶点（0，0）都在第三象限的平分线所在的直线上，
∴甲同学结论正确，
（2）乙同学的结论正确，
∵抛物线f的解析式y＝x2﹣2mx+2m2+2m可变为y＝（x﹣m）2+m2+2m
∴抛物线f的顶点为（m，m2+2m），若设抛物线f的顶点为（x，y）
则：，
∴抛物线f顶点的纵横坐标的函数关系式为：y＝x2+2x，
又由于抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），与x轴的交点为（0，0），（﹣2，0），
抛物线开口向上．∴抛物线y＝x2+2x不可能在第四象限．
即：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
20．若二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x≤1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1中，a＝1＞0，
∴此函数图象开口向上，
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴x＝m≥1，
∴m的取值范围为：m≥1
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精品试卷·第
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